期末复习专题01 相交线与平行线2024-2025学年人教版数学七年级下册

期末复习专题01 相交线与平行线 【考点一】 对顶角与邻补角 题型1 选择题 1．和是对顶角的图形为（    ） A． B． C． D． 2．如图，与互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 3．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 4．如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一束光线从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中为入射光线，为折射光线，直线为法线，点，，在同一条直线上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【提升】 6．如图，直线，相交于点O，，，平分，给出下列结论：当①时，；②与相等的角有三个；③为的平分线；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 填空题 7．如图，直线交 于点O， 平分，若，则等于 8．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ． 9．如图，直线，交于点O ，平分，，若， 则的度数为 ． 题型3 解答题 10．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分，若，求． 11．如图，直线，相交于点，，且平分，，求的度数． 12．如图，直线，相交于点O，平分． (1)图中与相等的角有______．（用图中的字母写出角的名称．） (2)若，求的度数； 13．直线、相交于点，、是两条射线． (1)如图1，若平分，，，求的度数； (2)如图2，若平分，，设，求的度数．（用含的式子表示） 【提升】 14．如图，为直线上的一点，在直线的上方，，一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，的度数为 ，的度数为 ． (2)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求的度数． (3)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为 ． 【考点二】 同位角、内错角、同旁内角 题型1 选择题 15．下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 16．如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 17．如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 题型2 填空题 18．如图，与是直线a和直线b被直线c所截的 角． 19．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的同位角的度数是 ；的同旁内角的度数是 ． 20．如图，与成同位角的角有 个． 21．如图，与是直线和直线被直线 所截而得到的 角． 题型3 解答题 22．下图所示是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角、内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角跳到终点角，可以走不同的路径，例如： 路径1：； 路径2：． 试一试： (1)写出一条从起始角跳到终点角的路径； (2)从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角、同旁内角、内错角、同位角的顺序跳，能否跳到终点角？若能，写出其路径；若不能，请说明理由． 23．如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会弯曲，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变． (1)请指出的同位角与的同旁内角． (2)淇淇使用工具测得，求的度数． 24.（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【考点三】 平行线的判定与性质 题型1 选择题 25．如图，下列推理中，正确的是（   ）． A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 题型2 解答题 26．已知：如图，，，，垂足分别为，． 求证：为的平分线． 证明：，（已知）， （______）． ______（ ）． ∴______（   ）， ______（   ）． 又∵（已知）， （______）， 即为的平分线． 27．把下列推理过程补充完整： 如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：． 证明：，， ，（ ① ）． （等量代换）． （ ② ）． ③ （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ， （内错角相等，两直线平行）． （ ⑤ ）． 【考点四】 平行线的性质求角度 题型1 选择题 28．如图，小明从A处出发，沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整至，才能与出发时的方向一致，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 30．如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 31．将含有角的直角三角板如图放置，其中，若， 则（     ） A． B． C． D． 32．一副三角尺按如图方式放置，若，，则（    ） A． B． C． D． 【提升】 33．如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 34．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 题型2 填空题 35．如图，已知平分，则的度数为 ． 36．光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 °． 37．如图，，，，则 ． 38．将两张长方形纸片按如图所示的方式摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，若，则的度数为 ． 【提升】 39．如图，在四边形中，平分交于点，连接，点为上方一点，连接，点分别是延长线上的点，已知．下列结论：①与为内错角；②；③；④平分．其中所有正确结论的序号为 ． 40．如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ． 41．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，点在上，连接，，已知，；下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ． 42．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）． 题型3 解答题 43．如图，在三角形中，点分别在边上，连接，延长至点E，连接并延长交于点平分，已知． (1)与相等吗？判断并说明理由； (2)若，求的度数． 44．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 45．已知：如图，点E在上，，垂足分别为D、F，点M、G在上，，．求证：． 46．如图，直线，被直线所截，连接，过点作于点，延长交于点，点在线段上，过点作于点，延长交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 47．如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 48．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【提升】 49．