2025年浙江省中考数学二轮复习课件：线段比例关系的证明

线段比例关系的证明 1 知识导引 1.几何图形中线段比例关系证明的主要工具是相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例，结合等量代换等转化技巧是证明线段比例关系的主要方法. 2 2.常用的一些证明线段比例关系的定理: （1）直角三角形中的成比例线段(射影定理): 如图，在 中， 是斜边上的高， 则 ， ， . 注意图中边角的等量关系以及直角三角形其他性质的应用. 3 （2）圆里面的比例关系（相交弦定理、割线定理和切割线定理）： 如图1，圆内两弦 ， 相交于点 ，则有 ； 图1 4 如图2，从圆外一点引圆的两条割线 ， ，则有 ； 图2 如图3， 是圆的切线， 是圆的割线，则有 . 5 图3 3.通过线段比例关系证明的几何问题，常综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形、特殊四边形等知识，要注意知识的综合运用及常见图形的特殊结论，注意分析综合法在解题中的应用. 6 典例精析 例1 如图，四边形 ， 都是正方形， 连结 ， ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ．求证： 7 （1） . 【解】 四边形 和四边形 都是正方形， ， ， . . （2） . [答案] 由（1）得 ， .又 ， ，即 . 8 【思路分析】（1）根据旋转变换的特征容易找出 与 全等. （2）将等积式转化为比例式，可以找出需要证明的相似三角形. 【方法归纳】 本题是全等与相似证明的综合，要注意图中包含了旋转变换，从几何变换的角度去观察图形更容易找到所需要的条件. 9 图1 例2 如图1， ， 是 的直径， 是 的弦，且 ，过点 的切线与 的延长线 交于点 ，连结 . （1）求证： 平分 . 【解】 ， .又 ， ，即 平分 . 10 （2）求证： . 图2 [答案] 如图2，连结 是 的切线， ， . ，即 . 11 （3）若 ，求 的半径. 图2 [答案] ， . ， ，即 ，解得 或 （舍去）. . . 12 如图2，过点 作 于点 ，连结 . ， 四边形 为矩形. ， ， . ， . . 在 和 中， 的半径为5. 13 【思路分析】（1）由 知 ，根据 即可得 连结 ，根据弦切角定理，由 是 的切线得 ，从而证得 即可.（3）由 ， 求得 ， ，作 可得 ， ，再证 得 ，据此得出 的长即可. 14 【方法归纳】 本题考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点是解题的关键，第（2）题实际是证明切割线定理. 15 图1 例3 如图1，在 中， ， 平分 交 于 点 .求证： . 图2 【解】 如图2，过点 作 ，交 于点 ． 16 是 的平分线， ， ． , ， 是等边三角形. . ， . . . . 【思路分析】 由 平分 得 ．若作 ，交 于点 ，则 为等边三角形，从而得到 .通过 即可得证． 【方法归纳】 对于 这类不规则的线段关系的证明，可以 通过等式变形，将式子转化为比例关系来证明.构造相似是本题的主要 方法，而添加平行线是构造相似的主要辅助线作法. 18 探究活动 图1 例 如图1，在四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， 为对角线 延长线上的任意 一点， 的延长线交 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 .求证： 是线段 的中点. 19 图2 【解】 如图2，取 的中点 ， 连结 ， ，过点 作 ， ， . ， . ， ， . ， ， ，即 是线段 的中点. 交 于点 ，连结 ， ， 分别是 ， ， 的中点， 20 【思路分析】取 的中点 ，连结 ， 过点 作 交 于点 ，连结 ，由 ， 可证得 .由 可知 ，则 ，从而可证得 ，最后可得 【方法归纳】 本题考查线段截三角形所得的线段的比为定值.一方面利用平行线构造平行相似得到比例关系，另一方面巧妙利用中点进行比例式之间的等量转化，结合比例的性质、等式的性质推导出线段之间的相等关系. 21 学力训练 A组 夯实基础 （第1题） 1.如图，已知 ， 与 相交于点 ， ， ， ，则 等于( ) . A A. B. C. D. 22 （第2题） 2.如图，已知 ， ， ， ，则 等于( ) . A A. B. C.12 D. （第3题） 3.如图，已知矩形 为 的内接四边形， ， ，点 为 上一点，且 ，延 长 交 于点 ，则线段 的长为( ) . A A. B.5 C. D. 23 （第4题） 4.