2025年浙江省中考数学二轮复习课件：分类讨论思想

分类讨论思想 1 知识导引 分类讨论思想，即把一个复杂的数学问题分成若干个属性不同的简单问题进行逐一讨论研究，以获得完整的结果.它是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.分类讨论的一般步骤是：首先确定讨论的对象和讨论的范围；其次确定分类的标准，进行合理分类；最后对分类结果逐一进行讨论并总结出结论.分类讨论涉及初中数学的全部知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准.在解题时应该按可能出现的情况做到既不重复，也不遗漏，分类加以讨论求解，再将不同的结论进行综合归纳，得出正确答案. 2 典例精析 例1-1 求函数 的图象与 轴的交点. 【思路分析】二次项系数中含有参数 ，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对 进行分类讨论. 3 （1）【解】当 ，即 时，此函数为 ，故其 与 轴只有一个交点 . （2）当 ，即 时，此函数为二次函数， ，方程 的解为 . ①当 时， ，抛物线与 轴的交点只有一个，交点坐标为 . 4 ②当 时， ，函数与 轴有两个不同的交点 和 . 综上所述，当 或 时，函数图象与 轴只有一个交点 ； 当 且 时，函数图象与 轴有两个不同的交点 和 . 5 例1-2 已知关于 的方程 . （1）若方程有实数根，求 的取值范围. 【解】 方程有实数根， ①当 时，原方程变为 ， ，方程有实数根. ②当 时， ，解得 ， 且 . 综上所述， 的取值范围是 . 6 （2）若等腰三角形 的边长 ，另两边 和 恰好是这个方程 的两个根，求 的周长. [答案] ①若 ，则 ，解得 ， 此时方程的根为 . 又 ，满足三角形三边的关系， . ②若 或 ，则 ， ，此时方程另一根为 或 ，满足三角形三边的关系. . 7 【思路分析】 对于方程二次项系数为字母的分类讨论，可以从方程为一次、二次方程的角度进行考虑，即对二次项系数进行为零与非零的讨论. 8 【方法归纳】 本题是对数学概念及定义分类的考查.解决这类问题，应 熟练掌握数学中的概念及定义，其中绝对值、方程及根的定义、函数的 定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定分类的条件和标准. 本题对于方程概念的分类讨论，要根据方程定义确定方程到底是一次方 程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并未说明哪两边是 的腰，故应考虑其所有可能情况. 9 图1 例2 如图1，在平面直角坐标系中， 的直 角顶点 在 轴上， ， .动点 从 点 出发，以每秒1个单位的速度，沿 向终点 移动；同时点 从点 出发，以每秒1.25个单位的 速度，沿 向终点 移动.当两个动点运动了 时，解答下列问题： 10 （1）求点 的坐标（用含 的代数式表示）. 图2 【解】由题意得 ， ， . 如图2，过点 作 于点 ，则 . ，即 ，解得 ， 点 的坐标是 . 11 （2）设 的面积是 ，求 关于 的函数表达式.当 为何值时， 有最大值？最大值是多少？ [答案] . 关于 的函数表达式为 . 配方得 ， ， 有最大值. 当 时， 有最大值，最大值是 . 12 （3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使 是直 角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. [答案] 存在某一时刻，使 是直角三角形.分两种情况： ①若 ，如图3，则 ，此时 ， . 13 图3 ， ，即 ，解得 . ②若 ，如图4，则 ，此时 ， . 图4 ， ， . ，即 ，解得 .综上所述， 的值是2或 . 【思路分析】（1）由勾股定理求出 ，作 于点 ，则 ，得出比例式 ，求出 ， ，即可得出点 的坐标.（2）由三角形的面积公式得出 是 的二次函数，即可得出 的最大值.（3）分两种情况 ；①若 ，则 ，由平 行线得出比例式，即可求出 的值.②若 ，则 ，证出 ，得出比例式，求出 的值即 可. 16 【方法归纳】 本题是相似形综合题，考查平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、勾股定理、求二次函数表达式以及最值等知识.第（3）题需要进行分类讨论，分类的标准是按直角三角形的直角分类，然后利用相似三角形的比例关系列方程求解. 17 图1 例3-1 如图1，抛物线 的顶点为 ，直线 与 轴的交点为 ，其中 . （1）写出抛物线对称轴及顶点 的坐标（用含 的代数式表示）. 【解】对称轴为直线 ，顶点 . 18 （2）证明点 在直线 上，并求 的度数. [答案] 把 代入函数 ，得 . 点 在直线 上.当 时， . ， ， . 19 （3）动点 在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与 全等？若存在，求出 的值，并 写出所有符合上述条件的点 坐标；若不存在，请说明理由. [答案] 以 ， ， 为顶点的三角形与 全等，共有4种情况： ①如图2， , ， ， . 20 图2 点 的坐标为 ，代入抛物线的函数表达式，得 ， . . ②如图3， , ，点 与点 重合， 图3 ， . . ③如图4， , ， ， . 图4 点 的坐标为 ，代入抛物线的函数表达式，得 ， . ④如图5， , ， ， . 图5 点 的坐标为 ，代入抛物线的函数表达式，得 ， . . 分析可知， ， ， ， 关于抛物线对称轴的对称点均符合 题意. 综上所述，符合条件的点 分别为 ， ， ， ， ， ， ， . 【思路分析】（1）对称轴为直线 ，顶点 ，（2）把 代入 ,得 ，所以点 在直线 上，直线 与 轴相交于点 ，则点 坐标为 ，由 三角函数知识可得 ，可得 ，（3）因 为全等的对应关系，所以需进行分类讨论，找准对应关系，从而解决问 题. 26 例3-2 已知抛物线 的顶点坐标为 ，与 轴交于 点 ， 是原点. （1）求这条抛物线的函数表达式. 【解】由题意可设 . 抛物线交 轴于点 ， . 抛物线的函数表达式为 ，即 . 27 （2）设此抛物线与 轴的交点为 ， （点 在点 的左边）.问:在 轴上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？ 若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. [答案] 当 时， ， ， ， . 设 ，则 .在 与 中， ①若 ，则 ， . 28 . ②若 ，则 ， . . 存在符合题意的点 ，其坐标为 ， ， 或 . 【思路分析】 关于已知三角形相似问题的讨论，可根据不同对应关系进行讨论.这类问题可分为两种类型，一是共边，一是共角.讨论时分类的标准是不同的，解题时要特别注意. 【方法归纳】 根据图形对应关系的不同进行的分类，大部分都涉及三角形的全等或相似问题，应对其中可能出现的有关角、边的对应情况加以分类讨论.解此类问题必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，这样才不容易出错. 30 探究活动 例 已知在矩形 中， ， 是对角线 上的一个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 ，交射线 于点 .连结 ，作 ， 交 于点 .设 ， . 31 （1）当点 ， ， 在同一条直线上时，求 的面积. 图2 【解】如图2，在矩形 中， . . ， ， 在同一条直 线上，且 ， . . . ， . . 32 （2）如图1，当点 在边 上时，求 关于 的函数表达式，并写出 自变量的取值范围. 图1 33 [答案] ， . . ， . . 又 ， . ， ，即 . ， . . 34 （3）连结 ，若 ，请直接写出 的长. [答案] ①如图3，当点 在线段 上时. 图3 35 ， ， . . ， ， ， . ，化简得 ，解得 . ②如图4，当点 在线段 的延长线上时，过点 作 于 点 ，连结 .易得 ， . 图4 ，用换元法解得 或 （舍 去）. 综上所述， 的长为 或 . 【思路分析】（1）首先证明 ，由 ，推出 ，可得 ，即可 求出 .（2）首先证明 ，可得 ，由 ，推出 ， ，即 ，由 ，可得 ，代入比例式即可 解决问题.（3）分两种情形分别求解：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时，分别寻找相似三解形，构建方程即可解决问 题. 38 【方法归纳】 本题是四边形综合题，考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题.本题的分类主要是按点的位置进行分类，根据图形特征分类也是几何综合题中常见的分类标准. 39 学力训练 A组 夯实基础 40 1.已知 的半径为5， 是弦， 是直线 上的一点， ， ，那么 的值为( ) . D A.3 B. C. 或 D.3或 41 2.已知 ， 分别切 于 ， 两点， 为 上一动点（点 不与点 ， 重合）， ，则 的值为( ) . C A. B. C. 或 D. 3.若 ，且 ， ，则 _______. 1或49 42 （第4题） 4.如图，已知在 中， ， ， 点 是射线 上的一个动点， ，则当 为直角三角形时， 的长为_ ______________. 4或 <m></m> 或 <m></m> 43 （第5题） 5.如图，在平面直角坐标系中， ， 两点分别在 轴、 轴上， ， ，连结 .点 在 平面内，若以 ， ， 为顶点的三角形与 全等（点 与点 不重合），则点 的坐标为 _ ___________________________. <m></m> 或 <m></m> 或 <m></m> 44 （第6题） 6.如图，在钝角三角形 中， ，垂足为点 ，且 与 的长度为 方程的两个 根. 是 的外接圆.如果 长为 ，求 的外接圆 的面积. 45 [答案] 与 的长度为 的两根， 有两种情况： ， ； ， . 由勾股定理求得 ， 或 . 如答图所示，连结 并延长，交 于点 ，连结 . 又 ， . . . 或 . 或 . 46 7.如图，在四边形 中， ， ， ， 平分 . 图1 图2 47 （1）求证：四边形 是菱形. [答案] ， ， ， . 又 平分 ， ， ， 四边形 为平行四边形.又 ， 四边形 是菱形. 48 （2）如果点 在对角线 上，连结 并延长，交边 于点 ，交 线段 的延长线于点 （点 可与点 重合）， ，设 长度为 是常数，且 ， ， ，求 关于 的 函数表达式，并写出自变量 的取值范围. 49 [答案] 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， . . . ， ，即 . . 50 （3）在第（2）小题的条件下，当 是等腰三角形时，求 的长. （计算结果用含 的代数式表示） [答案] 是等腰三角形，①当 时， ， ， .此时，点 ， 和点 重合， ，即 （负值 已舍） 当 时， 51 ， ， ， ， ，即 （负值已舍） 当 时， ， ， 此种情况不存在.综上 所述， 的长为 或 时， 为等腰三角形. （第8题） 8.如图，以矩形 的顶点 为原点， 所在的直 线为 轴， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐 标系.已知 ， ， 是 的中点，在 上取一点 ，将 沿 翻折，使点 落在 边上的点 处. （1）直接写出点 ， 的坐标. [答案] , . 53 （2）设顶点为 的抛物线交 轴正半轴于点 ，且以 ， ， 为顶 点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的函数表达式. [答案] 在 中， . 设点 的坐标为 ，其中 ， 顶点 ， 设抛物线的函数表达式为 . ①当 时， ， ，解得 （舍去）, ，解得 . 54 抛物线的函数表达式为 . ②当 时， ， ，解 得 （舍去）. ③当 时， ，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线的函数表达式为 . （3）在 轴、 轴上是否分别存在点 ， ，使得四边形 的周 长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由. 56 [答案] 存在点 ， ，使得四边形 的周长最小. 如答图所示，作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连结 ，分别与 轴、 轴交于点 ， ,则 ， 就是所求点. ， ， ， ， . 又 ， . 四边形 周长的最小值是 . B组 瞄准中考 1.【青海】已知 ， 是 的两条平行弦， ， ， 的半径为5，则弦 与 的距离为( ) . D A.1 B.7 C.4或3 D.7或1 58 2.【黑龙江】若点 是等腰 的外心，且 ，底边 ，则 的面积为( ) . C A. B. C. 或 D. 或 59 （第3题） 3.【安徽】在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点， 分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的 部分是如图的直角梯形，若其中三边长分别为2，4，3，则 原直角三角形纸片的斜边长是( ) . C A.10 B. C.10或 D.10或 60 [解析] ①如答图1所示， ， 是斜边 的中 点， . 图1 61 ②如答图2所示， ， 是斜边 的中点， . 图2 直角三角形纸片的斜边长是10或 .