2025年浙江省中考数学二轮复习课件：平面图形的面积计算

平面图形的面积计算 1 知识导引 1.关于面积的几点重要知识：（1）全等形的面积相等.（2）多边形的面积定理（三角形、梯形等）.（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形的面积相等（对梯形底相等应理解为两底和相等）.(4)等底的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于这底上的高的比.（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方. 2 2.等积变换与面积法：等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题． 3.在竞赛中出现的一些综合性较强的面积问题，一般采用简化图形或根据题意构造适当的图形来处理． 3 典例精析 例1-1 计算：已知圆的面积为 ，其圆周上一段弧长为 ， 那么这段弧所对圆心角的度数是_ ____. <m></m> 【思路分析】先由圆的面积 ,可求出其半径 ;又知圆 周上一段弧长 ,由扇形德弧长公式 变形后可求出度数 4 例1-2 如图， ， 是 的直径， 的半径 为 ， ，以 为圆心， 为半径作 ， 则 与 围成的阴影部分的面积为( ) . B A. B. C. D. 5 【思路分析】“月牙形”的面积计算，可以通过列方程的形式加以解决. ， , ， ， . 【方法归纳】 把不规则图形分割成几个规则的图形，是求阴影部分面积的常规思路.但其分割方法一般不唯一，也可以利用等量关系列方程来解决，要根据具体问题进行具体分析. 6 例2-1 如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上， ， 的延长线相交于点 ，且 . 7 （1）求证： . 【解】 ， . ， . ， . . 8 （2）当 ， ， 时，求 的长与 的值. [答案] 由（1）知 ， ， ， . ， . ， . . 9 【思路分析】（1）根据相似三角形的判定得出 ，得出 ，进而证明 ，再利用相似三角形的性质证明即可.（2）根据相似三角形的性质得出有关图形的面积之比，进而解答即可. 10 例2-2 如图，在正方形 中， 是 的中点， 与 相交于点 ，如果 的面积是1，那么正方形 的面积是___. 6 11 【思路分析】设 的面积是 . 是 中点， . . 四边形 是正方形， ， . . . 是 的 中点， ， 解得 . . 12 【方法归纳】 本题考查面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以找到图形面积之间的关系，将三角形的面积比与线段比联系起来.解例 的关键是找出正方形面积的两种表示方式. 13 例3 如图，已知在 中， ， 分别以 ， ， 为边在 的同侧作正方形， 形成了三块阴影部分.记阴影 的面积为 ，阴 影 的面积为 ，阴影 的面积为 ， 若 ， ， ，则 ____. 10 14 【思路分析】 根据题意得 ， 又可得 ，在 中，由 勾股定理得 ， 得 . 【方法归纳】 本题考查面积及等积变换的知识，有一定的难度.解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活地结合和应用. 15 图1 例4 如图1，阴影部分的四个三角形面积相等.求证:无阴影部分的三个四边形面积也相等. 【思路分析】 利用一些三角形面积相等可以得到另一些三角形或四边形面积相等，利用方程思想即可得到等式，最终证明问题. 16 【解】 如图2，连结 ， , . 图2 17 . 如图3，连结 ， , . 图3 18 . 如图4，连结 ， ， . 图4 19 . 设 ， ， ，则由①②③得 , ， . 解以上三式联立的方程组，可得 （负值舍去）．这 样， ，则 为 中点．又 ， .同理可证 . 20 【方法归纳】 等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题．本题就是充分运用这一特点进行解题. 21 探究活动 例（1） 请在图1中作两条直线，使它们将正方形 的面积三等分. 图1 【解】如图4.&1& 图4 22 （2）如图2，在矩形 中， ， ，在图2中过顶点 作两条直线，使它们将矩形 的面积三等分，并说明理由. 图2 [答案] 如图5.&2& 图5 23 图3 （3）问题解决：如图3，农博园有一块不规则的 五边形 空地，其中 ， ， ， ， ， .