空间中直线、平面垂直练习题-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空间中直线，平面垂直练习题 一、单选题 1．设l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．已知在四面体ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=2，则该四面体中互相垂直的平面有（ ） A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 3．相交直线都在平面内，直线在平面内，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的共有几个是（    ） ．．．． A 1个 B 2个 C 3个 D4个 5． 在正方体ABCD−A1​B1​C1​D1​中，与AD1​垂直的平面是（ ） A. 平面DD1​C1​C B. 平面A1​DB1​C. 平面A1​B1​C1​D1​ D. 平面A1​DB 6．设α−l−β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么（ ） A. a与b可能垂直，但不可能平行 B. a与b可能垂直，也可能平行 C. a与b不可能垂直，但可能平行 D. a与b不可能垂直，也不可能平行 7．在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 8．在正方体中，下列结论错误的是（   ） A．∥平面 B．平面 C．存在过的平面，使得 D．存在过的平面，使得 二、多选题 9．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 10．如图，在三棱锥中，，，，，，则（    ） A． B．平面 C． D． 11．（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 三、填空题 12．已知三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90∘，SA=AB=BC=2，则三棱锥S−ABC的外接球的表面积为______。 13．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 14．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足 时，平面平面． （只要填写一个你认为正确的条件即可） 四、解答题 15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 16．如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 17．如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 18．如图，四棱锥的底是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； 19．如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间中直线，平面垂直练习题 一、单选题 1．设l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【详解】对A：因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系不能确定，故A错误； 对B：因为两条直线平行，其中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，故B正确； 对C：当，，时，平面的位置关系不能确定，故C错误； 对D：如图： 正方体中，平面平面，平面，平面，且. 所以两个平面互相垂直，一个平面的垂线与另一个平面的平行线未必平行，故D错误. 故选：B 2．已知在四面体ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=2，则该四面体中互相垂直的平面有（ ） A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 答案：D 解析：取CD中点E，连接AE，BE，可证CD⊥平面ABE，则平面ACD⊥平面ABE，平面BCD⊥平面ABE，同理可得其他垂直平面，共有3对，选 D。 3．相交直线都在平面内，直线在平面内，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由相交直线都在平面内，且，得，而直线在平面内， 因此，故充分性成立； 反之，若，直线在平面内，则直线在平面内，或平行于平面，或与平面相交， 所以直线与平面也不一定垂直，即直线不一定垂直平面的所有直线， 所以直线l不一定都与相交直线垂直，故必要性不成立. 故选：A 4．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的共有几个是（    ） ．．．． A 1个 B 2个 C 3个 D4个 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：B. 5． 在正方体ABCD−A1​B1​C1​D1​中，与AD1​垂直的平面是（ ） A. 平面DD1​C1​C B. 平面A1​DB1​C. 平面A1​B1​C1​D1​ D. 平面A1​DB 答案：B 解析：连接A1​D，DB1​，在正方体中AD1​⊥A1​D，AD1​⊥A1​B1​，A1​D∩A1​B1​=A1​，所以AD1​⊥平面A1​DB1​，选 B。 6．4设α−l−β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么（ ） A. a与b可能垂直，但不可能平行 B. a与b可能垂直，也可能平行 C. a与b不可能垂直，但可能平行 D. a与b不可能垂直，也不可能平行 答案：B 解析：当a，b都平行于l时，a∥b；过a上一点作c⊥l，因为α−l−β是直二面角，则c⊥β，c⊥b，当a与c重合时，a⊥b，所以a与b可能垂直，也可能平行，选 B。 故选：B. 7．在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【详解】在正四棱锥中，，令，连接， 在中，由E，F分别是边的中点，得，是线段的中点， 而为的中点，则，又平面，平面， 因此平面，C正确，D错误； 由平面，平面，得，与相交不垂直， 又，且平面，因此与相交不垂直，AB错误. 故选：C 8．在正方体中，下列结论错误的是（   ） A．∥平面 B．平面 C．存在过的平面，使得 D．存在过的平面，使得 【详解】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A项正确； 对于B，易证平面，又平面，所以， 同理可得，又，平面，， 所以平面，故B项正确； 对于C，由，平面，平面，得平面， 所以平面即为平面，故C项正确； 对于D，假设，因为，所以， 又，，平面，， 所以平面，这明显错误，所以假设不成立，故D项错误. 故选：D. 二、多选题 9．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 【详解】因为是正方体，所以平面平面， 平面，所以平面，A选项正确； 因为平面，平面，所以，B选项正确； 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， ，所以平面即为平面， 平面，所以平面，C选项正确； 因为平面，平面，所以平面平面，D选项错误. 故选：ABC. 10．如图，在三棱锥中，，，，，，则（    ） A． B．平面 C． D． 【详解】对于A选项，因为，，，、平面， 所以，平面， 因为平面，所以，，A对； 对于B选项，因为，，，则，所以，， 因为，，、平面，所以，平面，B对； 对于C选项，因为，则， 因为平面，平面，则， 所以，，C错； 对于D选项，以、为邻边作矩形，连接，如下图所示： 因为，所以，与所成角为或其补角， 因为平面，平面，则， 因为，，、平面，则平面， 因为平面，所以，， 所以，，所以，与所成角的余弦值为，D不对. 故选：AB. 11．（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【详解】由平面平面，得平面平面，D正确； 由平面，得，又为圆的直径，为圆周上不与点重合的点， 则，又平面，因此平面，又平面， 则平面平面，C正确； 由平面，得，而平面， 于是平面，又平面，则， 又平面，从而平面， 又平面，平面平面，A正确； 对于B，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，B错误. 故选：ACD 三、填空题 12．已知三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90∘，SA=AB=BC=2，则三棱锥S−ABC的外接球的表面积为______。 答案：12π 解析：将三棱锥S−ABC补成长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，外接球直径2R=22+22+22​=23​，则外接球表面积S=4πR2=12π。 13．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 【详解】因为平面，又面，则， 又，，面，所以面， 又面，所以，又，是边长为的正方形， 所以，则，， 设点到平面的距离为， 由，得到，解得， 故答案为：. 14．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足 时，平面平面． （只要填写一个你认为正确的条件即可） 【详解】由题知底面为菱形，则． 因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面． 又平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 故答案为：（答案不唯一，，等都可）. 四、解答题 15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 【详解】因为底面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 16．如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 因为为矩形，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2）因为平面，平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又由（1）有平面，平面，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 17．如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【详解】连接交于点，连接．因为四边形是菱形， 所以，且为的中点． 因为，所以． 又因为，平面，且，所以平面． 而平面，所以平面平面． 18．如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； 【详解】（1）四棱锥底面是菱形，连接，，则是正三角形， 由底面ABCD，平面，得，由是的中点，得， 而平面，所以平面.    （2）连接，由菱形，得，由是的中点，得，则， 由底面ABCD，底面ABCD，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. 19．如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$