2025年浙江省中考数学二轮复习课件：数形结合思想

数形结合思想 1 知识导引 所谓数形结合思想，就是在研究问题时，把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.数形结合思想包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判数，用形解决数的问题，常见于借用数轴、函数图象、几何图形来求解代数问题；二是就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程（组）、面积转换等求解几何问题.数形结合作为初中数学的一种重要的思想方法，一直是中考命题的重点，特别在与函数有关的综合题中，数形结合思想成为必不可少的一种思想方法. 2 典例精析 图1 例1 如图1，分别位于反比例函数 ， 在第 一象限图象上的两点 ， ，与原点 在同一条直 线上，且 . 3 （1）求反比例函数 的表达式. 图2 【解】如图2，作 ， 分别垂直于 轴，垂足为 点 ， ，又 ， . 由点 在函数 的图象上，设 的坐标是 4 . ， . ， ，即 .又点 在 的图象上， ，解得 反比 例函数 的表达式为 . （2）过点 作 轴的平行线交 的图象于点 ，连结 ，求 的面积. [答案] 由（1）可知， ， .又已知过 作 轴的平行 线交 的图象于点 ， 的纵坐标是 .把 代入 得 ， 点 的坐标是 . . 6 【思路分析】（1）作 ， 分别垂直于 轴，垂足为点 ， ，根 据 ，则设 的横坐标是 ，用 表示出 和 的坐标， 利用待定系数法求得 的值.（2）根据 轴，则可用 表示出 的 坐标，利用三角形的面积公式求解. 【方法归纳】 本题考查待定系数法确定函数表达式以及相似三角 形的判定与性质，根据已知条件构造出“ 字型”相似，并根据相似三角 形的性质正确利用 表示出各点的坐标是关键. 7 图1 例2 如图1，已知 的三个顶点 ， ， ，作 关于直 线 的对称图形 . 8 （1）若 ，试求四边形 面积 的最大值. 图2 【解】如图2， 与四边形 关于直 线 对称， 四边形 是平行四边形， ， ， . 四边形 ， 是平行四边形. . . 9 ， ， ， ， ， . ， 当 时， 最大值为9. 10 （2）若点 恰好落在 轴上，试求 的值. 图3 [答案] 当点 恰好落在 轴上时，如图3. ， ， ， . . ， . 11 . . .由轴对称的性质可得 . 在 中， ，整理得 . ， . 【思路分析】（1）如图2,易证 , 从而可得 根据二次函数的最值性 就可解决问题.（2）如图3画出图形,易证 ,根据相似三 角形的性质可得 ,然后在 中运用勾股定理就可解决 问题. 13 【方法归纳】 本题考查轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识，得到 是解决第 （1）题的关键，在 中运用勾股定理是解决第（2）题的关键. 14 例3 以 为自变量的二次函数 ，它的图象与 轴交于 点 ，与 轴交于点 ， ，点 在点 的左边，点 为坐标原点． （1）求这个二次函数的表达式及点 ，点 的坐标，画出二次函数的图象. 15 图1 【解】 与 轴交于 ， . 这个二次函数的表达式为 . 令 ，解得 ， ， . 由 ，配方得 ，得顶点 ．该二次函 数的图象如图1. 16 （2）在 轴上是否存在点 ，在位于 轴上方部分的抛物线上是否存在点 ，使得以 ， ， 三点为顶点的三角形与 相似（不包含全等）？若存在，请求出点 ，点 的坐标；若不存在，请说明理由． 17 图2 [答案] 若存在这样的点 ， ，一定是 ． 若 ，则 不合题意. 若 ，显然点 不在抛物线上． 分 和 两种情况考虑． 18 ①如图1，当 ， 时，有 . 设 ， .由 ，得 . 而 ， . 即 ，解得 或 （不合题意，舍去）. 把 代入，得 ， ， . 19 ②如图2， ，且 时，有 .过点 作 轴于点 ，设 ，由 ， 得 ，得 ，解得 ， ， ． 存在这样的点 ， ,使得 与 相似. 20 【思路分析】 由图象经过点 可求得 值，利用二次函数的性质及图 象的画法可解答第（1）题.第（2）题要结合函数图象，利用相似三角 形的性质进行分析，由于 是三边都已知的直角三角形，所以 是直角三角形，并且三边与 三边对应成比例，利用相似 三角形的对应边成比例可列出方程，求点 或 的坐标.如果方程有解， 说明点存在；如果方程无解，说明点 或 不存在. 21 【方法归纳】 本题是利用数形结合思想方法解决函数图象与相似三角形的综合题.解题时要注意以下几点：（1）在考虑三角形相似时，应考虑不同情况，这是这道题的难点．（2）第二种情况的点 可以认为和第一种情况的点 是同一点．（3）能够求出点 ， 的坐标为存在，不能求出点 ， 的坐标（即方程无解）为不存在． 22 探究活动 图1 例 如图1，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ，与 轴交于点 ，直线 与反比例函数 的图象的另一支交于点 ，过点 作 直线 垂直于 轴，点 是点 关于直线 的对称 点. （1） ___. 3 23 （2）判断点 ， ， 是否在同一条直线上，并说明理由. [答案] 点 ， ， 在同一条直线上.理由如下： 直线 与反比例 函数 的图象的另一支交于点 ， 点 与点 关于原点对称. . 在反比例函数 的图象上， ，解得 ， 即 . 24 把 代入 得 ，解得 ， 直线 的 函数表达式为 .当 时， ，解得 ，则 . 点 与点 关于直线 对称， . 设直线 的函数表达式为 ，把 ， 代入， 得 解得 直线 的函数表达式为 . 当 时， ， 点 在直线 上. 点 ， ， 在同一条直线上. （3）如图2，已知点 在 轴正半轴上， ，点 是反比例函数 的图象位于第一象限部分上的点（点 在点 的上方）， ，则点 的坐标为_ _____. <m></m> 图3 [解析] 直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 点 ，如图3. 26 当 时， ，则 ，而 ， ， . ， ， . ， 为等腰直角三角形. . 点 与点 关于直线 对称， . . ， . ，即 ，解得 . . 设直线 的函数表达式为 . 把点 ， 代入得 解得 直线 的函数表达式为 . 解方程组 得 或 点 的坐标为 . 【思路分析】（1）把点 代入 中可求出k的值. （2）先利用 反比 例函数的中心对称性得到点 的坐标，再把 代入 中,得到 点 的坐标，通过确定直线 的函数表达式得到点 的坐标，接着利 用对称性确定点 的坐标，于是利用待定系数法可求出直线 的函数 表达式，从而可判断点 是否在直线 上。（3）令直线 交 轴于 点 ，直线 交 轴于点 ,如图3,先确定点 的坐标，计算出 ,再证明 .通过相似比计算出 ,从而得到 点 的坐标，然后利用待定系数法得到直线 的函数表达式，从而可 求得点 的坐标. 30 【方法归纳】 本题考查反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质；会利用待定系数法求反比例函数和一次函数表达式，能通过解方程求它们的交点坐标；会运用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式. 31 学力训练 A组 夯实基础 1.在平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点.设 为整 数，当一次函数 与 的图象的交点为整点时， 的 值可以取( ) . C A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 32 2.已知点 是反比例函数 在第一象限内的图象上的一个点， 以点 为顶点作等边三角形 ，使 ， 落在 轴上，则 的 面积是( ) . D A.3 B.4 C. D. 33 （第3题） 3.定义：在平面直角坐标系中，把从点 出发沿纵或 横方向到达点 （至多拐一次弯）的路径长称为 ， 的“实际距离”.如图，若 ， ， 则 ， 的“实际距离”为5，即 或 . 环保低碳的共享单车，正式成为市民 出行喜欢的交通工具.设 ， ， 三个小区的坐标 <m></m> 分别为 ， ， ，若点 表示单车停放点，且满 足 到 ， ， 的“实际距离”相等，则点 的坐标为_ _______. 34 4.已知抛物线 . （第4题） 35 （1）当 时，求抛物线与 轴的交点坐标及对称轴. [答案] 当 时， ， 对称轴为 . 当 时， 或3，即 或5. 抛物线与 轴的交点坐标为 或 . 36 （2）①试说明无论 为何值，抛物线 一定经过两个定点，并求出这 两个定点的坐标. [答案] 抛物线 的函数表达式为 ， 整理得 . 当 时， 恒定为 ， 抛物线 一定经过两个定点 ， . 37 ②将抛物线 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 ，直接写出 的函数表达式. [答案] 这两个点连线为 . 将抛物线 沿 翻折，得到抛物线 ，开口方向变了，但是对 称轴没变，抛物线的形状没变， 抛物线 的函数表达式为 . 38 （3）若（2）中抛物线 的顶点到 轴的距离为2，求 的值. [答案] 抛物线 的顶点到 轴的距离为2， 则 时， 或者 .当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 . 或 . 39 B组 瞄准中考 （第1题） 1.【达州】如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，则 的图象可能是( ) . B A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 40 （第2题） 2.【温州】我们把1，1，2，3，5，8，13，21， … 这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究， 依次以这列数为半径作 圆弧 ， ， ,…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结 ， ， ， 得到螺旋折线（如图）. 