2025年浙江省中考数学二轮复习课件：建立函数模型解决实际问题

建立函数模型解决实际问题 1 知识导引 “能够运用所学知识解决简单的实际问题”是教学大纲中规定的初中数学教学目的之一.能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果，也是对获得知识、技能和能力的检验.构建数学模型来解决实际问题的基本程序如下： 2 解题步骤如下：（1）阅读、审题：要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句.为了便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系.（2）建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学表达式.（3）合理求解纯数学问题.（4）解释并回答实际问题. 3 典例精析 图1 例1 如图1，拱门的地面宽度为 ，两侧距地 面高 处各有一个观光窗，两窗的水平距离为 ，则拱门的最大高度为( ) . C A. B. C. D. 4 [思路分析]如图 2,以CD所在的直线为x轴,CD的垂直平分线为y轴建立平 面直角坐标系,此时抛物线与xt轴的交点为 , ,设这条 抛物线的函数表达式为 . 抛物线经过点 ,可得 ，解得 顶点坐标是 拱门的最大高度为 . 图2 5 【方法归纳】 本题考查二次函数在实际生活中的应用，首先根据题意正确地建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得函数表达式，然后再利用函数的性质解决问题，数形结合可使问题简单化. 6 例2 某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水笔；②购书包和水笔一律按九折优惠.书包每个定价20元，水笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包，水笔若干支（不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用 （元）与所买水笔支数 （支） 之间的函数表达式. [答案] 设按优惠方法①购买需用 元，按优惠方法②购买需用 元． ， ． 7 （2）对 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜. [答案] 设 ，即 ， . 当 （ 为整数）时，选择优惠方法②；当 时，选择优惠方法①、②均可；当 （ 为整数）时，选择优惠方法①． 8 （3）小丽和同学需买4个书包和12支水笔，请你设计怎样购买最经济． [答案] 需要购买4个书包和12支水笔，而 ， 购买方案一：用优惠方法①购买，需 （元）. 购买方案二：同时采用两种购买方式. 用优惠方法①购买4个书包，需要 （元），同时获赠4支水 笔； 用优惠方法②购买8支水笔，需要 （元）． 共需 （元）.显然 ． 最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水笔，再用 优惠方法②购买8支水笔. 9 【思路分析】（1）优惠方法①需要的费用为 ；优 惠方法②需要的费用为 分三种情况加以讨论. （3）直接计算利用优惠方法①所需费用与同时利用两种优惠方法所需 费用，再比较结果即可． 【方法归纳】 本题考查用一次函数和不等式解决实际问题，这类问题首先要结合题给条件或生活经验定义函数表达式，正确理解题意，关键为列出函数和不等式，最后利用所学的数学知识进行最佳方案的判断． 10 图1 例3 如图1，一面利用院墙，用篱笆围成 一个外形为矩形的花圃，花圃的面积为 ，平行于院墙的一边长为 ． （1）若院墙可利用的最大长度为 ，篱笆长为 ，花圃中间用一 道篱笆间隔成两个小矩形，求 与 之间的函数表达式． [答案] ． 11 （2）在（1）的条件下，当围成的花圃面积为 时，求 的长.能 否围成面积比 更大的花圃？如果能，可以怎样围？如果不能，请 说明理由． [答案] 当 时， ，解得 ， . ， 不合题意，舍去. ， ． 能围成面积比 更大的花圃． 当 时， ，此时面积大于45， ． 12 图2 （3）若院墙可利用的最大长度为 ，篱笆长为 ，中间建 道 篱笆间隔成小矩形，如图2.当这些小 [答案] 根据题意可得 , , 或 , . 矩形为正方形，且 为正整数时，请直接写出一组满足条件的 ， 的 值． 13 【思路分析】（1）依据矩形花圃的面积可列出 与 之间的函数表达式.（2）在（1）构造的函数表达式中，当 时，求 的值.（3）可列出函数表达式，在取值范围内求正整数解． 14 【方法归纳】 本题考查学生运用一元二次方程与二次函数知识解决实际问题的能力，同时考查列分式方程并求整数解的问题. 15 例4 荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本 为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价 （元/千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： 日销售量 （千克）与时间第 天之间的函数关系如图. 