2.1认识一元二次方程课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1　认识一元二次方程 第二章　一元二次方程 1 1. 一元二次方程的定义 定　　义：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ， b ， c 为常数， a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 注　　意：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2； （3）整式方程.三个条件缺一不可. 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ， b ， c 为常数，且 a ≠0）.其中 ax2是二次项， a 是二次项的系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项. 课件导航 目录页 尾页 预习导航 3. 探索一元二次方程的近似解 步　　骤：（1）根据实际问题确定其解的大致范围； （2）通过列表具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解. 课件导航 目录页 尾页 预习导航 类型之一　一元二次方程的有关概念 　下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（　C　） A. x2＋ ＝0 B. ax2＋ bx ＋ c ＝0 C. （ x －1）（ x ＋2）＝1 D. 3 x2－2 xy －5 y2＝0 C 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之二　建立一元二次方程模型 　 某超市销售一种品牌童装，平均 每天可售出30件，每件盈利40元 . 由于市场 竞争激烈，超市采取降价措施促销，每件童装 每降价1元，平均每天就多售出5件 .要使平 均每天销售童装利润为1800元，那么每件童 装应降价多少元?(只需列出方程，并化为一般形式，不必求解) 解：设降价 x 元，则多销售5x 件， 根据题意，得(30+5x)(40-x)=1800, 整理，得 x²-34x+120=0. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之三　一元二次方程近似解的求法 　[2023·沈阳月考]根据下列表格的对应值，判断方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0， a ， b ， c 为常数）的一个解 x 的范围是（　C　） x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋ bx ＋ c －0.06 －0.02 0.03 0.09 A. 3＜ x ＜3.23 B. 3.23＜ x ＜3.24 C. 3.24＜ x ＜3.25 D. 3.25＜ x ＜3.26 C 归类探究 课件导航 目录页 尾页 【解析】 ∵当 x ＝3.24时， ax2＋ bx ＋ c ＝－0.02； 当 x ＝3.25时， ax2＋ bx ＋ c ＝0.03， ∴存在 x 的值满足3.24＜ x ＜3.25时， ax2＋ bx ＋ c ＝0， 即方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0， a ， b ， c 为常数）的一个解 x 的范围是3.24＜ x ＜3.25. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 1. 一元二次方程4 x2－ x ＋5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　D　） A. 4，0，5 B. 1，－1，5 C. 4，1，5 D. 4，－1，5 D 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 2. 把（ x ＋3）（2 x ＋5）－ x （3 x －1）＝15化成一般形式为 ， a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ⁠. 3. 根据表格确定方程 x2－8 x ＋7.5＝0的一个解的范是 ⁠. x 1.0 1.1 1.2 1.3 x2－8 x ＋7.5 0.5 －0.09 －0.66 －1.21 【解析】 ∵当 x ＝1.0时， x2－8 x ＋7.5＝0.5； 当 x ＝1.1时， x2－8 x ＋7.5＝－0.09， ∴ 存在x的值满足在1.0＜ x ＜1.1时，x2－8 x ＋7.5＝0， ∴方程 x2－8 x ＋7.5＝0的一个解的范围是1.0＜ x ＜1.1. x2－12 x ＝0　 1　 －12　 0　 1.0＜ x ＜1.1　 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 1. 若关于 x 的方程（ m －1） x2＋ mx －1＝0是一元二次方程，则 m 的取值范围是（　B　） A. m ＝1 B. m ≠1 C. m ≥1 D. m ≠0 2. [2023·镇江]若 x ＝1是关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －6＝0的一个根， 则 m ＝ ⁠. 【解析】 把 x ＝1代入方程 x2＋ mx －6＝0，得1＋ m －6＝0，解得 m ＝5. B 5　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 10 3. 将下列方程化为一般形式，并写出它的二次项系数 a 、一次项系数 b 和常数项 c . （1）（2 x －5）（ x ＋2）＝1； 解：2 x2－ x －11＝0， a ＝2， b ＝－1， c ＝－11. （2）－2 x （ x －5）＝3－ x ； 解：2 x2－11 x ＋3＝0， a ＝2， b ＝－11， c ＝3. （3）（2 x －1）（ x ＋5）＝6 x . 解：2 x2＋3 x －5＝0， a ＝2， b ＝3， c ＝－5. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 4. 若关于 x 的方程 x｜ m－2｜＋3 x －7＝0是一元二次方程，则 m ＝ ⁠. 5. [2023·枣庄改编]若 x ＝3是关于 x 的方程 ax2－ bx ＝6的解，则2025－6 a ＋2 b 的值为 ⁠. 【解析】 把 x ＝3代入方程，得9 a －3 b ＝6，即3 a － b ＝2，则原式＝2025－2（3 a － b ）＝2025－4＝2021. 4　 2021　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 6. 如图，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条等宽金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为 x cm，求满足 x 的方程，并化为一般形式. 解：挂图的长为（80＋2 x ）cm，宽为（50＋2 x ）cm. 由题意，得（80＋2 x ）（50＋2 x ）＝5400， 化为一般形式为 x2＋65 x －350＝0. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 7. （模型观念）有两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍还多4cm2. （1）若求大正方形的边长，要怎样列方程？请将其化为一般形式. 解：设大正方形的边长为 x cm，则小正方形的边长为 cm. 由题意，得 x2＝2 ＋4， 化为一般形式为 x2－4 x －12＝0. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 14 （2）若设大正方形的边长为 x cm， x 会小于0吗？ x 会小于4吗？ x 会 大于10吗？ 解：∵ x 是大正方形的边长， ∴ x 不能小于0. ∵若 x ＜4，则 x2－4 x ＝ x （ x －4）＜0，方程不成立， ∴ x 不能小于4. ∵若 x ＞10，则 x2－4 x ＝ x （ x －4）＞60，方程不成立， ∴ x 不能大于10. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （3）将下列表格补充完整（注： x 下方一栏写由（1）得到的方程的一般 形式中等式的左边）. x 5 6 7 8 9 10 x2－4 x －12 －7 0 9 20 33 48 x2－4 x －12 －7 0 9 20 33 48 （4）你能由上表求出大正方形的边长吗？ 解：由上表知，大正方形的边长为6cm. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 $$