综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． (1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． (2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． (3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 50．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 51．如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度． (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值． 52．已知，解决下列问题： (1)如图①，分别平分、，若，则的度数为__________． (2)如图②，若，，则与的数量关系为__________． (3)如图③，若，，设，则的度数为__________．（直接用含的代数式表示）． 53．综合与实践 【问题情境】平面内两直线的位置关系只有两种：相交和平行．若证明两直线相交可借助定义确定它们有一个公共点；若证明两直线与平行，无法直接利用定义说明，根据对课本知识的学习，有两种方法可以说明，如图1，引入直线，借助角的关系说明两直线平行；如图2，引入直线也可以说明两直线平行． 【问题探究】如图3，的顶点在直线与之间，若，求证：． 小红借助图1的思路，延长交于点，如图4，可以证明；小白借助图2的思路，过点作，如图5，可以证明；请你选择其中一种思路，完成证明． 【方法延伸】 若是的一个内角，，，顶点在直线上，与交于点，如图6， （1）当时，则与之间的数量关系是________________（用含的式子表示）； （2）若，且平分交于点，则与之间的数量关系是________（用含的式子表示）． 【考点5】 命题、定义、定理 题型1 选择题 54．下列四个命题： ①在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交； ②在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行； ③在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c垂直； ④在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交．其中，真命题有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 55．下面四个命题中：①对顶角相等；②内错角相等，两直线平行；③直角三角形两锐角互余；④如果a，b都是正数，那么．它们的逆命题是真命题的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④ 56．有春香、夏香、秋香、冬香4个人，请你通过下列提示辨别A，B，C，D中谁是秋香． ①A不是秋香，也不是夏香； ②B不是冬香，也不是春香； ③如果A不是冬香，那么C不是夏香； ④D既不是夏香，也不是春香； ⑤C不是春香，也不是冬香． 若上面的命题都是真命题，则秋香是（   ） A．A B．B C．C D．D 57．下列命题中，属于真命题的是 A．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角 B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等 D．如果，那么 题型2 填空题 58．举反例说明命题“如果，那么”是假命题： ． 59．有下列命题：①垂线段最短；②相等的角不是对顶角就是同一个角；③两直线平行，同旁内角相等；④两个锐角的和是锐角或者直角；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．其中，是假命题的有 （填序号）． 60．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式 ． 【考点5】 平移 题型1 选择题 61．小刚读了“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了如图所示的几幅鱼的图案，则下列四个选项中可以通过左图平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 62．如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 63．如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 64．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 题型2 填空题 65．如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 66．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 67．如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 68．将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 69．如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 题型3 解答题 70．与是两个完全相同的直角三角形．将沿点B到点C的方向从的位置平移到如图所示的位置．若，图中阴影部分的面积为84，，求平移的距离． 71．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点在网格的格点上，平移后的对应点为． (1)在网格中画出平移后所得的； (2)连接，则与的关系是___________； 72．如图，将沿方向平移得到，点，，的对应点分别是点，，． (1)若，求的度数； (2)若，，求平移的距离． 73．如图、在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、之间的关系是______； (3)画格点，使得直线； (4)在上找一点，使得写出的面积是． 74．如图，三角形三个顶点的坐标分别为，，． (1)将三角形三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，得到，画出，并指出点，，的坐标； (2)在这个变换过程中，求线段扫过的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题01 相交线与平行线（教师版） 【考点一】 对顶角与邻补角 题型1 选择题 1．和是对顶角的图形为（    ） A． B． C． D． 1．B【详解】解：由对顶角的定义可知：B选项中和是对顶角， 故选：B． 2．如图，与互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 2．D 【分析】本题考查了邻补角的概念，掌握邻补角的概念，数形结合分分析是关键． 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，由此即可求解． 【详解】解：根据邻补角的概念可得，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， ∴符合题意， 故选：D ． 3．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 3．C 【分析】本题考查邻补角的定义，解题的关键是掌握邻补角的定义即相邻两角和为． 【详解】解：由邻补角的性质得到：， ∴增加时，那么减少． 故选：C． 4．如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．A 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等．根据角平分线的定义求出，再由对顶角相等即可解答． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故选：A． 5．如图，一束光线从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中为入射光线，为折射光线，直线为法线，点，，在同一条直线上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．A 【分析】此题主要考查了对顶角的性质．先求得，再利用角的和差计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【提升】 6．如图，直线，相交于点O，，，平分，给出下列结论：当①时，；②与相等的角有三个；③为的平分线；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．C 【分析】本题考查对顶角，角平分线定义，余角的性质，垂直的定义，由余角的性质得到，由角平分线定义，对顶角的性质，余角的性质即可得到与相等的角有三个，由平角定义推出． 【详解】解：①∵， ∴， 当时，，正确， 故①符合题意； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴与相等的角有三个，正确， 故②符合题意； ③∵平分， ∴， ∵， ∴不一定等于， ∴不一定是的平分线， 故③不符合题意； ④，正确， 故④符合题意． 其中正确的结论有3个． 故选：C． 题型2 填空题 7．如图，直线交 于点O， 平分，若，则等于 7．/73度 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 8．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ． 8．64 【详解】由对顶角相等可知：， ∵， ∴， 故答案为：64． 9．如图，直线，交于点O ，平分，，若， 则的度数为 ． 9．/25度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 题型3 解答题 10．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分，若，求． 10．． 【分析】本题考查求角度，邻补角等知识．利用对顶角相等求得，根据，求得，再利用邻补角的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，直线，相交于点，，且平分，，求的度数． 11． 【详解】解：， ， ，， ， ， 平分， ， ． 12．如图，直线，相交于点O，平分． (1)图中与相等的角有______．（用图中的字母写出角的名称．） (2)若，求的度数； 12．(1) (2) 【详解】（1）解：∵平分． ∴ 则， 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴． 13．直线、相交于点，、是两条射线． (1)如图1，若平分，，，求的度数； (2)如图2，若平分，，设，求的度数．（用含的式子表示） 13．(1) (2) 【详解】（1）， ， 平分， ， ， ； （2）设， ， ， 平分， ， ． 14．如图，为直线上的一点，在直线的上方，，一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，的度数为 ，的度数为 ． (2)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求的度数． (3)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为 ． 14．(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）结合邻补角定义可得，再由进行计算即可得解； （2）结合（1）中所求的，结合角平分线定义可解得，则； （3）设，则，，直接进行计算即可． 【详解】（1）解：依题得：， ， ， ． 故答案为：，． （2）解：，恰好平分， ， ． （3）解：设，则，， ． 故答案为：． 【考点二】 同位角、内错角、同旁内角 题型1 选择题 15．下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 15．B 【详解】解：A．与是同位角，不符合题意； B．与是内错角，符合题意； C．与是对顶角，不符合题意； D．与是同旁内角，不符合题意； 故选：B． 16．如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 16．C 【详解】解：两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上，那么这个图形表示的是内错角， 故选：C． 17．如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 17．C 【详解】解：A、和是内错角，原说法正确，不符合题意； B、和是同旁内角，原说法正确，不符合题意； C、和是同位角，原说法错误，符合题意； D、和是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 题型2 填空题 18．如图，与是直线a和直线b被直线c所截的 角． 18．内错 【详解】解：与是直线a和直线b被直线c所截的内错角， 故答案为：内错； 19．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的同位角的度数是 ；的同旁内角的度数是 ． 19． /70度 /70度 【详解】解：的同位角是 ． ∵，， ∴，即的同位角的度数是． 的同旁内角是 ． ∴的同旁内角的度数是． 故答案为：，． 20．如图，与成同位角的角有 个． 20． 【详解】解：如图， 与构成同位角的有，， 故答案为：． 21．如图，与是直线和直线被直线 所截而得到的 角． 21． / 内错 【详解】解：与是直线和直线被直线所截而得到的内错角． 故答案为：，内错． 题型3 解答题 22．下图所示是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角、内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角跳到终点角，可以走不同的路径，例如： 路径1：； 路径2：． 试一试： (1)写出一条从起始角跳到终点角的路径； (2)从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角、同旁内角、内错角、同位角的顺序跳，能否跳到终点角？若能，写出其路径；若不能，请说明理由． 22．(1) (2)能．路径为：或 【详解】（1）解：路径为：（答案不唯一） （2）解：能． 路径为：或． 23．如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会弯曲，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变． (1)请指出的同位角与的同旁内角． (2)淇淇使用工具测得，求的度数． 23．(1)的同位角：、；的同旁内角： (2) 【详解】（1）解：的同位角；；的同旁内角：； 直线被直线所截得出的同位角为 直线被直线所截得出的同位角为 直线被直线所截得出的同位角为． 直线被直线所截得出的同旁内角为； 直线被直线所截得出的同旁内角为； （2）解：， ． ， ． 24．（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 24．（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3）同位角有对，内错角有对，同旁内角有对． 【详解】解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有 2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有 12对，内错角有 6对，同旁内角有 6对． 故答案为：12，6，6； （3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对， 故答案为： ，，． 