16 （1）求日销售量 关于时间 的函数表达式. [答案] 设函数表达式为 ，将 ， 代入得 解得 （ ， 为 整数）. 17 （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ [答案] 设日销售利润为 （元），则 ，①当 时， ， 当 时， .②当 时， ， 当 时， . ， 第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元. 18 （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？ [答案] 由（2）得，当 时， ， 令 ，即 ， 解得 ， . 由函数 图象可知，当 时，日销 售利润不低于2400元. 而当 时， 最大 ， 的取值范围是 . 共有21天符合条件. 19 （4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠 元给村里的特困户.在这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 的增大而增大，求 的取值范围. 20 [答案] 设日销售利润为 .根据题意得 ， 其函数图象的对称轴为 ， 随 的增大而增大，且 ， 由二次函数的图象及其性质可知 ,解得 .又 ， . 21 【思路分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得.（2）设 日销售利润为 ，分 和 两种情况，根据“总利 润 每千克利润×销售量”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求 得最值即可判断.（3）求出 时 的值，结合函数图象即可得 出答案.（4）依据题意列出函数表达式，确定其对称轴，由 且销售利润随时间 的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案. 22 【方法归纳】 本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求函数表达式，由相等关系得出利润的函数表达式，利用二次函数的图象解不等式及二次函数的图象与性质解题是关键. 23 探究活动 例 如图， ， 是两座跨江电缆的铁塔，塔 高 ， 的中点为点 ，塔底 距江面的 垂直高度为 .跨江电缆因重力自然下垂近似成 抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂 的最低点距江面的高度不得少于 .已知：人在距塔底 点西 的 地面 点恰好看到点 ， ， 在同一条直线上；再向西前进 后 从地面 点恰好看到点 ， ， 在同一条直线上. 24 【思路分析】 证明 和 ，建立方程组. 【方法归纳】 本题考查运用相似三角形、建立方程、求抛物线的函数表达式及最值的相关知识，综合性较强，难度较高. 25 [答案] 如图， ， ， ， . 设 的延长线交地平面于点 . （1）求两铁塔轴线间的距离（即直线 ， 间的距离）. 26 设 ， .由 ，得 ， 即 . 由 ，得 ，即 . 得 ,解得 .把 代入①可求得 . 两 铁塔轴线间的距离为 . 27 （2）若以点 为坐标原点，向东的水平方向为 轴，取单位长度为 ， 的延长线方向为 轴建立平面直角坐标系.求刚好满足最低高 度要求时，跨江电缆所成抛物线的函数表达式. [答案] 依题意，建立平面直角坐标系（如图），由（1）得 ， 点比 点高 ，这时 ， 两点的坐标为 ， .设抛物线顶点为 ， 要求最低点高于地面 ，点 高度为 ， .设过点 的抛物线 28 函数表达式为 ，则该抛物线满足 化简得 ，解得 ， . 抛物线的对称轴在 轴的右侧，有 ，而 ， ， 故 舍去.把 代入前式，得 . 所求抛物线的函数 表达式为 . 学力训练 A组 夯实基础 1.甲、乙两地相距 ，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间 表示为汽车的平均速度 的函数，则此函数的图象大致为 ( ) . C A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 30 2.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会 自动停产.若经过调研预测，它一年中每月获得的利润 （万元）和月 份 之间满足函数表达式 ，则企业停产的月份为 ( ) . D A.2月和12月 B.2月至12月 C.1月 D.1月，2月和12月 31 （第3题） 3.如图，在矩形 中， ， .如果动点 从点 出发，沿路线 做匀速运动.那么 的面积 与点 运动的路程 之间的函数图象大 致是( ) . B A.&5& B.&6& C.&7& D.&8& 32 （第4题） 4.一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始 的 内只进水不出水，在随后的 内既进水 又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假 设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的 水量 与时间 之间的部分关系如图．