如图， 是 的切线， 为切点， 是 割线，交 于 ， 两点，与直径 交于 点 .已知 ， ， ，则 ____. 20 24 5.如图，已知在 中， 是 边上的中线， 交 于点 ， ，则 __. <m></m> （第5题） 25 （第6题） 6.如图，在四边形 中， ， 过点 作对角线 的垂线交 ， 于点 ， . 求证： . 26 [答案] ， ， . . ， ， . . 27 图1 7.（1）如图1，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 上，且 ， 交 于点 .求 证： . [答案] 在 中， ， .同理，在 中， . . 28 （2）在 中， ，正方形 的四个顶点在 的边上，连结 ， 分别交 于 ， 两点. ①如图2，若 ，直接写出 的长. 图2 29 ②如图3，求证： . 图3 30 [答案] ; ， ， .又 ， . . . 又 ， . 由（1）得 , . . 31 B组 瞄准中考 （第1题） 1.【泰安】如图，在正方形 中， 为 上一 点， ， 交 的延长线于点 .若 ， ，则 的长为( ) . B A.18 B. C. D. 32 （第2题） 2.【淄博】如图，已知在 中， ， ， ， ， 的平分线相交于点 ， 过点 作 交 于点 ，则 的长为( ) . C A. B. C. D. 33 [解析] 如答图所示，延长 交 于点 ，作 于点 ，作 于点 . ， ， ， 四边形 是矩形. 平分 ， 平分 ， ， 四边形 是正方形.在 34 和 中， .同理可得 ， . 设 ，则 ， ， ，解得 ， ， ，即 ，解得 . . （第3题） 3.【泉州】如图， 的弦 ， 相交于点 ，若 ，则 _ ____. <m></m> （第4题） 4.【宜宾】如图， 的内接正五边形 的对角线 与 相交于点 ，若 ，则 的长是_ _______. <m></m> 36 （第5题） 5.【河池】如图，已知菱形 的边长为1，直线 过 点 ，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ， 则 ___. 1 37 （第6题） 6.【娄底】如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ， 是 的中点， 交 于点 . （1）若 ， ，求 的长. [答案] 连结 ， . 的长为 . 38 （2）判断直线 与 的位置关系，并说明理由. [答案] 是 的切线，理由如下： ， ， ， ， . 在 和 中， . 是 的切线. 39 （3）求证： . [答案] ， ， ， ， ， . 40 7.【武汉】在 中， 为边 上一点. 图1 （1）如图1，若 ，求证： . [答案] ， ， . . 41 （2）若 为 的中点， . 图2 ①如图2，若 ， ，求 的长. [答案] 如答图1所示，取 的中点 ，连结 .设 ，则 ， 是 的中点， ， ，即 ，解得 . ， . 42 ②如图3，若 ， ，直接写出 的长. 图3 （第7题） 43 [答案] 如答图2所示，过点 作 于点 ，延长 到点 ，使 ，连结 .设 ， ， ， ， ， ， . .又 ， 44 . 或 （舍去） . 图1 图2 C组 冲击金牌 （第1题） 1.【湖北校级自主招生】如图，已知 的半径为6， 是 外一点，且 ，过点 的直线与 交于 ， 两点， ， 关于 的对称点分别为点 ， ， 与 交于点 ，则 的长为( ) . C A.4 B.3.5 C.3 D.2.5 46 [解析] 如答图所示，连结 与 交于点 ，连结 ， .根据对称性可知 且 ， 点 在直线 上， . 根据垂径定理知 .又 ， 47 ， ， .又 ， ，即 ，解得 .故选C. 48 （第2题） 2.【绵阳】如图，过锐角三角形 的顶点 作 ， 恰好平分 ， 平分 交 的延长线于点 ，在 上取点 ，使得 ， <m></m> 连结 并延长，交直线 于点 .若 ， 的面积是 ， 则 的值为_________. 49 [解析] 如答图所示，过点 作 于点 平分 ， ， ， . ， . .设 中， 边上的高为 ， 中 边上的高为 ， . 50 的面积为 ， . .设 的 面积为 ， . . . . . . （第3题） 3.如图，点 ， 分别在四边形 的边 ， 的 延长线上，且满足 ．若 ， 的延长线相交 于点 ， 的外接圆与 的外接圆的另一个 交点为 ，连结 ， ， ， .求证： 52 （1） . [答案] 如答图所示，连结 ， ， ，四边形 和四边形 都内接于圆. , . . ， . .又 ， . 53 （2） . [答案] ， ， ， . 54 $$