精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

东北育才高中2024-2025学年度下学期高二年级数学科试题 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：魏春新 校对人：来洪臣 付兴 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x（万元）与销售利润y（万元）的统计数据如下表，由表中数据，得线性回归直线l：，则下列结论正确的是（ ）附：， 广告费用x（万元） 2 3 5 6 7销售利润y（万元） 5 7 9 11 A. 直线l过点 B. 直线l过点 C. D. 变量y和x呈负相关 4. 用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A 假设正确，再推正确 B. 假设正确，再推正确 C. 假设正确，再推正确 D. 假设正确，再推正确 5. 函数的极小值是（ ） A. B. C. D. 6. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 81 B. 71 C. 61 D. 51 7. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 若对任意的实数，都存在实数与之对应，则当时，实数的取值范围为 A B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 随机变量X的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖” C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 11. 用圆内接正多边形面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法为割圆术．我们做单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形的周长的一半为，内接正边形的周长一半为，记为正边形的一条边所对圆心角的一半，则（ ） A. 数列是公比为的等比数列 B. C. 成等差数列 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处取得极值0，则______． 13. 已知，，，则______. 14. 小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还_____元.(用，表示) 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 32 48 80 合计 112 88 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ （2）为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的值域. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北育才高中2024-2025学年度下学期高二年级数学科试题 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：魏春新 校对人：来洪臣 付兴 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关系数的概念即可判断. 【详解】由图可知图（1）和图（3）是正相关，故相关系数为正，又因为图（1）点较图（3）的点分布密集，故相关性图（1）更好，相关系数较大，即； 图（2）和图（4）是负相关，故相关系数为负，又因为图（2）的点较图（4）的点分布密集，故相关性图（2）更好，相关系数的绝对值较大，即，故； 综上可知：， 故选：A. 2. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】, 过点， ， ， ， ， . 故选：B 3. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x（万元）与销售利润y（万元）的统计数据如下表，由表中数据，得线性回归直线l：，则下列结论正确的是（ ）附：， 广告费用x（万元） 2 3 5 6 7销售利润y（万元） 5 7 9 11 A. 直线l过点 B. 直线l过点 C. D. 变量y和x呈负相关 【答案】B 【解析】 【分析】求出回归方程，对于A：求出l经过，即可判断；对于B：直线l过样本中心点；对于C：计算出，即可判断；对于D：由判断正相关. 【详解】由表中数据计算，，所以线性回归直线经过样本中心点，所以B正确； 又， ，所以， 所以变量y和x呈正相关.故D错误； 所以，所以C错误； 所以回归方程为，当时，.所以直线过点，故A错误. 故选：B. 4. 用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A. 假设正确，再推正确 B. 假设正确，再推正确 C. 假设正确，再推正确 D. 假设正确，再推正确 【答案】B 【解析】 【分析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设． 【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确； 故选：B． 【点睛】本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键 5. 函数的极小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，研究其区间单调性，进而求极小值即可. 【详解】由题设， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 6. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 81 B. 71 C. 61 D. 51 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：C 7. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】可能的取值为；可能的取值为， ，，， 故，. ，， 故，, 故，.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 8. 若对任意的实数，都存在实数与之对应，则当时，实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设有，令，则，所以，当时，，在为增函数；当时，，在为减函数，所以，注意到当时，，故选D. 点睛：题设条件中变量较多，但可以把看成整体，从而把问题转化为一元函数的值域来讨论. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 随机变量X的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖” C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答. 【详解】随机变量， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，由于，则随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖”，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 而，因此，故D错误． 故选：ABC. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过导数的概念可判断A，对复合函数求导后计算可判断B，利用导数的运算法则求解判断C，求导然后代数解方程即可判断D. 【详解】对于A，因为函数在上可导，且， 所以，故A正确； 对于B，因为，若则，即，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为,故，故，故D正确. 故选:ABD. 11. 用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法为割圆术．我们做单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形的周长的一半为，内接正边形的周长一半为，记为正边形的一条边所对圆心角的一半，则（ ） A. 数列是公比为的等比数列 B. C. 成等差数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用圆内接正多边形的意义与圆的外切多边形的意义可求得，，，借助三角恒等变换、等差数列、等比数列定义计算可判断每个选项的正误. 【详解】由正边形的性质可得，所以数列是公比为的等比数列，故A错误； 由题意可得，，所以，故B正确； 由，得，所以， 所以， ，所以成等差数列，故C正确； 因为，，所以，， 所以， ， 所以对任意正整数，可得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处取得极值0，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数在处取得极值0，可得，，进而求解即可. 【详解】由，得， 因为函数在处取得极值0， 所以，解得或， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，，则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极小值. 综上所述，. 故答案为：2. 13. 已知，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式和条件概率公式进行计算即可. 【详解】. . 故答案为： 14. 小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还_____元.(用，表示) 【答案】 【解析】 【分析】小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款元每月也要产生复利，结合等比数列求和公式运算求解即可. 【详解】设每月还元， 按复利计算，则， 即，解得. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. 小问2详解】 ， ， 数列的前项和为. 16. 游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 32 48 80 合计 112 88 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ （2）为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为是否喜欢游泳与性别有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据，计算得到，结合附表，即可得到答案. （2）根据题意，求得抽取的男大学生有5人，女大学生有2人，得到的所有可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 零假设为：是否喜欢游泳与性别无关联． 根据列联表中的数据，计算得到， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢游泳与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】 由题意可知抽取的男性有人，女性有人， 随机变量X的所有可能取值为0，1，2， 且，，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，求出，列出变化时，，的变化情况表，由表即可得其单调区间； （2）由（1）可知在上的极值，再求出在区间端点处的函数值，其最小者为最小值，最大者为最大值，从而得值域； 【小问1详解】 函数的定义域是， 令，解得或. 当x变化时，，的变化情况如下表： 1 2 + 0 0 + 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知在区间内， 当时，取得极小值. 由，，， 得， 所以在区间上的值域为. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论到函数的符号，可得函数的单调性. （2）假设存在满足条件的点，根据题意，问题可转化成方程在上解的情况.设函数，求导，分析函数单调性，可得函数零点情况. 【小问1详解】 因为，所以.因为，所以. 所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数； 若，由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 综上：当时，在为增函数； 当时，在上递减，在上递增. 【小问2详解】 当时，.设，则. 假设存在，使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率， 即， 因为，所以. 设，则（当且仅当时取”）. 但，所以在恒成立.所以在上单调递增， 又.所以上恒成立.即方程在上无解. 即满足条件的点不存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$