那 么，从关闭进水管起___ 该容器内的水恰好放 完． 8 33 5.在距离地面 高的某处把一物体以初速度 竖直向上抛出， 在不计空气阻力的情况下，其上升高度 与抛出时间 满足： （其中 是常数，通常取 ）.若 ， 则该物体在运动过程中最高点距离地面___ . 7 34 （第6题） 6.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形 （如图），其中 ， ．试在 上 求一点 ，使矩形 有最大面积． 35 [答案] 设矩形 的边 ， ，则矩形 的面积 .易知 ， ，且有 ， 即 ， ， 此 二次函数的图象开口向下,对称轴为 ， 当 时，函数值是 随 的增大而增大的.对 来说，当 时， 有最大值， . 36 7.某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购 买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每 件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较 为合理，并且该产品的年销售量 （万件）与销售单价 （元）之间的 函数表达式为 （年获利 年销售收入-生 产成本-投资成本） 37 （1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？ [答案] 把 代入 ，得 . 当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件. 38 （2）求该公司第一年的年获利 （万元）与销售单价 （元）之间的 函数表达式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利， 最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ 39 [答案] ①当 时， .故当 时， 最大为 ，即公司最少亏损25万元. ②当 时， .故当 时， 最大 为 ，即公司最少亏损12.5万元.对比①，②得投资的第一年，公 司亏损，最少亏损是12.5万元. （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请确定此时销售单价的范围． 41 [答案] ①当 时， ， 化简得 ,解得 .故当两年的总盈利不低于67.5万元时， .②当 时， ，化简得 ，解得 .故当两年的总盈利不低于67. 5万元时， 到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万 元，此时销售单价的范围是 ． 42 B组 瞄准中考 1.【德州】公式 表示当重力为 时的物体作用在弹簧上时 弹簧的长度， 代表弹簧的初始长度， 表示单位重力作用在弹簧上 时弹簧拉伸的长度.下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹 簧的是( ) . A A. B. C. D. 43 （第2题） 2.如图，有一块边长为 的正三角形纸板，若在 它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿 图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒， 则该纸盒侧面积的最大值是( ) . C A. B. C. D. 44 （第3题） 3.【绍兴】教室里的饮水机接通电源就进入自动程序， 开机加热时每分钟上升 ，加热到 ，停止加热， 水温开始下降，此时水温 与开机后用时 成反 比例关系．直至水温降至 ，饮水机关机．饮水机关 A A.7：20 B.7：30 C.7：45 D.7：50 机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为 时，接通电 源后，水温 和时间 的关系如图，为了在上午第一节下课 时 能喝到不超过 的水，则接通电源的时间可以是当天上 午的( ) . 45 （第4题） 4.【湖北】小文、小亮从学校出发到青 少年宫参加书法比赛，小文步行一段时 间后，小亮骑自行车沿相同路线行进， 两人均匀速前行．他们的路程差 与小文出发时间 之间的函数关 系如图．有下列说法：①小亮先到达青 ①②④ 少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③ ；④ ．其中正确的有________（填序号）. 46 5.【金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形 的小屋， ，拴住小狗的 长的绳子一端固定在点 处，小狗 在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为 . （1）如图1，若 ，则 _ ____ . <m></m> 图1 47 图2 （2）如图2，现考虑在（1）中的矩形 小 屋的右侧以 为边拓展一正三角形 区域， 使之变成落地为五边形 的小屋，其他 条件不变，则在 的变化过程中，当 取得 最小值时，边 的长为_ _ . <m></m> 48 6.