【考点三】 平行线的判定与性质 题型1 选择题 25．如图，下列推理中，正确的是（   ）． A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 25．B 【详解】解：A．与是同位角，不符合题意； B．与是内错角，符合题意； C．与是对顶角，不符合题意； D．与是同旁内角，不符合题意； 故选：B． 题型2 解答题 26．已知：如图，，，，垂足分别为，． 求证：为的平分线． 证明：，（已知）， （______）． ______（ ）． ∴______（   ）， ______（   ）． 又∵（已知）， （______）， 即为的平分线． 26．垂直的定义；；同位角相等；两直线平行；；两直线平行；内错角相等；；两直线平行；同位角相等；2；3；等量代换 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义 ）． （同位角相等，两直线平行）． ∴（ 两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， （等量代换）， 故答案为：垂直的定义；；同位角相等；两直线平行；；两直线平行；内错角相等；；两直线平行；同位角相等；2；3；等量代换． 27．把下列推理过程补充完整： 如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：． 证明：，， ，（ ① ）． （等量代换）． （ ② ）． ③ （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ， （内错角相等，两直线平行）． （ ⑤ ）． 27．见解析 【详解】证明：，， ，（垂直的定义）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ， （内错角相等，两直线平行）． （平行于同一条直线的两直线平行）． 【考点四】 平行线的性质求角度 题型1 选择题 28．如图，小明从A处出发，沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整至，才能与出发时的方向一致，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．D 【详解】解：如图， 由图可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 29．随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 29．C 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 30．如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 30．B 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 31．将含有角的直角三角板如图放置，其中，若， 则（     ） A． B． C． D． 31．C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 32．一副三角尺按如图方式放置，若，，则（    ） A． B． C． D． 32．B 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 故选：B． 【提升】 33．如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 33．A 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：A． 34．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 34．B 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 题型2 填空题 35．如图，已知平分，则的度数为 ． 35．/33度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义进行计算即可解答，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 平分， ， 故答案为：． 36．光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 °． 36．76 【详解】解：， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：76． 37．如图，，，，则 ． 37． 【详解】解：如图：过P作， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 38．将两张长方形纸片按如图所示的方式摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，若，则的度数为 ． 38． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形，是长方形， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：． 【提升】 39．如图，在四边形中，平分交于点，连接，点为上方一点，连接，点分别是延长线上的点，已知．下列结论：①与为内错角；②；③；④平分．其中所有正确结论的序号为 ． 39．①②④【详解】解：根据图示，与为内错角，故①正确； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，平分， ∴， ∴，且， ∴， ∴平分，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 40．如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ． 40． 【详解】解：根据题意可知，根据折叠得. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 41．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，点在上，连接，，已知，；下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ． 41．②③/③② 【详解】解：与位于之间，的右侧，与互为同旁内角，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分；故③正确； ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴，故④错误 故答案为：②③． 42．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）． 42．①②④ 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故答案为：①②④． 题型3 解答题 43．如图，在三角形中，点分别在边上，连接，延长至点E，连接并延长交于点平分，已知． (1)与相等吗？判断并说明理由； (2)若，求的度数． 43．(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定是，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由（1）可知，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：， ， ， 平分， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 44．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 44．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 45．已知：如图，点E在上，，垂足分别为D、F，点M、G在上，，．求证：． 45．