精品解析：重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三下学期补习班第四次月考数学试题

重庆西南大学附中2023年高三补习班下学期第四次月考数学试题 注意事项 1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标. 【详解】因为是纯虚数，则，， 所以，对应点为，在第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题. 2. 我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题， 在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值． 因为，解得，，解得．故选B． 【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 3. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或9 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值. 【详解】解：由题意可得， 求得，或， 故选：C. 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题． 4. 已知平面向量，，满足：，，则的最小值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设，，且，由于，所以. 所以 ，即. .当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，，解得.所以当且仅当时有最小值为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 5. 已知，点C在内，且.设，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得,建立坐标系，由已知条件可得，进而可得，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以, 又因为点C在内，且， 建立如图所示的坐标系： 则,, 又因为， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 6. 设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项. 【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为. ①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为； ②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是， 两种事件又是互斥的,∴，即，∴， ∴数列是以为公比的等比数列，而，所以， ∴当时，， 故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题. 7. 若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】， 对应的点， 对应的点位于复平面的第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 8. 已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为 , 设的内切圆的半径为,则, 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】 如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为. 故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 10. 如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有 A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案． 【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面， 作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD， 又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD， 所以平面平面， 同理可证：平面平面， 由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD， 所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对． 【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 11. 已知函数，下列结论不正确的是（ ） A. 的图像关于点中心对称 B. 既是奇函数，又是周期函数 C. 的图像关于直线对称 D. 的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：，正确； ，为奇函数，周期函数，正确； ，正确； D： ，令，则，，，，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减； 且，，，故D错误． 故选：． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题． 12. 已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据，即可得出，从而求出结果． 【详解】，且，， ∴的值可以为． 故选：D． 【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______ 【答案】 【解析】 【分析】 先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求. 【详解】解：的渐近线是 因为在渐近线上，所以 ， 故答案为： 【点睛】考查双曲线离心率的求法，是基础题. 14. 展开式的第5项的系数为_____. 【答案】70 【解析】 【分析】 根据二项式定理的通项公式，可得结果. 【详解】由题可知：第5项为 故第5项的系数为 故答案为：70. 【点睛】本题考查的是二项式定理，属基础题。 15. 设函数在区间上的值域是，则的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】配方求出顶点，作出图像，求出对应的自变量，结合函数图像，即可求解. 【详解】，顶点为 因为函数的值域是， 令，可得或. 又因为函数图象的对称轴为， 且，所以的取值范围为. 故答案为:. 【点睛】本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题. 16. 已知向量，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性质可得平面，即可得到，从而得证； （Ⅱ）在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到的关系，从而得解； 【详解】解：（Ⅰ）证明：在中，，解得， 则，从而 因为平面平面，平面平面 所以平面， 又因为平面， 所以， 因为，，平面，平面，所以平面； （Ⅱ） 解：在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，则 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则 又平面的一个法向量，则 从而，故 则直线与平面所成角为，大小为. 【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题. 18. 已知数列的各项均为正，为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项，再由，求得该数列为等差数列即可求得通项公式； （2）利用错位相减法进行数列求和. 【小问1详解】 因为，则，即， 解得：或（舍）， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得， 整理可得， 又因为数列的各项均为正，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 可知，记数列的前项和为， 则， 所以， 上述两个等式作差可得 ，故. 19. 已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)设数列的公差为d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,进而求得. (2) 由（1）得，,利用分组求和及错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由可得，， 整理得，即， 故， 由可得，则，即， 故. （2）由（1）得，，， 故， 所以，数列的前n项和为， 设①， 则②， ②①得， 综上，数列的前n项和为. 【点睛】本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般. 20. 如图, 在四棱锥中, 底面是矩形, 四条侧棱长均相等. （1）求证：平面; （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【详解】证明：（1）在矩形中，， 又平面， 平面， 所以平面． （2）连结，交于点，连结， 在矩形中，点为的中点， 又， 故，， 又， 平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． 21. 设函数，，其中，为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，； （3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）明确函数定义域，求导，对的取值进行讨论，分析导函数的符号，可得的单调区间. （2）把原不等式转化为，设，分析函数的单调性，证在上恒成立即可. （3）设，根据（1）（2）的结论，由在恒成立，求参数的取值范围. 【小问1详解】 由，得（）， 当时，在成立，则为上的减函数； 当时，由，得， ∴当时，；当时，. 则在上为减函数，在上为增函数. 综上，当时，为上的减函数，当时，在上为减函数，在上为增函数. 【小问2详解】 要证（），即， 即证，也就是证， 令，则， 由. ∴在上单调递增，则， 即当时，，∴当时，. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 当，时，， 故当在区间内恒成立时，必有， 当 时，，由（1）有，而， ∴此时在区间内不恒成立； 当时，令（）， 当时， 由（2）得， 所以， 因此区间上单调递增， 又∵，∴当时，， 即恒成立，综上：. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22. 已知函数． （1）时，求不等式解集； （2）若的解集包含于，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1) 代入可得对分类讨论即可得不等式的解集; (2)根据不等式在上恒成立去绝对值化简可得再去绝对值即可得关于 的不等式组解不等式组即可求得的取值范围 【详解】（1）当时，不等式可化为， ①当时，不等式为，解得； ②当时，不等式为，无解； ③当时，不等式为，解得， 综上，原不等式的解集为． （2）因为的解集包含于， 则不等式可化为， 即．解得， 由题意知，解得， 所以实数a的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆西南大学附中2023年高三补习班下学期第四次月考数学试题 注意事项 1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 3. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或9 4. 已知平面向量，，满足：，，则的最小值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知，点C在内，且.设，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 6. 设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（ ） A. B. C. D. 7. 若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ） A B. C. D. 10. 如图，正方形网格纸中实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有 A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 11. 已知函数，下列结论不正确的是（ ） A. 的图像关于点中心对称 B. 既是奇函数，又是周期函数 C. 的图像关于直线对称 D. 的最大值是 12. 已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______ 14. 展开式的第5项的系数为_____. 15. 设函数在区间上的值域是，则的取值范围是__________. 16 已知向量，且，则___________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角. 18. 已知数列的各项均为正，为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前n项和. 20. 如图, 在四棱锥中, 底面是矩形, 四条侧棱长均相等. （1）求证：平面; （2）求证：平面平面. 21. 设函数，，其中，为自然对数底数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，； （3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立． 22. 已知函数． （1）时，求不等式解集； （2）若的解集包含于，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $