回归教材 概率统计讲义-2026届高三数学一轮复习

回归课本9  概率与统计 高考考点 命题分析 概率 概率作为高考的必考内容；选择、填空常考查古典概型，时而考查对立事件、相互独立事件、概率及独立重复试验的概率；解答题常以频率分布直方图、折线图为载体考查随机变量的分布列及期望、方差，考查数据处理能力、应用意识与创新能力. 统计 高考的必考内容；（1）小题一般比较简单，命题角度主要有：统计数据的分析，多以统计图表（折线图或柱状图）的形式提供数据，进行数据的特征分析，如均值、方差、最值点及趋势分析等.（2）解答题属于中档以上题目，题目涉及两个以上的知识模块，具有一定的综合性.命题角度主要有三个方面：一是统计图表与分布列的综合；二是统计数据的数字特征与回归分析、独立性检验等的综合，此类问题计算量较大，注重数据的分析与应用；三是统计图表与函数内容的结合，包括函数解析式的求解与应用等，这有可能重新成为命题的热点. 课本典例1（人教A版必修三P189T5）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，那么男、女运动员应各抽取多少名？ 【解析】田径队运动员的总人数是，要得到28人的样本，占总体的比例为， 于是应该在男运动员中随机抽取（人）， 在女运动员中随机抽取（人）. 【解读扩展】 进行分层随机抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解： （1）； （2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 【真题再现】 （2023年新课标全国Ⅱ卷） 1．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 课本典例2（人教A版必修第二册P215T4）数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 【解析】证明：设数据的平均数，数据的平均数为，则. ， . 课本典例3（人教A版必修第二册P222T2）（多选题）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ） A．平均数为3，中位数为2    B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4            D．中位数为3，方差为2.8 【解析】解：对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确； 对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确； 对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C错误； 对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为，方差为，所以可以出现点6，所以D正确， 故选：ABD 【解读扩展】 利用样本的数字特征解决优化问题的依据 （1）平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． （2）用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 【真题再现】 （2020年全国高考新课标Ⅲ卷（文）） 2．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（    ） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 【答案】C 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为 故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题. （2023年新课标全国Ⅰ卷） 3．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. （2021年全国新高考I卷） 4．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 课本典例4（人教A版必修第二册P197T1）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的值为 ； （2）在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为 . 【解析】（1）由，得. （2）户数为. 故答案为：0.0044；70 【解读扩展】 频率分布直方图的特征 （1）每个矩形的高为；（2）每个矩形的面积为该组的频率；（3）所有矩形的面积之和等于1. 【真题再现】 （2020年天津市高考） 5．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．36 【答案】B 【分析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：， 则区间内零件的个数为：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题. 课本典例5（人教A版必修第二册P206）借助居民月均用水量的频率分布直方图.如图，你能估算出样本的平均数、中位数和众数吗？ 【解析】（1）频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和表示，平均数近似值为. （2）根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数． 因此中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由于0.077×3＝0.231，（0.077＋0.107）×3＝0.552， 因此中位数落在区间[4.2，7.2）内，设中位数为， 由， 得到，因此中位数约为6.71. （3）频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2）内的居民最多，可以将这个区间的中点＝5.7作为众数的估计值． 【解读扩展】 频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 【真题再现】 （2022年新高考全国II卷）（节选） 6．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图，估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】岁 【分析】根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出. 【详解】平均年龄（岁）． 课本典例6（人教A版选择性必修第三册P101例1）在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示.表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据. 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 根据上表中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 【解析】先画出散点图，观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关． 根据样本相关系数的定义， .① 利用计算工具计算可得 ， ，. 代入①式，得 . 由样本相关系数，可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强． 【解读扩展】 判定两个变量相关性的方法 画散点图 若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关 样本相关系数 当时，正相关；当时，负相关，越接近1，相关性越强 【真题再现】 （2022年高考全国乙卷（理））（节选） 7．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量．随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.03 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）． 附：相关系数，． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值； 【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值， 样本中10棵这种树木的材积量的平均值， 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为， 平均一棵的材积量为. （2）（2） ， 则. （2020年全国高考新课标Ⅱ卷（文））（节选） 8．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，． (1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2)求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（附：相关系数，  ） 【答案】(1)12000 (2) 【分析】(1)由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案； (2)由已知直接利用相关系数公式求解. 【详解】（1）由已知得样本平均数，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000． （2）样本的相关系数 课本典例7（人教A版选择性必修第三册P132例3）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 【解析】假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如下表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 根据列联表中的数据，经计算得到． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， ∴可以认为假设成立，即两种疗法效果没有差异． 【解读扩展】 独立性检验的一般步骤 （1）根据样本数据列出2×2列联表． （2）利用公式计算. （3）如果，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”． 【真题再现】 （2021年全国高考甲卷（理）） 9．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表. 机床 品级 合计 一级品 二级品 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? (2)依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异. 附:χ2=. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是 (2)依据小概率值α=0.010的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 【分析】（1）根据频率的计算即可求解， （2）根据卡方的计算，与临界值即可求解. 【详解】（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为； 乙机床生产的产品中一级品的频率为. （2）， 依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 课本典例8（苏教版必修二P280例1）一只不透明的口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球、2个黑球从中一次摸出2个球，结果都是白球”记为事件A，求． 【解析】分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号， 则样本空间为，共有10种摸法， 事件，共有包含3种摸法， 由古典概型的概率计算公式，可得． 【解读扩展】 计算古典概型的概率问题的一般步骤 （1）列出所有样本点，得到样本空间中样本点的总数n. （2）找出事件A所包含的样本点，得到A包含的样本点的个数m. （3）利用公式P（A）＝＝，求出概率P（A）． 【真题再现】 （2022年新高考全国I卷） 10．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. （2024年高考全国甲卷（文）） 11．某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 课本典例9（人教A版必修第二册P248例1）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 【解析】因为样本空间， ， ， 所以，. 此时. 因此，A与事件B不独立. 【解读扩展】 判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）P（B）． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率：当P（A）＞0时，可用P（B|A）＝P（B）判断． 【真题再现】 （2021年全国新高考I卷） 12．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 课本典例10（人教A版选择性必修第三册P61T6）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 【解析】解：（1）的取值分别为1，2，3． ，，. 所以李明参加考试次数的分布列为： 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 （2）李明在一年内领到资格证书的概率为：. 【解读扩展】 1.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 （1）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． （2）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件． （3）代入概率的积、和公式求解． 2.离散型随机变量分布列的求解步骤 明取值 明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义 求概率 要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率 画表格 按规范要求形式写出分布列 做检验 利用分布列的性质检验分布列是否正确 【真题再现】 （2022年高考全国甲卷（理）） 13．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 课本典例11（人教A版选择性必修第三册P65例4）根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 【解析】根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表所示． 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案． 设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，． 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，． 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此， ，． 采用方案3， ，，． 于是，， ， ． 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2． 【解读扩展】 1.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 （1）理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值． （2）求ξ取每个值的概率． （3）写出ξ的分布列． （4）由均值的定义求E（ξ）． （5）由方差的定义求D（ξ）． 2.利用均值、方差进行决策的2个方略 （1）当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断． （2）若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策． 【真题再现】 （2021年全国新高考I卷） 14．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）类． 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为 （2）由（1）知，． 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． （2024年新课标全国Ⅱ卷） 15．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 课本典例12（人教B版选择性必修二P99T6）已知随机变量服从正态分布求的值. 【解析】因为随机变量服从正态分布， 所以， 又， 所以. 【解读扩展】 1.正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线对称； ②曲线在处达到峰值； ③当无限增大时，曲线无限接近轴． 2.若，则；． 【真题再现】 （2024年新课标全国Ⅰ卷） 16．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． （2022年新高考全国II卷） 17．已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【答案】##． 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 回归课本9  概率与统计 高考考点 命题分析 概率 概率作为高考的必考内容；选择、填空常考查古典概型，时而考查对立事件、相互独立事件、概率及独立重复试验的概率；解答题常以频率分布直方图、折线图为载体考查随机变量的分布列及期望、方差，考查数据处理能力、应用意识与创新能力. 统计 高考的必考内容；（1）小题一般比较简单，命题角度主要有：统计数据的分析，多以统计图表（折线图或柱状图）的形式提供数据，进行数据的特征分析，如均值、方差、最值点及趋势分析等.（2）解答题属于中档以上题目，题目涉及两个以上的知识模块，具有一定的综合性.命题角度主要有三个方面：一是统计图表与分布列的综合；二是统计数据的数字特征与回归分析、独立性检验等的综合，此类问题计算量较大，注重数据的分析与应用；三是统计图表与函数内容的结合，包括函数解析式的求解与应用等，这有可能重新成为命题的热点. 课本典例1（人教A版必修三P189T5）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，那么男、女运动员应各抽取多少名？ 【解析】田径队运动员的总人数是，要得到28人的样本，占总体的比例为， 于是应该在男运动员中随机抽取（人）， 在女运动员中随机抽取（人）. 【解读扩展】 进行分层随机抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解： （1）； （2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 【真题再现】 （2023年新课标全国Ⅱ卷） 1．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 课本典例2（人教A版必修第二册P215T4）数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 【解析】证明：设数据的平均数，数据的平均数为，则. ， . 课本典例3（人教A版必修第二册P222T2）（多选题）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ） A．平均数为3，中位数为2    B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4            D．中位数为3，方差为2.8 【解析】解：对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确； 对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确； 对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C错误； 对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为，方差为，所以可以出现点6，所以D正确， 故选：ABD 【解读扩展】 利用样本的数字特征解决优化问题的依据 （1）平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． （2）用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 【真题再现】 （2020年全国高考新课标Ⅲ卷（文）） 2．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（    ） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 （2023年新课标全国Ⅰ卷） 3．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 （2021年全国新高考I卷） 4．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 课本典例4（人教A版必修第二册P197T1）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的值为 ； （2）在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为 . 【解析】（1）由，得. （2）户数为. 故答案为：0.0044；70 【解读扩展】 频率分布直方图的特征 （1）每个矩形的高为；（2）每个矩形的面积为该组的频率；（3）所有矩形的面积之和等于1. 【真题再现】 （2020年天津市高考） 5．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．36 课本典例5（人教A版必修第二册P206）借助居民月均用水量的频率分布直方图.如图，你能估算出样本的平均数、中位数和众数吗？ 【解析】（1）频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和表示，平均数近似值为. （2）根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数． 因此中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由于0.077×3＝0.231，（0.077＋0.107）×3＝0.552， 因此中位数落在区间[4.2，7.2）内，设中位数为， 由， 得到，因此中位数约为6.71. （3）频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2）内的居民最多，可以将这个区间的中点＝5.7作为众数的估计值． 【解读扩展】 频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 【真题再现】 （2022年新高考全国II卷）（节选） 6．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图，估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 课本典例6（人教A版选择性必修第三册P101例1）在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示.表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据. 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 根据上表中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 【解析】先画出散点图，观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关． 根据样本相关系数的定义， .① 利用计算工具计算可得 ， ，. 代入①式，得 . 由样本相关系数，可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强． 【解读扩展】 判定两个变量相关性的方法 画散点图 若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关 样本相关系数 当时，正相关；当时，负相关，越接近1，相关性越强 【真题再现】 （2022年高考全国乙卷（理））（节选） 7．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量．随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.03 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）． 附：相关系数，． （2020年全国高考新课标Ⅱ卷（文））（节选） 8．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，． (1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2)求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（附：相关系数，  ） 课本典例7（人教A版选择性必修第三册P132例3）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 【解析】假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如下表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 根据列联表中的数据，经计算得到． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， ∴可以认为假设成立，即两种疗法效果没有差异． 【解读扩展】 独立性检验的一般步骤 （1）根据样本数据列出2×2列联表． （2）利用公式计算. （3）如果，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”． 【真题再现】 （2021年全国高考甲卷（理）） 9．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表. 机床 品级 合计 一级品 二级品 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? (2)依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异. 附:χ2=. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 课本典例8（苏教版必修二P280例1）一只不透明的口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球、2个黑球从中一次摸出2个球，结果都是白球”记为事件A，求． 【解析】分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号， 则样本空间为，共有10种摸法， 事件，共有包含3种摸法， 由古典概型的概率计算公式，可得． 【解读扩展】 计算古典概型的概率问题的一般步骤 （1）列出所有样本点，得到样本空间中样本点的总数n. （2）找出事件A所包含的样本点，得到A包含的样本点的个数m. （3）利用公式P（A）＝＝，求出概率P（A）． 【真题再现】 （2022年新高考全国I卷） 10．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． （2024年高考全国甲卷（文）） 11．某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 课本典例9（人教A版必修第二册P248例1）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 【解析】因为样本空间， ， ， 所以，. 此时. 因此，A与事件B不独立. 【解读扩展】 判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）P（B）． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率：当P（A）＞0时，可用P（B|A）＝P（B）判断． 【真题再现】 （2021年全国新高考I卷） 12．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 课本典例10（人教A版选择性必修第三册P61T6）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 【解析】解：（1）的取值分别为1，2，3． ，，. 所以李明参加考试次数的分布列为： 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 （2）李明在一年内领到资格证书的概率为：. 【解读扩展】 1.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 （1）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． （2）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件． （3）代入概率的积、和公式求解． 2.离散型随机变量分布列的求解步骤 明取值 明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义 求概率 要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率 画表格 按规范要求形式写出分布列 做检验 利用分布列的性质检验分布列是否正确 【真题再现】 （2022年高考全国甲卷（理）） 13．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 课本典例11（人教A版选择性必修第三册P65例4）根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 【解析】根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表所示． 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案． 设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，． 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，． 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此， ，． 采用方案3， ，，． 于是，， ， ． 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2． 【解读扩展】 1.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 （1）理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值． （2）求ξ取每个值的概率． （3）写出ξ的分布列． （4）由均值的定义求E（ξ）． （5）由方差的定义求D（ξ）． 2.利用均值、方差进行决策的2个方略 （1）当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断． （2）若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策． 【真题再现】 （2021年全国新高考I卷） 14．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. （2024年新课标全国Ⅱ卷） 15．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 课本典例12（人教B版选择性必修二P99T6）已知随机变量服从正态分布求的值. 【解析】因为随机变量服从正态分布， 所以， 又， 所以. 【解读扩展】 1.正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线对称； ②曲线在处达到峰值； ③当无限增大时，曲线无限接近轴． 2.若，则；． 【真题再现】 （2024年新课标全国Ⅰ卷） 16．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． （2022年新高考全国II卷） 17．已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$