精品解析：河南省环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

环际大联考 “逐梦计划”2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量，建立参数的等式进行求解即可． 【详解】，， ，解得：， 故选：D． 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到，建立等式求解即可． 【详解】，， ， 解得：， 故选：B． 3. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用余弦定理并结合给定条件计算求解即可. 【详解】在中，对于， 利用余弦定理得. 故选：D 4. 在中，内角的对边分别为，且，若的周长为6，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理进行角化边即可求解． 【详解】，利用正弦定理，角化边得到： ，即， 而的周长为6，故， 故选：B． 5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律整理得到，取中点，结合向量的加法，得出，即可判断出是等腰三角形． 【详解】由，得， 取中点，因为，则，即， 所以是等膜三角形， 故选：A． 6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数，余弦函数的图象和性质，结合函数图象的变化规律即可判断． 【详解】A．，是以为最小正周期，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故错误； B．是以为最小正周期，且在区间上单调递减，故错误； C．是以为最小正周期，且在区间上单调递增，故正确； D．是以为最小正周期，在处没有意义，故错误； 故选：C． 7. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据航行距离最短有合成速度垂直于两岸，即，再应用诱导公式化简，即可得. 【详解】要使船的航行距离最短，只需合成速度垂直于两岸， 所以，即. 故选：C 8. 如图，在梯形中，，，分别为边上的动点，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，其中且，根据数量积的坐标表示得到，再由几何关系求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，所以， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，其中且， 所以， 所以， 因为，当且仅当点或点与点重合时，等号成立， 所以的最大值为. 故故：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AC 【解析】 【分析】根据当时，可判断A；计算或即可判断B；令，求出函数的单调递减区间，再判断两个集合之间的关系即可判断C；求出的图象向左平移个单位长度得到解析式即可得到． 【详解】A．当，函数的最小值为，选项正确， B．，故图象不关于直线对称，错误，不符合题意； C．令，解得：， 当时，，因为，故函数在区间上单调递减，选项正确； D．的图象向左平移得到，故选项错误，不符合题意； 故选：AC． 10. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量 D. 与的夹角为锐角 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数量积公式计算判断B，C，应用模长计算判断B，根据夹角余弦公式计算判断D. 【详解】A：平面向量，则，则，A正确； B：因为， 所以，故B错误； C：在上的投影向量，故C正确； 与的夹角的余弦为 ，所以夹角锐角，故D正确； 故选：ACD. 11. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若是锐角三角形，则 D. 若是锐角三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用大角对大边，再利用正弦定理进行边化角即可判断A；进行角化边后，再结合余弦定理即可判断出C为锐角，即可判断B；根据是锐角三角形，得出角之间的关系，再利用诱导公式整理即可判断C，D． 【详解】A．由，可得，由正弦定理可得，所以A正确； B．由正弦定理得，所以C为锐角，但不能断定是否为锐角三角形，故错误； C．由为锐角三角形，可得，即，所以，所以C错误： D．则故，故正确； 故选：AD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________0（填“”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】利用三角函数值在各象限的符号特征，得到给定余弦值和正切值的正负，再作出判断即可. 【详解】的终边在第二象限，的终边在第四象限， ， ， 故答案为：． 13. 在中，角所对的边分别为．已知，要使该三角形有两解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解三角形，需要理解要使该三角形有两解，结合给出的条件，把问题转化为． 【详解】要使三角形有两解，由正弦定理， 只需，即， 故实数的取值范围为， 故答案为：． 14. 已知向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可求，再应用数量积的运算律求即可. 【详解】由向量满足， 可得，解得， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是平面直角坐标系内的四点，已知点. （1）若，求点的坐标； （2）若，求点的坐标； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （2）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （3）由坐标对应相等得到的值. 【小问1详解】 设，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； 【小问3详解】 ， 所以， 因为，所以，解得， 所以. 16. 如图，角的终边与单位圆交于点，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，即可根据三角函数的定义即可求解， （2）根据诱导公式化简，即可利用齐次式求解. 【小问1详解】 （1）在单位圆上，可得，结合，故，故， 故 【小问2详解】 17. 如图，在中，已知是边上一点，. （1）求的值； （2）求的长； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出余弦值. （2）利用正弦定理的应用求出结果. （3）在中，利用正弦定理可求，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 （1）在中， 由余弦定理可得：. 【小问2详解】 因为 所以，所以， 在中，， 由正弦定理，， 所以. 【小问3详解】 在中，， 所以， 在中，由正弦定理， 可得，， 所以，. 18. 在中，已知边上的两条中线、相交于点. （1）求的长； （2）求的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将、用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长； （2）计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值. 【小问1详解】 因为 所以. 因为是的中点，则 所以， 所以， 所以， 因为为的中点，所以， 则. 故. 【小问2详解】 因为 . 所以. 19. 在中，对应的边分别为，内一点满足条件， （1）求A； （2）若.求证： ①（为的面积）； ②为等边三角形. 【答案】（1） （2） ①若， 则， 所以， 在中，分别由余弦定理得： ， ， ， 三式相加整理得， 即， 故； ②在中，，由余弦定理可得， 由①得， 所以， 又，所以为等边三角形. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理边角互化得出即可； （2）①先根据三角形面积公式表示出，进而得出，再分别在中利用余弦定理,三式相加得出即可得证；②在中，，由余弦定理可得，再由①得即可得证. 【小问1详解】 由正弦定理得即， 由余弦定理有， 若，等式不成立，则， 所以.又因为，所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环际大联考 “逐梦计划”2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6 3. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角的对边分别为，且，若的周长为6，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 7. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，，，分别为边上的动点，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量 D. 与的夹角为锐角 11. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若是锐角三角形，则 D. 若是锐角三角形，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________0（填“”或“<”） 13. 在中，角所对的边分别为．已知，要使该三角形有两解，则实数的取值范围为__________． 14. 已知向量满足，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是平面直角坐标系内的四点，已知点. （1）若，求点的坐标； （2）若，求点的坐标； （3）若，求的值. 16. 如图，角的终边与单位圆交于点，且. （1）求； （2）求. 17. 如图，在中，已知是边上一点，. （1）求的值； （2）求的长； （3）求的面积. 18. 在中，已知边上的两条中线、相交于点. （1）求的长； （2）求的余弦值. 19. 在中，对应的边分别为，内一点满足条件， （1）求A； （2）若.求证： ①（为的面积）； ②为等边三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $