2025年浙江省中考数学二轮复习课件：函数方程思想

函数方程思想 1 知识导引 函数是初中数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的. 2 与函数有必然联系的是方程，而方程是初中代数的主要内容，主要考查几类方程和方程组的解法.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.函数与方程的思想是初中数学的基本思想，也是历年中考的重点. 3 典例精析 例1 已知抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ，且 ， 满足条件 ， ． 4 （1）求抛物线的函数表达式. 【解】 ， 对一切实数 ，抛物线与 轴恒有两个交点. 由根与系数的关系得 ， ．由已知 有 ．联立以上三式，得 ,解得 ， ． 当 时， ， ，满足 . 当 时， ， ，不满足 . 抛物线的函数表达式为 ． 5 （2）能否找到直线 与抛物线交于 ， 两点，使 轴恰好 平分 的面积？求出 ， 所满足的条件． [答案] 如图，设存在直线 与抛物 线交于点 ， ，使 轴平分 的面 积．设点 的横坐标为 ，点 的横坐标 为 ，直线与 轴交于点 ． 6 ， ，由 轴平分 的 面积，得点 ， 在 轴的两侧，即 ， ． 由 得 ． 又 ， 是方程 的两根， ． 又 直线与抛物线有两个交点， 当 且 时，直线 与抛物线的交点 ， ，使 轴能平分 的面积，故 ． 【思路分析】 利用函数构建方程来解决问题. 【方法归纳】 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题.这类 题主要是以函数为主．解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与 方程信息相互转化．例如：二次函数与 轴有交点，可转化为一元二次 方程有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解；点在 函数图象上，点的坐标就满足该函数表达式等． 9 例2 如图1，一张三角形纸片 ， ， ， .沿斜边 的中线 把这张纸片剪成 和 两个三角形（如图2）.将纸片 沿直线 方向平移（点 ， ， ， 始终在同一直线上），当点 与点 重合时，停止平移.在平移过程中， 与 交于点 ， 与 ， 分别交于点 ， . 10 图1 图2 11 图3 （1）当 平移到如图3的位置时，猜想图中 的 与 的数量关系，并证明你的猜想. 【解】 ． 证明：由 ，得 . 由 ，得 . , , . 12 （2）设平移距离 为 ， 与 重叠部分面积为 ， 请写出 与 的函数表达式以及自变量的取值范围. [答案] 由 ，得 ． 因此 . 由 ，得 . ． 13 （3）对于（2）中的结论，是否存在这样的 的值，使得重叠部分的面积 等于原 面积的 ？若存在，请求出 的值;若不存在，请说明理由. [答案] 存在.当 时，即 ． 整理，得 ，解得 ， ． 即当 或 时，重叠部分的面积等于原 面积的 ． 14 【思路分析】 图形在运动的过程中，对应线段平行且相等，对应点的 连线平行且相等．在图3中， 与 始终平行且相等， 与 保持垂直关系， ，因此 ， ， ， ．利用这些相等及相似关系，结合相似三角形的性质可 写出函数表达式.第（3）题只要将函数转化为方程，解方程即可. 15 【方法归纳】 本题是几何变换、图形相似、函数、方程等数学知识的综合题，同样需要用运动的眼光来研究问题，要注意图形在运动过程中的变与不变：线段的长度在变，重叠部分的面积在变，对应线段的等量关系及图形的相似关系不变. 16 图1 例3 如图1，已知 ， ，两个动点 ， 同时在 的边上按逆时针方向 运动.开始时点 在点 位 置，点 在点 位置，点 的运动速度为每秒2个 单位，点 的运动速度为每秒1个单位． 17 （1）在前 内，求 的最大面积. 图2 【解】 ， ， ， ， ． 在前 内，点 在 上，点 在 上，设经 过 ，点 ， 位置如图2，则 ， ． 的面积 . 当 时， ． 18 （2）在前 内，求 ， 两点之间的最小距离，并求此时点 ， 的坐标. [答案] 在前 内，点 从点 开始，经过点 ，点 ，最后到达 上，经过的总路程为20；点 从点 开始，经过点 ，最后也到达 上，经过的总路程为10．其中 ， 两点在某一位置重合，最小距离 为0．设经过 ，点 被点 追及（两点重合），则 ， ． 在前 内， ， 两点的最小距离为0，点 ， 的相应坐标为 ． 19 （3）在前 内，探究 平行于 一边的情况，并求平行时点 ， 的坐标． [答案] ①如图3，设 ，则点 在 上，点 在 上， ， ． 20 图3 若 ，则 ， ，解得 ．此时， ， ． ②设 ，则点 ， 都在 上，不存在 平行于 一 边的情况． ③如图4，设 ，则点 在 上，点 在 上， ， ． 图4 若 ，则 ， ，解得 ．此时， ， ． ④设 ，则点 ， 都在 上，不存在 平行于 一边的情况． ⑤如图5，设 ，则点 在 上，点 在 上， 图5 ， ． 若 ，则 ， ，解得 ． 此时， ， ． 【思路分析】 本题是一个动点问题的几何与函数的综合题，要根据点 ， 在三角形边上的不同位置进行分类讨论.当运动时间 时， ， 分别在 ， 上，所以容易将 的面积表示为关于 的 二次函数，求出最大值.在 范围内，点 的速度比点 的速度快， 因此 能被 追及，两点之间的最小距离即为0.第（3）题须根据点 ， 在 各边上的不同位置情况进行分类讨论. 26 【方法归纳】 本题是一类典型的动态几何问题，考查方程函数思想和分类讨论思想.解题的关键在于根据点在三角形边上的运动方向及运动速度探究 ， 所处的位置，并进行分类，在不同情况下逐个解决.特别是第（3）题，分类一定要合理，不要遗漏. 27 探究活动 例 将一张矩形纸片 放在平面直角坐标系中， 为原点， 在 轴上， ， . 图1 （1）如图1，在 上取一点 ，将 沿 折叠，使点 落在 边上的点 ，求点 的坐标. 28 【解】在 中， ， ， ． 在 中， ， ， ， 由勾股定理，得 ，解得 ， ． 29 图2 （2）如图2，在 ， 边上选取适当的点 ， ，将 沿 折叠，使点 落在 边上的点 ，过点 作 交 于 点 ，交 于点 ，求证： . [答案] ， ， ． ． 30 （3）在（2）的条件下，设 .探求 与 之间的函数表达式，并 指出自变量 的取值范围. [答案] ， ， ， ． 由勾股定理，得 ，整理，得 ． 31 图3 （4）如图3，如果将矩形 变为平行四边 形 ，使 ， 边上的高等 于6，其他条件均不变.探求：这时 的 坐标 与 之间是否仍然满足（3）中所得的 函数关系？若满足，请说明理由；若不满足, 写出你认为正确的函数表达式. [答案] 将平行四边形 可以割补为图2中的矩形 ，当 时，仍然满足 ；当 时，点 不存在． 32 【思路分析】 第（1）题运用勾股定理求解.第（2）题求证 ,应先求证 ，可从 入手.第（3）题也应运用勾股定理求解. 33 【方法归纳】 本题是从特殊到一般研究三角形的翻折问题，把图 形放置在坐标平面内，又深入探究图形运动过程中的函数关系．图1的 特殊性是矩形纸片折叠时的折痕过点 ，图2的一般性是矩形纸片折叠 时的折痕过线段 上的一点，图3的一般性是将矩形纸片换成了平行 四边形．第（1）题在 中用勾股定理及数形结合思想探究点 的坐标的过程，为第（3）题探究函数关系提供方法依据．第（2）、 （3）题的探究过程又为第（4）题探究函数关系奠定基础． 34 学力训练 A组 夯实基础 1.在一定条件下，若物体运动的路程 与时间 的函数表达式为 ，则当 时，该物体所经过的路程为( ) . D A. B. C. D. 35 （第2题） 2.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉， 其中一支高度为 的喷水管喷水的最大高度为 ， 此时水平距离为 .在如图的平面直角坐标系中， 这支喷泉的函数表达式为( ) . C A. B. C. D. 36 （第3题） 3.如图，等腰直角三角形 的直 角边与正方形 的边长均为2，且 与 在 同一直线上，开始时点 与点 重合，让 沿这条直线向右平移，直到点 与点 重合为止. 设 的长为 ， 与正方形 重合部分 （图中阴影部分）的面积为 ，则 与 之间的函数关系的图象大致是 ( ) . 37 A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& √ 38 （第4题） 4.小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚横截面为抛物 线，有关数据如图.已知小燕的身高为 ， 在她不弯腰的情况下，横向活动范围有___ . 6 5.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球 滚动的距离 与时间 的数据如下表所示，写出用 表示 的函数 表达式：_ _______. 时间 1 2 3 4 … 距离 2 8 18 32 … <m></m> 39 （第6题） 6.如图， 的直径 于点 ， 于 点 ，交 的延长线于点 ，连结 . （1）求证： . [答案] ， ， . 又 ， . 40 （2）若 ， ，求 的半径. [答案] 连结 ， ， ， . 设 ， ， . .又 ， ， 的 半径 . 41 （第7题） 7.设 ， 是任意两个不等实数，我们规定：满足不 等式 的实数 的所有取值的全体叫做闭区 间，表示为 .对于一个函数，如果它的自变量 与函数值 满足：当 时，有 ， 我们就称此函数是闭区间 上的“闭函数”.如函 数 ，当 时， ；当 时， ，即当 时，恒有 ，所以说函数 是闭区间 上的“闭函数”，同理函数 也是闭区间 上的“闭 函数”. 42 （1）反比例函数 是闭区间 上的“闭函数”吗？请判断 并说明理由. ， 当 时， 随 的增大而减小. 当 时， ， 时， 反比 例函数 是闭区间 上的“闭函数”. 43 （2）如果已知二次函数 是闭区间 上的“闭函数”， 求 和 的值. ， ， 二次函数 在闭区间 上 随 的增大而增大. 二次函数 是闭区间 上的“闭函数”， 当 时， ， 时， . 解得 ， 或 （舍去）. 44 （3）如果（2）所述的二次函数的图象交 轴于点 ， 为此二次函数 图象的顶点， 为直线 上的一点，当 为直角三角形时，写 出点 的坐标. [答案] 由二次函数的图象交 轴于点 ， 为此二次函数图象的顶点， 得 ， ，设 ，由勾股定理得 ， ， .①当 时， ，即 45 ,化简得 ，解 得 或 . ， .②当 时， ，即 ，化简得 ，解得 . 当 时， ，即 ，化简得 ，解得 . .综上所述，当 为直角三角形时，点 的坐标 为 ， ， 或 . B组 瞄准中考 1.【莱芜】对于实数 ， ，定义符号 ， ，其意义为：当 时， ， ；当 时， ， .例如： ， .如果关于 的函数 ， ， 那么该函数的最大值为( ) . D A. B.1 C. D. 47 （第2题） 2.【泰安】如图，在 中， ， ， ，点 从点 沿 向 点 以 的速度运动，同时点 从点 沿 向点 以 的速度运动（点 运动到 C A. B. C. D. 点 停止），在运动过程中，四边形 的面积最小值为( ) . 48 3.【南充】关于二次函数 的三个结论：①对 任意实数 ，都有 与 对应的函数值相等；②若 ，对应的 的整数值有4个，则 或 ； ③若抛物线与 轴交于不同的两点 ， ，且 ，则 或 .其中正确的结论是( ) . D A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 49 [解析] 二次函数 的对称轴为直线 ， 而 与 关于直线 对称， 对任意实数 ，都有 与 对应的函数值相等. 故①正确.当 时， ；当 时， .若 时，当 时， ， 当 时，对应 的 的整数值有4个， ，解得 .若 时，当 时， ， 当 时， 50 对应的 的整数值有4个， ，解得 . 故②正确.若 ，抛物线与 轴交于不同的两点 ， ，且 ， ， 解得 .若 ，抛物线与 轴交于不同的两点 ， ，且 ， ， . 解得 .综上所述，当 或 时， 抛物线与 轴交于不同的两点 ， ，且 .故③正确.故选D. 4.【台州】竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相 隔 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同， 在各自抛出后 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后 时在空中与第二个小球的离地高度相同，则 ____. 1.6 52 5.【温州】小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全 开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 ，出水口 和落水点 恰好在 同一条直线上，点 至出水管 的距离为 ，洗手盆及水龙头的 相关数据如图2.现用高 的圆柱形水杯去接水，若水流所在抛物 线经过点 和杯子上底面中心 ，则点 到洗手盆内侧的距离 为 _ _________ ． <m></m> 图1 图2 53 [解析] 如答图所示，建立平面直角坐标系，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于 点 .由题意得 ， ，故 ， ， 在 中， ， . 由 可得 ， ，即 . ， .又 水流所在抛物线经过 54 点 和 ， 可设抛物线为 .把 ， 代入抛物线，可得 解得 抛物线为 .又 点 的纵坐标为 ， 令 ，则 ，解得 ， （舍去） 点 的横坐标为 . 又 ， ． 6.【南通】某学习小组在研究函数 的图象与性质时，已列 表、描点并画出了图象的一部分. （第6题） 56 … 0 1 2 3 3.5 4 … … 0 … （1）请补全函数图象. [答案] 补全函数图象如答图所示.