见解析 【详解】证明：，垂足分别为D、F（已知）． （垂直的定义）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已知）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （已知）． （同位角相等，两直线平行）． （平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 46．如图，直线，被直线所截，连接，过点作于点，延长交于点，点在线段上，过点作于点，延长交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 46．(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 47．如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 47．(1)，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 48．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 48．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：过点F作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ② 过点E作， 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：与所成锐角的度数为． 49．综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． (1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． (2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． (3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 49．(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过点作 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵ ∴ ∵， 由（1）可得 （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， 由（1）可得， ∴ 即． 【提升】 50．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 50．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为； （2）证明：由（1）得：， 同理：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴ （3）解：如图3，作的角平分线交于点，    ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 由（2）得：， ． 51．如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度． (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值． 51．(1) (2)，理由见解析 (3)的值为或或或或 【详解】（1）解：， 落在射线上时，旋转的角度是， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2），理由如下： 由图3可知，，， ， 即； （3）①当时，或， 或； ②当时，， ； ③当时，， ， ； ④当时，， ； 综上所述，的值为或或或或． 52．已知，解决下列问题： (1)如图①，分别平分、，若，则的度数为__________． (2)如图②，若，，则与的数量关系为__________． (3)如图③，若，，设，则的度数为__________．（直接用含的代数式表示）． 52．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图①，过作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图②，过作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，过作，过点P作， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 53．综合与实践 【问题情境】平面内两直线的位置关系只有两种：相交和平行．若证明两直线相交可借助定义确定它们有一个公共点；若证明两直线与平行，无法直接利用定义说明，根据对课本知识的学习，有两种方法可以说明，如图1，引入直线，借助角的关系说明两直线平行；如图2，引入直线也可以说明两直线平行． 【问题探究】如图3，的顶点在直线与之间，若，求证：． 小红借助图1的思路，延长交于点，如图4，可以证明；小白借助图2的思路，过点作，如图5，可以证明；请你选择其中一种思路，完成证明． 【方法延伸】 若是的一个内角，，，顶点在直线上，与交于点，如图6， （1）当时，则与之间的数量关系是________________（用含的式子表示）； （2）若，且平分交于点，则与之间的数量关系是________（用含的式子表示）． 53．【问题探究】见详解；【方法延伸】（1）（2） 【详解】解：（问题探究）小红：， ， ； 小白：， ， ， ， ， ； （方法延伸）（1）过点作； ，， ，， ， ； ， ； ； 故答案为： （2）解：平分， ， 在四边形中， ， ， ； 故答案为： 【考点五】 命题、定义、定理 题型1 选择题 54．下列四个命题： ①在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交； ②在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行； ③在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c垂直； ④在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交．其中，真命题有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 54．C 【详解】解：如图， ∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交，故①是假命题； 在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行；故②是真命题； 如图， ∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c平行；故③是假命题； 在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交；④是真命题； ∴真命题有②④； 故选：C 55．下面四个命题中：①对顶角相等；②内错角相等，两直线平行；③直角三角形两锐角互余；④如果a，b都是正数，那么．它们的逆命题是真命题的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④ 55．C 【详解】解：①逆命题为相等的角为对顶角，是假命题； ②逆命题为两直线平行，内错角相等，是真命题； ③逆命题为两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题； ④逆命题为如果，那么a，b都是正数，是假命题． 故它们的逆命题是真命题的是②③． 故选：C 56．有春香、夏香、秋香、冬香4个人，请你通过下列提示辨别A，B，C，D中谁是秋香． ①A不是秋香，也不是夏香； ②B不是冬香，也不是春香； ③如果A不是冬香，那么C不是夏香； ④D既不是夏香，也不是春香； ⑤C不是春香，也不是冬香． 若上面的命题都是真命题，则秋香是（   ） A．A B．B C．C D．D 56．C 【详解】解：由①知：A是冬香或春香；由②知：B是夏香或秋香； 由⑤知：C为秋香或夏香；由④知：D为秋香或冬杏， 综上所述，只有C或D才有可能是秋香； 只有A可能是春香；因此A必为春香； 由③知：当A不为冬香时，C必为秋香 故选：C． 