故选C. 62 （第4题） 4.【葫芦岛】如图，已知点 ， ，连结 ， ， 分别是 ， 的中点，在射线 上有一动点 ， 若 是直角三角形，则点 的坐标是_______________ _______. <m></m> 或 <m></m> 63 （第5题） 5.【沈阳】如图，在 中， ， ， ， 是 的中位线， 是边 上一点， ， 是线段 上的一个动点，连结 ， 相交于点 .若 是直角三角形，则 的 长是 _ _______. <m></m> 或 <m></m> 64 （第6题） 6.【绍兴】如图， ，点 ， 在边 上， ， ， 是边 上的点.若使点 ， ， 构成等腰三角形的点 恰好有三个，则 的值为 _ _________________________________. <m></m> 或 <m></m> 或 <m></m> [解析] 分三种情况：由题意得 . 65 ①如答图1所示，取 ，以点 为圆心、 为半径画圆，则 与 除点 外只有一个交点，此时 ，即以 为顶点、 为腰，符合条件的点 有一个；以 为圆心、 为半径画圆，与直 线 相离，说明此时以 为顶点、 为腰，符合条件的点 不存在， 还有一个是以 为底边的符合条件的点 ，故此时点 有2个.当点 沿 运动，到达点 使 与 相切时，易得 ，此 时以 为顶点、 为腰，符合条件的点 有一个，还有一个是以 为底边的符合条件的点 ，故此时点 也有2个. 当 时， 在移动过程中，会与 有两个交点，满足条件的点 恰好 有三个. 66 图1 ②如答图2所示，取 ，以点 为圆心、 为半径画圆，则 与 除点 外只有一个交点，此时点 与点 重合， ， 即以 为顶点、 为腰，符合条件的点 有一个，易知以 , 为顶 点，符合条件的点 各有一个，故此时点 有3个.当点 沿 运动， 67 到达点 使 与 相切时，易得 , ，此时以 为顶点、 为腰，符合条件的点 有一个,易知以 , 为顶点，符合条件的点 各有一个，故此时点 也有3个.除此之外， 在移动过程中，会与 有两个交点，符合条 件的点 共有4个，不符合题意. 图2 综上所述，若使点 , , 构成等腰三角形的点 恰好有三个，则 或 或 . 69 （第7题） 7.【荆门】如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，若点 是边 上的一个动点（与 点 ， 不重合），过点 作 交 于点 . 70 （1）求点 的坐标. [答案] 过点 作 于点 ， ， ， ， . 71 （2）当 的周长与四边形 的周长相等时，求 的长. [答案] ， .设 ，则 的周长与四边形 的周长相等， ，即 ，解得 . . 72 （3）在 上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在， 请求出此时 的长；若不存在，请说明理由. [答案] 由（2）知，若 ，则 ， .①如答图1所 示，当 ， 时，易得 ， . ， . . 如答图1所示，当 ， 时，同理可得 . 73 图1 ③当 ， 时，如答图2所示，过点 作 于点 ， ， 图2 ， . . . 8.【营口】在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ， ，与 轴交于点 ，顶点为 . （1）求抛物线的函数表达式. [答案] 抛物线 过点 ， ， 解得 抛物线的表达式为 . 76 （2）点 为直线 上的一个动点，连结 . 图1 ①如图1，是否存在点 ，使 ？ 若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若 不存在，请说明理由. 77 图1 [答案] 由抛物线的表达式知，点 ， 的坐标分别为 ， ， 由点 ， 的坐标知，直线 的表达式为 . ， 轴，则点 . ，则 . 如答图1所示，当点 在点 的右侧时， 78 当点 在点 的左侧时，如图中 所示位置. 设直线 交 轴于点 ，过点 作 于点 ， ， 为等腰三角形，则 . 解得 ，则 ，故点 . 由点 ， 的坐标，得直线 的表达式为 ，联立②③ 并解得 点 的坐标为 或 . 图2 ②如图2，点 在 轴上方，连结 交抛物线 于点 ， ，点 在第三象限的 抛物线上，连结 ，当 时，请 直接写出点 的坐标. 81 图2 [答案] ，而 ， 设直线 的表达式为 ，将点 的坐标 代入上式并解得 直线 的表达式为 . 82 联立①④并解得 点 . 如答图2所示，设 的外接圆为圆 ,过点 作 轴于点 ， 过点 作 并交 的延长线于点 ，当 时， 则 ，设圆心 的坐标为 ， ， ， ， ， ， 点 .将点 的坐标代入抛物线表达式得 ，由题意得 ，即 .