&5& 57 （2）方程 实数根的个数为___. 3 [解析] 如答图所示，作出直线 的图象，由图象知，函数 的图象和直线 有三个交点. 方程 实数根的个数为3. 58 （3）观察图象，写出该函数的两条性质. [答案] 由图象知，该函数有如下性质：①此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值；②此函数在 和 ， 随 的增大而增大；③此函数图象过原点；④此函数图象关于原点对称. 59 7.【荆州】已知关于 的一元二次方程 ，其 中 为常数. （1）求证：无论 为何值，方程总有两个不相等实数根. [答案] ， 无论 为何值，方程总有两个不相等实数根. 60 （2）已知函数 的图象不经过第三象限，求 的取值范围. [答案] 二次项系数 ， 抛物线的开口方向向上. ， 抛物线与 轴有两个交点. 二次函数 的图象不经过第三象限，设抛 物线与 轴的交点的横坐标分别为 ， ， ， ，解得 . 即 的取值范围是 . 61 （3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求 的最大整数值. [答案] 设方程的两个根分别是 ， ，根据题意得 ，即 .又 ， ，代入得 ， 解得 . 的最大整数值为2. 62 8.【福建】已知直线 与抛物线 有一个公共 点 ，且 . （1）求抛物线顶点 的坐标（用含 的代数式表示）. [答案] 抛物线 过点 ， ， 即 . . 抛物线顶 点 的坐标为 . 63 （2）说明直线与抛物线有两个交点. [答案] 直线 经过点 ， ，解得 .联立直线与抛物线的函数表达式，消 去 可得 ， . 由（1）知 ，且 ， ， . 方程 有两个不相等的实数根. 直线与抛物线有两个交点. 64 （3）直线与抛物线的另一个交点记为 . ①若 ，求线段 长度的取值范围. 联立直线与抛物线的函数表达式，消去 可得 ，即 ， ，解得 或 . 点 的坐标为 . 65 由勾股定理可得 ， ， 随 的增大而减小. 当 时， 有最大值245，则 有最大值 ；当 时， 有最小值125，则 有最小值 . 线段 长度的取值范围是 . ②求 面积的最小值. [答案] 如答图所示，设抛物线对称轴交直线于点 . 抛物线对称轴为 ，点 在直线 上， . ， ，且 ，设 的 面积为 ， 67 . . 关于 的方程 有实数根， ， 即 . ， . . ，即 . 当 时，由方程 可得 满足题意， 当 ， 时， 面积的最小值为 . C组 冲击金牌 1.【奉化市自主招生】已知抛物线 过点 ， 两点，且不经过第一象限，若 ，则 的取值范围 是( ) . A A. B. C. D. 69 [解析] 由题意得 解得 则 . 由抛物线过点 ， 两点，且不经过第一象限知 ， ，解得 . .故选A. 70 2.【江汉区校级自主招生】如果函数 的 图象在 轴的上方，那么实数 的取值范围是_ ______. <m></m> [解析] ① 二次函数 的图象全部在 轴的上方， ， ， ，解得 . ②当 时，函数 ，综上可 知，实数 的取值范围是 71 （第3题） 3.甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一个十分关键的 球，出手点为 ，羽毛球飞行的水平距离 与其距地 面高度 之间的函数表达式为 ． 如图，已知球网 距原点 ，乙（用线段 表示） <m></m> 扣球的最大高度为 ，设乙的起跳点 的横坐标为 ，若乙原地起 跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 的取值 范围是_ _______________． 72 （第4题） 4.如图，抛物线 与双曲线 相 交于点 ， .已知点 的坐标为 ，点 位于第三 象限内，且 的面积为 为坐标原点). （1）求实数 ， ， 的值. 73 [答案] 点 在双曲线 上， .故双曲线的函数表达式为 ． 设点 ， ， 所在直线的函数表达式为 ，则 有 解得 于是，直线 与 轴的交点坐标为 ， 74 故 ，整理得 ，解得 或 （舍去） 点 的坐标为 ． 点 ， 都在抛物线 上， 解得 75 （2）过抛物线上的点 作直线 轴，交抛物线于另一点 ，求所 有满足 的点 的坐标. [答案] 如答图所示， 轴， ，于 是 .又 ， ． 设抛物线 与 轴的负半轴相交于点 ， 则点 的坐标为 ． ， ． 76 将 绕点 顺时针旋转 ，得到 .这时，点 是 的中点，点 的坐标为 ．延长 到点 ， 使得 ，这时点 是符合条件的点． 作 关于 轴的对称图形 ，得到点 .延长 到点 ，使得 ， 这时点 是符合条件的 点． 点 的坐标是 或 $$