根据视觉效果和花期 特点，农博园设计部门想在这片空地种上等面积 的三种不同的花，要求从入口 点处修两条笔直的小路（小路的面积忽 略不计）方便游客赏花，两条小路将这块地面积三等分．请通过计算画 图说明其设计能否实现，若能实现请确定小路尽头的位置． 24 图6 [答案] 作 于点 ， 于点 ， 延长 交 于点 ，如图6. ， . . ， ， 四边形 是平 行四边形. 25 ， ， ， . ， 根 据平行线截得的线段成比例可得 的 边上的高为 . ，则三 等分面积为3400.设在 边上截取点 ，使 的面积为3400，即 ， ，解得 . ， . 设在 边上截取点 ，使 的面积为 . ,解得 ，即 ，解得 . 点 ， 就是小路尽头的位置． 【思路分析】（1）分别取 ， 的三等分点 ， ， ， ，作直 线 ， 即可.（2）分别取 , 的三等分点 ， ， ， ，作 直线 ， 即可.（3）作 于点 ，延长 交 于点 ， 由等腰三角形的性质得出 ，由勾股定理求出 ，证明四边形 是平行四边形，求出平行四边形 的面积， 进一步求出五边形 的面积 平行四边形 的面积 ， 得出三等分图形的面积，再由三角形的面积关系得出点 ， 是小路 尽头的位置，作出直线即可. 29 【方法归纳】 本题是面积及等积变换综合题，考查正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题有一定难度，特别是（3）中，证明平行四边形进一步求出不规则的五边形 的面积是解决问题的突破口． 30 学力训练 A组 夯实基础 1.在等腰三角形 中，若一腰上的高线长为 ，这个高线与底边的 夹角是 ，则 的面积是( ) . A A. B. C.2 D. 31 （第2题） 2.如图，若 是面积为1的正方形， 为正三角形， 则 的面积是( ) . D A. B. C. D. （第3题） 3.如图，若 ， ，四边 形 是正方形，圆周率 ，则“8字形”（阴影 部分）的面积是( ) . D A. B. C. D. 32 4.已知一张矩形纸片 ， ， .将纸片折叠一次,使顶 点 与 重合.如果纸片不重合部分的面积为 ，那么 _______ _____. <m></m> （第5题） 5.已知三个边长分别为4，5，9的正方形按如图排列，则图 中阴影部分的面积为_ __. <m></m> 33 （第6题） 6.如图，任意一个凸四边形 ， ， ， ， 分别是 各边的中点，图中阴影部分的两块面积之和是四边形 的面积的_ _. <m></m> （第7题） 7.如图，在梯形 中， ， ， ， ，以 为圆心在梯形内画出一个 最大的扇形（图中阴影部分）的面积是_ ___. <m></m> 34 （第8题） 8.如图，在凸五边形 中，对角线 分别交对 角线 ， 于点 ， ， ， ， ，求 和 的面积比． 35 [答案] 连结 ， .设 ，则 ， .又 ， .又由 ， ， , , . 36 （第9题） 9.如图，已知 是 的直径，点 在 上由点 沿顺时针方向点 运动（点 不与点 ， 重合），弦 交 于点 ，且 ，过点 作弦 的平行线与 的延 长线交于点 . 37 （1）若 的半径为2，且点 为 的中点时，求圆心 到弦 的 距离. 图1 [答案] 如答图1所示，过点 作 于点 为 的中点， . . 的半径为2，即 ， . 38 （2）当 时，求 的大小. [答案] 当 时， ，又 ， ， . 39 （3）若 ，且 ，求 的面积. 图2 [答案] 如答图2所示，连结 ， ， ，并延长 交 于点 ， ， 垂直 平分 .又 ， .又 ， . 40 ，即 .设 ，则 ， ， ， ， ，即 ，解得 ， ， . 的面积 . B组 瞄准中考 （第1题） 1.如图， 的面积为 垂直 的平分线 于 点 ，则与 的面积相等的矩形是( ) . B A.&3& B.&4& C.&5& D.&6& 42 （第2题） 2.【玉林】如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其 圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形 （无阴影部分）面积之和为 ，正八边形外侧八个扇 形（阴影部分）面积之和为 ，则 的值为( ) . B A. B. C.7 D.1 43 （第3题） 3.【资阳】如图，在 中，若 ， ， ，将 绕点 逆时针旋转 后 得到 ，则图中阴影部分的面积为( ) . D A. B. C. D. 44 （第4题） 4.如图， 的半径为5， ， 是圆上任意两点，且 ，以 为边作正方形 （点 ， 在直线 两侧）.若 边绕点 旋转一周，则 边扫过的面积为 ( ) . C A. B. C. D. 45 [解析] 如答图所示，连结 ，过点 作 于点 ， 交 于点 . 是弦， ， . 四边形 是正方形， ， . ， ， ， ， ， ， 46 . 若 边绕 旋转一周，则 边扫过的面积为以 为外圆半径， 为内圆半径的圆环面积， 边扫过的面积为 .故选C. （第5题） 5.【武汉】如图， 的顶点 ， 的坐标分别是 ， ，顶点 ， 在双曲线 上.若边 交 轴于点 ，且四边形 的面积是 面积的 5倍，则 ____. 12 （第6题） 6.如图，点 是圆形纸片的圆心，将这张圆 形纸片按下列顺序折叠，使 和 都经 过圆心 ，则阴影部分的面积是 面积 的_ _. <m></m> 48 （第7题） 7.如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，以 为 中心将 按顺时针方向旋转 至 ，连结 . 49 （1）求线段 在旋转过程中扫过的面积. [答案] 如答图所示，过点 作 于点 ， ， . 四边形 是矩形. ， ， ， . 线段 在旋转过程中扫过的面积 . 50 （2）求 的面积. [答案] 过点 作 ，交 延长线于点 ， ， . .在 和 中， 的面积是 . 51 （第8题） 8.【宁夏】将一副三角尺 与 (其中 ， ， ， 按如图的方式摆放.在 中， 所 对直角边与 斜边恰好重合.以 为直径的圆经过 点 ，且与 交于点 ，分别连结 ， . 52 （1）求证： 平分 . [答案] 在 中， ， ， . ， ， ，即 平分 . 53 （2）求 的值. [答案] 如答图所示，设 与 交于点 . 平分 ， .在 中， ， ， . 以 为直径的圆经过点 ， . . 54 作 于点 ， 于点 .在 与 中， ， ， . . . 55 （第9题） 9.已知：如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ， 连结并延长 交 的延长线于点 ，过点 作 ，垂足是 点 ，设运动时间为 . 56 （1）当 为何值时，四边形 是平行四边形？ [答案] 如答图所示，连结 ， . 当 时，四边形 是平行四边形， ，解得 . 时，四边形 是平行四边形. 57 （2）求证：在 ， 运动的过程中，总有 . [答案] 四边形 是平行四边形， . . . ，即在 ， 运 动的过程中，总有 . 58 （3）是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积是平行四边形 的面积的一半？若存在，求出相应的 值；若不存在，说明理由. [答案] ， . ， . ， 在 中，由勾股定理得 . 四边形 是平行四边形， . 59 ， . 设四边形 的面积为 . . 假设存在某一时刻 ，四边形 的面积是平行四边形 的面 积的一半， ，整理得 ， 解得 ， （舍去）. 当 时，四边形 的面积是平行四边形 的面积 的一半. C组 冲击金牌 （第1题） 1.如图， 是正五边形， ， 和 是由 向 ， 和 的延长线上所引的垂线.设 是正五边形 的中心，若 ，则 等于( ) . B A. B.4 C. D.5 第二讲 平面图形的面积计算 1 2 3 4 62 [解析] 如答图所示，连结 ， ， ， ，设正五边形 边长为 . ， . 又 ， ， . 故选B. 第二讲 平面图形的面积计算 1 2 3 4 63 （第2题） 2.如图， 两边上分别有 ， ， 及 ， ， 六个点，且 ，则 _ _. <m></m> 第二讲 平面图形的面积计算 1 2 3 4 64 [解析] 设 ，点 到 的距离为 ， . ， . ， . 第二讲 平面图形的面积计算 1 2 3 4 65 （第3题） 3.如图，在 中， ， 分别为边 ， 的 中点， 为线段 上一点.记 ， ， ， 的面积分别为 ， ， ， ， 已知 ， ， ，且 ， 则 ____. 18 第二讲 平面图形的面积计算 1 2 3 4 66 [解析] ， 分别为边 ， 的中点， 的边 的高 的边 的高 的边 上的高， 设它们的高为 . ， . 第二讲 平面图形的面积计算 1 2 3 4 67 ， ， ， 的面积分别为 ， ， ， ， ， ，且 ， ，即 . ， 为 的中点. ， . ，即 ， . ， . . 第二讲 平面图形的面积计算 1 2 3 4 4.已知 ， ， ， 为正数，求以 ， ， 为三边的三角形面积. [答案] 如答图所示，构造以 和 为边长的矩形 ，在 上取一点 ，使 ， 在 上取一点 ，使 ，则由勾股定理得 , , ,即 的三边满足条 件，它的面积用矩形面积减去三个直角三角形面积求得 . 第二讲 平面图形的面积计算 1 2 3 4 69 $$