57．下列命题中，属于真命题的是 A．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角 B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等 D．如果，那么 57．A 【详解】解：A、如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角，所以A选项正确； B、如果两个角相等，那么这两个角不一定为对顶角，所以B选项错误； C、如果两个角是两平行直线被第三条直线所截得的同位角，那么这两个角一定相等，所以C选项错误； D、如果，那么或，所以D选项错误． 故选：A． 题型2 填空题 58．举反例说明命题“如果，那么”是假命题： ． 58．答案不唯一，如， 【详解】解：“如果，那么”是假命题，可举反例为：，， ∵此时，满足条件，但是，不满足结论， 故答案为：，（答案不唯一）． 59．有下列命题：①垂线段最短；②相等的角不是对顶角就是同一个角；③两直线平行，同旁内角相等；④两个锐角的和是锐角或者直角；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．其中，是假命题的有 （填序号）． 59．②③④ 【详解】①垂线段最短，这是一个基本的几何定理，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短 ，是真命题． ②相等的角不是对顶角就是同一个角，相等的角除了对顶角、同一个角外，还有同位角、内错角等多种情况，比如两直线平行时，同位角相等，它们既不是对顶角也不是同一个角，所以该命题是假命题． ③两直线平行，同旁内角相等，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，即同旁内角和为 ，并非相等，所以该命题是假命题． ④两个锐角的和是锐角或者直角，例如与这两个锐角，它们的和是，是钝角，并非一定是锐角或者直角，所以该命题是假命题． ⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，这是平行公理的推论，是真命题． 综上，假命题的有②③④； 故答案为：②③④． 60．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式 ． 60．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【详解】解：命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【考点六】 平移 题型1 选择题 61．小刚读了“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了如图所示的几幅鱼的图案，则下列四个选项中可以通过左图平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 61．C 【详解】解：观察选项，可以通过左图平移后得到的是选项C，其它三项皆改变了方向，故不合题意． 故选：C． 62．如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 62．B 【详解】解：设， ∵将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴点与点的距离为． 故选：B． 63．如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 63．C 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 64．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 64．A 【详解】解：根据图形平移的性质可得，，， ， ， 故选：A． 题型2 填空题 65．如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 65．540 【详解】解：由题意得 （）， 故答案为：． 66．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 66． 【详解】解：由平移可得，空白部分长方形的长为，宽为， ∴空白部分长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 67．如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 67．18 【详解】解：， ， 梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ， ， ， 故答案为：． 68．将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 68．或或 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 当在右边时，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，交线段于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在左边时，交直线于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 69．如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 69．4 【详解】解：∵将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，， ∴，，，，，， ∴，四边形的周长．， ∴， ∴， 即结论正确的有4个． 故答案为：． 题型3 解答题 70．与是两个完全相同的直角三角形．将沿点B到点C的方向从的位置平移到如图所示的位置．若，图中阴影部分的面积为84，，求平移的距离． 70．平移的距离为． 【详解】解：根据平移可得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为． 71．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点在网格的格点上，平移后的对应点为． (1)在网格中画出平移后所得的； (2)连接，则与的关系是___________； 71．(1)图见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图和平移的性质可知：； 故答案为：． 72．如图，将沿方向平移得到，点，，的对应点分别是点，，． (1)若，求的度数； (2)若，，求平移的距离 72．(1)的度数为； (2)平移的距离为． 【详解】（1）解：∵沿方向平移得到，， ∴； （2）解：∵沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平移的距离为． 73．如图、在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、之间的关系是______； (3)画格点，使得直线； (4)在上找一点，使得写出的面积是． 73．(1)见解析 (2)平行且相等 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，连接、， 由图可知，线段、之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）如图，点即为所求； （4）如图，点即为所求． 74．如图，三角形三个顶点的坐标分别为，，． (1)将三角形三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，得到，画出，并指出点，，的坐标； (2)在这个变换过程中，求线段扫过的面积． 74．(1)见解析；，， (2)10 【详解】（1）如图所示，即为所求； ∴，，； （2）线段扫过的面积平行四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$