联立⑤⑥并解得 故点 ． 图1 9.【长春】如图1，在 中， ， ， ，点 从点 出发，沿折线 向终点 运动，在 上以每秒5个单位的速度运动，在 上以每秒3个单位的速 度运动，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度运动. ， 两点同时出发，当点 停止运动时，点 也随之停止运动.设点 运 动的时间为 . 85 （1）求线段 的长.（用含 的代数式表示） [答案] 在 中， ， ， ， . ， . 86 （2）连结 ，当 与 的一边平行时，求 的值. [答案] ①当 时， ， . 当 时， ， . .综上所述，当 与 的一边平行时， 的值为 或3. 87 图2 （3）如图2，过点 作 于点 ，以 ， 为邻边作 矩形 ，点 为 的中点，连结 .设矩形 与 重叠部分图形的面积为 . ①当点 在线段 上运动时，求 关于 的函数表达式. 当 时，如答图1所示，重叠部分是四边形 . 88 图1 当 时，如答图2所示，重叠部分是四边形 . 图2 当 时，如答图3所示，重叠部分是五边形 . 图3 ②直接写出 将矩形 分成面积比为 的两部分时， 的值. [答案] 当 时，如答图4所示， 将矩形 分成两部 分的面积比为 ，解得 .当 时，如答图5所示， 将矩形 分成两部分的面积 比为 ，解得 .综 上所述，当 或 时， 将矩形 分成两部分的面积比为 2. 图4 图5 92 C组 冲击金牌 （第1题） 1.如图，在四边形纸片 中， ， ， ， .将纸片先沿直线 对折， 再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后 的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行 四边形，则 _ _________________. <m></m> 或 <m></m> 93 [解析] 如答图1所示，若从顶点 裁剪，作 ，延长 交 于 点 ，过点 作 于点 .则四边形 为平行四边形. ， 图1 94 四边形 是菱形. ， ， ， ， . . . 四边形 面积为2， 设 ，则 ，解得 （负数舍去）. ， . . . 如答图2所示，若从顶点 裁剪，则四边形 是平行四边形. ， 四边形 是菱形. ， ， . 95 图2 ， .设 ，则 ， 四边形 面积为2， ，解得 ， .综上所述， 的值为 或 . 96 2.【黄冈校级自主招生】若二次函数 在 上 有最小值 ，则 的值为_ ________. 5或 <m></m> 97 [解析] 对称轴为直线 .分三种情况：①当 ，即 时，二次函数 在 上为增函数， 当 时， 有最小值为 ，把 代入 中， 解得 .②当 ，即 时，二次函数 在 上为减函数， 当 时， 有最小值为 ，把 代入 中，解得 ，舍去.③当 ，即 时，此时抛物线的顶点为最低点， 顶 点的纵坐标 ，解得 或 ，舍去.综上 所述， 的值为5或 . 98 （第3题） 3.【淄博】如图， 的半径为2，圆心 到直线 的距离 为4，有一内角为 的菱形，当菱形的一边在直线 上， 另有两边所在的直线恰好与 相切时，菱形的边长为 _ _______________. <m></m> 或 <m></m> 或 <m></m> 99 [解析] ①如答图1所示，当线段 ， 与 相切时，过点 作直 线 的垂线，交 于点 ，交 于点 ，作 于点 .由题意得 四边形 为矩形， .在 中， 图1 100 ②如答图2所示，当 的延长线及 的延长线与 相切时，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则 ， ， 图2 101 ③如答图3所示，当线段 及 的延长线与 相切时，过点 作 垂直于 延长线于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ， 则 ， .其他情况结果都同上.故答案 为： 或 或 . 图3 102 4.已知抛物线 经过点 . （1）若 ，抛物线顶点为 ，它与 轴交于两点 , ，且 为等边三角形，求 的值. 103 [答案] 由题意得 ， ， .抛物线顶点为 .设 ， ， ， ， , . 为等边三角形， ,即 . ， . ， ，解得 . （2）若 ，且 ，求 的最小值. [答案] ，若 ，则 ， ， ， 与 矛盾, ， , , 是一元 二次方程 的两实根. ，即 ，故 ， , , 为三正或一正二 105 负.①若 , , 为三正，则 ，与 矛盾.②若 , , 为一正二负，则 ， ， ，则 ， .当 ， 时，满足题设条件且使不等式等 号成立. 的最小值为6. $$