2025年浙江省中考数学二轮复习课件：转化化归思想

转化化归思想 1 知识导引 1.转化化归思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.在研究数学问题时，我们通常将未知问题转化为已知问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题.我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时，转化思想几乎是无处不在的. 2 2.转化包括等价转化和非等价转化两种，等价转化要求转化过程中的前因后果是互相可以逆推的，但事实上并不是所有的转化都是等价的，例如将分式方程转化为整式方程求解的过程中，就会出现增根的情况，是非等价转化.因此在转化过程中，一定要注意转化前后的等价性，若出现不等价转化，则需要附加约束条件，而在非等价转化过程中常常会产生思维的闪光点，这就是解决问题的突破口. 3 典例精析 例1 已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是 _ ___________________. <m></m> 且 <m></m> 【思路分析】 去分母得 ，解得 为正 数， 当 时， ，此时分式方程 无解， 且 . 4 【方法归纳】 本题将分式方程与一元一次不等式结合在一起，主要的方法是将分式方程转化为整式方程，通过讨论整式方程的解找到答案，要注意将分式方程转化为整式方程的过程中，方程会出现增根. 5 图1 例2 如图1，在面积为24的菱形 中， ， 分 别是边 ， 的中点，点 ， 在 边上，且 .求图中阴影部分面积. 6 图2 【解】 如图2，连结 ， ， ，则四边形 是平行四边形， . 由题意得 ，设 ，则 ， ， . 又 ， ，即 ，解 得 阴影部分的面积为 . 【思路分析】连结 , , ,判断出四边形 是平行四边形, ,结合 ,设 ,则 , , ,从而求出 的值,代入即可得出 阴影部分的面积. 【方法归纳】 本题考查图形面积及等积变换的知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，将所求图形的面积进行分割，将不规则图形的面积计算转化为三角形的面积计算，另外要熟练运用“面积比等于相似比的平方”，将图形面积比与线段比联系起来. 8 图1 例3 如图1，在四边形 中， ，点 ， 分别在 ， 的延长线上，且 ， . 9 （1）猜想线段 ， 之间的数量关系，并证明你的猜想. 图3 【解】猜想： . 证明：如图3，在 上取点 ，使得 ， 连结 . ， . . 10 ， . 在 和 中， . 图2 （2）若将“ ”改为“ 为常数，且 ”，其他条件 不变（如图2），求 的值（用含 ， 的式子 表示）. 12 图4 [答案] 如图4，在 上取点 ，使得 ， 连结 ，同理可得 ， . 过点 作 于点 ， . ， . . 13 【思路分析】（1）首先在 上取点 ，使得 ,连结 ,易证得 ,由, 可证得 ,继而证得 ,则可得 .（2）首先在 上取点 ，使得 ，连结 ，易证得 然后由相似三角形的对应边成比例，证得 再作 于点 ，即可求得 的值. 14 【方法归纳】 本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用. 15 探究活动 例 设 ， ， ， ， 是整数，且满足下列条件：① ， ，2，3， ，2018；② ； ③ ．求 的最小值和最大值． 16 【思路分析】 ， ， ， ， 是 ，0，1，2四个整数中的一个，由于0对和式结果不产生影响，因此可设 ，1，2的个数分别为 ， ， 个，然后根据②③式列出关于 ， 和 的方程，将 表示为其中一个变量的函数表达式，利用函数的增减性可求出其最大值或最小值. 17 【解】 设 ， ， ， ， 中有 个 ， 个1， 个2，则 两式相加，得 ， ． ， ． 当 ， ， 时， 取最小 值200； 当 ， ， 时， 取最大值 2414． 18 【方法归纳】 本题的解题关键在于引入新的变量，将题中的条件转化为方程和函数，方程函数思想是解决这类问题的关键. 19 学力训练 A组 夯实基础 （第1题） 1.如图为两个半圆，若大半圆中长为 的弦 平行 于直径 ，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积 为( ) . C A. B. C. D. 20 2.根据指令 ，机器人在平面上能完成下列动 作：先在原地逆时针旋转角度 ，再朝其面对的方向沿直线行走距离 ．现机器人在平面直角坐标系内的坐标原点，且面对 轴正方向． （1）若给机器人下了一个指令 ，则机器人应移动至点 _ __________. <m></m> （2）请你给机器人下一个指令_ ___________，使其移动到点 ． <m></m> 21 （第3题） 3.如图，有一圆柱体高为 ，底面圆的半径为 ， ， 为相对的两条母线.在 上有一只蜘蛛 ， ，在 上有一只苍蝇 ， .蜘蛛沿 圆柱体侧面爬到点 吃苍蝇，最短的路径是_ ___________ .（结果保留 和根号） <m></m> 22 （第4题） 4.如图，在正方形 中， ， 为对角线 的中点，分别以 ， 为直径作 ， .求： （1） 的半径. [答案] 在正方形 中， ， ， . . 的半径为 . 23 （2）图中阴影部分的面积. [答案] 设线段 与 的另一个交点是 ，连结 . 为正方形 的对角线， . ， . . . 根据图形的对称性得 . 24 （第5题） 5.如图， 的正切值为 ， ，点 是线段 上的一动点（点 不与点 ， 重 合），以点 为顶点的正方形 的另两个 顶点 ， 都在射线 上，且点 在点 的右 侧，连结 ，并延长 ，交射线 于点 . 25 （1）点 在运动时，下列线段和角中， _ ________________________ 是始终保持不变的量.（填序号） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 26 作 于点 ，交 于点 ，如答图所示. 在 中，由 ，设 ，则 . ， ，解得 ， .设正方形 的边长为 ，在 中， 27 ， .在 中， ， 为定值. ， 为定值.故答案为④⑤. （2）设正方形的边长为 ，线段 的长为 ，求 关于 的函数表达 式，并写出自变量的取值范围. [答案] 易得四边形 为矩形，则 . ， ， ，即 . . 29 （3）如果 与 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长. [答案] ， 与 相似，且面积不相 等， . ，即 . . 当点 在线段 上时， ,解得 . 当点 在线段 延长线上时， ，解得 . 正方形的边 长为 或 . 30 B组 瞄准中考 （第1题） 1.【烟台】如图，在梯形 中， ，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点.已知两底差是6，两 腰和是12，则 的周长是( ) . B A.8 B.9 C.10 D.12 31 （第2题） 2.【河北】已知正方形 和正六边形 边长均 为1，把正方形放在正六边形中，使 边与 边重合， 如图，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 按 顺时针旋转，使 边与 边重合，完成第一次旋转； C A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5 再绕点 按顺时针旋转，使 边与 边重合，完成第二次旋转…… 在这样连续6次旋转的过程中，点 ， 间的距离可能是( ) . 32 [解析] 如答图所示，在这样连续6次旋转的过程中，点 的运动轨迹是图中的弧线， 观察图形可知点 ， 间的距离大于等于 且小于等于1，故选C. 33 （第3题） 3.【牡丹江】如图，在正方形 中，点 ， 分别在 边 ， 上， ， 分别交 于点 ， ，连结 ， ，且 .有下列结论： ， ； ； ； B A.5 B.4 C.3 D.2 ；⑤图中只有4对相似三角形.其中正确结论的 个数是( ) . 34 [解析] 四边形 是正方形， ， ， .在 和 中， ， ， ， ， 35 . . . ， ，故①正确. 如答图所示，将 绕点 逆时针旋转 得到 ， ， . . ， ， ， ,故②正确. ， ， ，故③正确. ， ， . .如答图所示，在 上截取 ，连结 ， .易证 ， ， 是直角三角形， ， ，故④正确.图中相似三角形有 ， ， ， 等，故⑤错误.故选B. 4.我们用符号 表示不大于 的最大整数.例如： ， . （1）当 时， 的取值范围是_ _________. <m></m> （2）当 时，函数 的图象始终在函数 的图象上方或图象上，则实数 的取值范围是_ ___________. <m></m> 38 （第5题） 5.【德州】某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图. 的圆心与矩形 对角线的交点重合，且圆与矩形 上下两边相切 为上切点)，与左右两边相交 ， 为其 中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透 <m></m> 光区域.已知圆的半径为 ，根据设计要求，若 ， 则此 窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_ ______. 39 （第6题） 6.【桂林】如图，在矩形 中，对角线 ， 交于 点 ，过点 作 交 的延长线于点 .若 ， ，则 的值为___. <m></m> 40 7.【宁波】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”. 图1 （1）如图1，在 中， 为角平分线， ， ，求证： 为 的“完美分 割线”. 41 [答案] ， ， . 不是等腰三角形. 平分 ， . . 为等腰三角形. ， ， 是 的“完美分割线”. 42 （2）在 中， ， 是 的“完美分割线”，且 为等腰三角形，求 的度数. [答案] ①如答图1所示，当 时， . ， . 如答图2所示，当 时， . ， . 如答图3 所示，当 时， . ， 43 . ，矛盾，舍弃. 或 . 图1 图2 图3 图2 （3）如图2，在 中， ， ， 是 的“完美分割线”，且 是以 为底边的 等腰三角形，求“完美分割线” 的长. [答案] 由题意得 ， ， ，设 ， ， . . 45 C组 冲击金牌 1.要使方程组 的解是一对异号的数，则 的取值范围是 ( ) . D A. B. C. D. 或 46 （第2题） 2.如图，已知直线 ， ， ， 及 ， ， ， 分别互相平行，且 ， ， 则 ____. 60 [解析] ， ， 四边形 是平行四边形. .同理可得 ， ， ， 47 ， ， ， ，解得 . （第3题） 3.如图，在正方形 和正方形 中，若 ， ，点 在边 上，连结 ，连结 并延长， 交 于点 ，交 于点 ，则 的长为_ ___. <m></m> 49 [解析] 如答图所示，连结 ， 交 于点 . 四边形 ， 是正方形， ， ， ， ， . . ， .在 和 中， . 50 ， . ， .设 ，则 ， , . ，解得 ， （舍去） . （第4题） 4.如图，点 为 轴正半轴上一点， ， 两点关于 轴对 称，过点 任意作直线交抛物线 于 ， 两点. （1）求证： . 52 [答案] 如答图所示，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足 分别为点 ， . 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 . 设直线 的函数表达式为 ，并设 ， 的坐标 分别为 ， . 53 由 得 ， ，即 . .又 ， . ， ， . （2）若点 的坐标为 ，且 ，试求所有满足条件的 直线 的函数表达式. [答案] 设 ， ，不妨设 ，由（1）可知 ， ， ， ， ， ，即 ， .由（1） 中 ，即 ， ， ，求得 .将 代入 ，得点 的坐标 .再将点 的坐标代入 ，求得 . 55 直线 的函数表达式为 .根据对称性知，所求直线 的函数表达式为 或 . 56 $$