若点 ， ， ，则该折线 上的点 的坐标为( ) . B A. B. C. D. 41 3.【南京】过三点 ， ， 的圆的圆心坐标为( ) . A A. B. C. D. 42 （第4题） 4.【宜宾】如图，抛物线 与 交于点 ，过点 作 轴的平 行线，分别交两条抛物线于 ， 两点，且 ， 分别 为顶点.则下列结论： ； ； B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 是等腰直角三角形；④当 时， . 其中正确结论的个数是( ) . 43 [解析] 抛物线 与 交于点 ， ，解得 ，故①正确. 是抛物线的顶点， ， ， ， ，故② 如答图所示，过点 作 于点 . 44 错误.当 时， ，解得 ， .故 ， .则 ， . 是等腰直角三角形，故③正确. 时，解得 ， 当 时， ，故④错误.故选B. （第5题） 5.【株洲】如图，直线 与 轴、 轴分别 交于点 ， ，当直线绕着点 按顺时针方向旋转到与 轴首次重合时，点 运动的路径的长度为_ ___. <m></m> 46 （第6题） 6.【株洲】如图，已知 ， ， ， 是平面直角坐标系 中坐标轴上的点，且 .设直线 的函数 表达式为 ，直线 的函数表达式为 ，则 ___. 1 [解析] 设点 ， ， ， ， ， . ， , . . 47 （第7题） 7.【贵阳】如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ， 平行于 轴的直线 交反比例函数的图象 于点 ，交 于点 ，连结 . 48 （1）求 的值及反比例函数的表达式. [答案] 直线 经过点 ， . 反比例函数经过点 ， . . 反比例函数的表达式为 . 49 （2）直线 沿 轴方向平移，当 为何值时， 的面积最大？ [答案] 由题意，点 ， 的坐标为 ， . ， . . 时， 的面积最大. 50 （第8题） 8.【滨州】如图，直线 ， 为常数)分别 与 轴、 轴交于点 ， ，抛物线 与 轴交于点 . （1）求直线 的函数表达式. [答案] 由题意可得 解得 直线的函数表达式为 . 51 （2）若点 是抛物线 上的任意一点，设点 到 直线 的距离为 ，求 关于 的函数表达式，并求 取最小值时点 的坐标. 图1 [答案] 如答图1所示，过点 作 于点 ，过点 作 轴，过点 作 轴，两垂线交于点 . 则 ，且 ， . 52 ，且 . . .设 ，则 ， ， ， ， ， ，且 ，整理消 去 得 . 与 的函数表达式为 . ， 当 时， 有最小值，此时 . 当 取得最小值时点 的坐标为 . （3）若点 在抛物线 的对称轴上移动，点 在直线 上移动，求 的最小值. 图2 [答案] 如答图2所示，设点 关于抛物线对称轴的对称点 为 ，由对称的性质可得 ， 当 ， ， 三点一线且 与 垂直时 最小. ， . 由（2）可知当 时， ,即 的最 小值为 . 55 C组 冲击金牌 （第1题） 1.二次函数 的图象如图，有下列结论： ; ; ; ; 的解为 .其中 正确的有( ) . B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 56 （第2题） 2.如图，点 在直线 上，过点 作 交直线 于点 ，以 为边在 外侧作等边三角形 ，再过点 作 ，分别交直线 和 于 ， 两点，以 <m></m> 为边在 外侧作等边三角形 按此规律进行下去，则 第 个等边三角形 的面积为_ ______.（用含 的代数式表示） 57 [解析] 点 ， 直线 ，直线 ， . 在 中， ， ， ， . 为等边三角形， ， . 同理，可得出 ， ， ， ， 第 个等边三角形 的面积为 . 58 3.如图1，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于点 ， ，等边三角形 的顶点 与原点 重合， 边 落在 轴正半轴上，点 恰好落在线段 上.将等边三角形 从图1 的位置沿 轴正方向以每秒1个单位的速度平移，边 ， 分别与线 段 交于点 ， （如图2），设 平移的时间为 . 图1 图2 59 （1）等边三角形 的边长为___. 3 （2）在运动过程中，当 ___时， 垂直平分 . 3 （3）若在 开始平移的同时，点 从 的顶点 出发，以每秒2个单位的速度沿折线 运动.当点 运动到点 时即停止运动， 也随之停止平移. 60 ①当点 在线段 上运动时，若 与 相似，求 的值. 图1 [答案] 如答图1所示，由题意 ， ， ， ， ， . ， . 当点 在 下方时， ， 61 由 解得 . 与 相似， 或 . 或 ，解得 或 . 当点 在点 上方时， ,由 解得 . 同理可得 或 ，解得 或3（舍去）.综上所述， 或 或 . ②当点 在线段 上运动时，设 ，求 与 的函数表达式， 并求出 的最大值及此时点 的坐标. 图2 [答案] 当点 在 上方时，过点 作 于点 ，如答图2所示. 由题意得 ， ， ， . 64 . ， 当 时， 的面积最大，最 大值为 ，此时 . 当 时，点 与 重合，故点 在 下方不成立. $$