【河北】某厂按用户的月需求量 （件）完成一种产品的生产，其中 ，每件的售价为18万元，每件的成本 （万元）是基础价与浮动价 的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 （件）成反比，经市 场调研发现，月需求量 与月份 为整数， ，符合函数表 达式 （ 为常数），且得到了表中的数据. 月份 （月） 1 2 成本 （万元/件） 11 12 需求量 （件/月） 120 100 49 （1）求 与 满足的函数表达式，请说明一件产品的利润能否是12万元. [答案] 由题意，设 .由表中数据可得 解得 .由题意，若 ，则 ， ， 不可能. 50 （2）求 的值，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损. [答案] 将 ， 代入 ，得 ，解得 .将 ， 代入 也符合， .由题 意得 ，解得 ，即 ，所以方程没有实 数根，即不存在某个月既无盈利也不亏损. 51 （3）在一年12个月中，若第 个月和第 个月的利润相差最大， 求 的值. 第 个月的利润为 第 个月的利润为 .若 ， ， 取最小1， 取得最大值24 0；若 ， ，由 知 取最大1 1， 取得最大值 或11. 52 图1 7.【丽水】如图1，地面 上两根等长立柱 ， 之间 悬挂了一根近似成抛物线 的绳子. （1）求绳子最低点离地面的距离. [答案] ， 抛物线顶点为最低点. ， 绳子最低点离地面的距离 为 . 53 图2 （2）因实际需要，在离 为 的位置处用一根立柱 撑起绳子（如图2），使左边抛物线 的最低点距 为 ，离地面 ，求 的长. [答案] 由（1）可知，对称轴为 ，则 .令 得 ， ， .由题意可得抛物线 的顶点坐标为 .设 的函数表达式为 ，将 代入得 ，解得 抛物线 为 . 当 时， ， 的长度为 . 54 （3）将立柱 的长度提升为 ，通过调整 的位置，使抛物线 对应函数的二次项系数始终为 ，设 离 的距离为 ，抛物线 的顶点离地面距离为 .当 时，求 的取值范围. [答案] ， 根据抛物线的对称性可知抛物线 的顶 点在 的垂直平分线上. 55 的横坐标为 抛物线 的顶点坐标为 . 抛物线 的函数表达式为 . 把 代入得 ，解得 是关于 的二次 函数.又 由已知 ，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大. 当 时， ，解得 ， （不符 合题意，舍去）.当 时， ，解得 ， （不符合题意，舍去） 的取值范 围是 . C组 冲击金牌 1.若函数 ，则当自变量 取1，2，3， ，100这100个自然数时，函数值的和是( ) . B A.540 B.390 C.194 D.97 58 [解析] , 当 时， 当 时， .而当 取1，99，100时， . 所求和为 .故选B. 59 （第2题） 2.如图，小明在甲楼 处透过窗户 发现乙楼 处出现 火灾，此时 ， ， 在同一条直线上.跑到一楼时， 消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在 高的 处喷出，水流正好经过 ， .若点 和点 、点 和点 的离地高度分别相同，现消防员将水流 <m></m> 抛物线向上平移 ，再向左后退了_ __________ ，恰好把水喷到 处进行灭火. 60 [解析] 由图形可知，点 ， ， ，点 的 纵坐标为6.2.设 所在直线的函数表达式为 ，则 解得 直线 表达式为 .当 时， ，解得 点 的坐标为 .设抛物线的函数表达式为 .将点 ， ， 代入，得 61 解得 抛物线的函数表达 式为 .设消防员向左移动的 距离为 ，则移动后抛物线的函数表达式为 .根据题意知，平移后抛物线过点 ，代入得 ，解得 （舍去）或 .即消防员将水流抛物线向 上平移 ，再向左后退了 ，恰好把水喷到 处进行 灭火. 3.已知二次函数 （其中 是正整数）的图象经过点 与点 ，并且与 轴有两个不同的交点，求 的最大值. 64 [答案] 二次函数的图象过点 ， ， 解得 二次函数图象与 轴有两个 不同的交点， ， ， 即 .由于 是正整数，故 ， .又 ，且当 ， ， 时，满足题 意， 的最大值为 . 65 （第4题） 4.【江阴市自主招生】已知二次函数 图象的顶点 在 直线 上，其中 ， ，对称轴与 轴交于点 . 66 （1）求二次函数 的表达式. [答案] 设直线 的函数表达式为 . 将点 ， 代入，得 解得 直 线 的函数表达式为 . 抛物线 ， 点 点 在直线 上， ， （舍去）. 二次函数表 达式为 . 67 （2）点 在对称轴右侧的抛物线上，且 平分四边形 的面积， 求点 坐标. [答案] 平分四边形 的面积， .设点 的坐标为 ， ， 整理得 解得 ， （舍去）. 点 的坐标为 . 68 （3）在 轴上方，是否存在整数 ，使得当 时，抛物 线 随 增大而增大？若存在，求出所有满足条件的 值；若不存在， 请说明理由. [答案] 当 时， ， ， 抛物线与 轴交点 ， 在 轴上方，抛 物线 随 增大而增大， 69 .又 ， 解得 . 为整数， 为 ， ， .又 ， . 取 ， . $$