2025年浙江省中考数学二轮复习课件：最值问题

最值问题 1 知识导引 在日常生活中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案 中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们 也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨 论的最值问题.求最值问题的方法归纳起来有以下几点：（1）运用配方 法求最值.（2）构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式 求最值.（3）建立函数模型求最值.（4）利用基本不等式或不等分析法 2 求最值．数学中最大值、最小值的问题，运用到社会实践、生活实际中 所体现出来的就是最优化思想.所谓最优，就是我们所期望的目标量能 达到最大或最小．一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范 围有条件限制时，最值在图象的端点处取得；定义：在全体实数上的二 次函数最值在抛物线的顶点处取得，即对于 （1）若 ，则当 时， .（2）若 ，则 当 时， ． 典例精析 例1 如图， 是以坐标原点 为圆心，4为半径的 圆，点 的坐标为 ， ，弦 经过点 ，则 图中阴影部分面积的最小值等于( ) . D A. B. C. D. 4 【思路分析】由题意可知当 时，阴影部分的面积最小. 点 的坐标为 ， ， . 【方法归纳】 本题考查弓形的面积的计算、坐标与图形的性质等知识， 解题的关键是理解当 时，阴影部分的面积最小，即同一个圆 中，弦 最小时，对应的弓形（小于半圆时）面积最小. 5 例2 设 ， ， 满足 ，则代数式 的最大值是( ) . A A.27 B.18 C.15 D.12 【思路分析】 原式 . 【方法归纳】 利用乘法公式，把代数式变形成与已知条件相关联的式子，进而求出最大值，或者利用配方法来求最值. 6 例3 设 为正实数，则函数 的最小值是___． 1 【思路分析】先将原函数配方，再求最值. . 要求 的最小值，则 ，这时得到 ， . 【方法归纳】 函数 含有 ，不能直接用求二次函数的最 值方法，求最值的最原始、最有效的方法仍然是配方法． 7 例4 某企业为某计算机产业基地提供电脑配件.受汇率的影响，从去年1 月至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格 （元）与月份 ，且 取整数)之间的函数关系如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格 （元/件） 560 580 600 620 640 660 680 700 720 8 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10月至12月每件配 件的原材料价格 （元）与月份 ，且 取整数)之间存 在如图的变化趋势. 9 （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函 数的有关知识，直接写出 与 之间的函数表达式，根据如图的变化 趋势，直接写出 与 之间满足的一次函数表达式. 【解】设 ，则 解得 ，且 取整数). 设 ，则 解得 ，且 取整数). 10 （2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其他成本30元，该配件在1月至9月的销售量 （万件）与月份 满足表达式 ，且 取整数)，10月至12月的销售量 （万件）与月份 满足表达式 ，且 取整数).求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润. 11 [答案] 设去年第 月的利润为 万元. 当 ，且 取整数时， ， 时， 万元. 当 ，且 取整数时， ， 时， 万元. 万元 万元， 月份利润最大，最大利润是450万元. 12 （3）今年1月至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元， 人力成本比去年增加 ，其他成本没有变化.该企业将每件配件的售 价在去年的基础上提高 ，与此同时每月销售量均在去年12月的基础 上减少 .在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1月至5月的 总利润1700万元的任务.请你参考以下数据，估算出 的整数值.(参考数 据： ， ， ， ， 13 去年12月的销售量为 （万件），今年的原材料 价格为： （元），今年的人力成本为： （元）， . 设 ，整理得 ，解得 . 更接近于9409， . ， 或 . ， 的整数解为10. 14 【思路分析】（1）运用描点法易知 与 之间成一次函数关系，把表格 （1）中任意2点的坐标代入直线的函数表达式可得 的函数表达式.把 代入直线的函数表达式可得 的函数表达式.（2）分情 况探讨得：当 时，利润 （售价-各种成本）；当 时，利润 （售价-各种成本）；并求得相应的最大利 润即可.（3）根据1月至5月的总利润1700万元得到函数表达式求值即可. 15 【方法归纳】 本题考查一次函数和二次函数的综合应用.根据二次函数的最值及相应的取值范围得到一定范围内的最大值是本题的易错点，利用估算求得相应的整数解是解决本题的难点. 16 探究活动 例 生产某商品 （吨）需费用 （元），出售该商 品 （吨）时的价格是每吨 （元）（其中 ， 是常数）.如果 生产出的商品都能卖掉，并且当产量是150吨时利润最大，这时的价格 是每吨40元，求 ， 的值． 【思路分析】 首先表示出利润 的函数表达式，然后再求二次函数的 最值． 17 【解】 设卖出 （吨）的利润是 （元）， 则 ． 又由题设知，当 时， 最大，因此 即 18 解得 ， ．当 时， ， 函数有最大 值． ， ． 【方法归纳】 这是一个关于商品的利润问题，解决此类问题的关键是函数建模，使之转变为函数问题，再利用一元二次函数在顶点处取最值的方法来求解． 20 学力训练 A组 夯实基础 1.二次函数 的最小值是( ) . B A. B.2 C. D.1 2.若 ，则 的最小值是( ) . B A. B. C.1 D.2 21 3.已知二次函数 ，当自变量 取 时，其相应的 函数值小于0，则下列结论中，正确的是( ) . B A. 的函数值小于0 B. 的函数值大于0 C. 的函数值等于0 D.无法判断 22 4.已知二次函数 的图象开口向上，并经过点 ， .下列结论中，正确的是( ) . D A.当 时，函数值 随 的增大而增大 B.当 时，函数值 随 的增大而减小 C.存在一个负数 ，使得当 时，函数值 随 的增大而减小； 当 时，函数值 随 的增大而增大 D.存在一个正数 ，使得当 时，函数值 随 的增大而减小； 当 时，函数值 随 的增大而增大 23 5.自由下落物体的下落高度 与下落时间 的关系为 .若 一铁球从离地面 高的建筑物顶部自由下落，则到达地面需要的时 间是___ . 2 24 6.体育公园的圆形喷水池的水柱如图1.如果曲线 表示落点 离点 最远的一条水流（如图2），其水珠的高度 关于水平距离 的 函数表达式为 ，那么圆形水池的半径至少为__ 时， 才能使喷出的水流不落在水池外. 图1 图2 <m></m> 25 （第7题） 7.如图， 是 的直径，点 在 上，且 ， 是 上的一个动点 ， 两点位于直 径 的两侧)，连结 ，过点 作 交 的延 长线于点 .若 的半径是 ，则线段 长度的最大 值是_ ____. <m></m> 26 8.在空中架设某种电缆时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线 的形状，现按操作要求，电缆的最低点离水平地面不得小于 . 图1 （1）如图1，若水平距离间隔 建造一个电缆塔柱，求 此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的 高度. [答案] ， . 固定电缆的位置离地面的高度至少应有 . 27 图2 （2）如图2，若在一个坡度为 的斜坡上，按水平距离间 隔 架设两固定电缆的位置离地面高度为 的塔柱， 则在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？ [答案] 如答图所示，以 为坐标原点， 方向为 轴正方 向建立平面直角坐标系. 设此时抛物线的函数表达式为 . 28 易知 ， ，代入函数表达式可求得 ， .易求得斜坡所在直线的函数表达式为 . 设一条与 轴垂直的直线 与抛物线交于点 ，与斜坡交于点 ， 则 ， 当 时， 的最小值为13.75.即在竖直方向上，下垂的电缆 与地面的最近距离为 . （第9题） 9.如图，在平面直角坐标系中，两个函数 ， 的图象交于点 .动点 从点 开始沿 方向以每秒1个单位的速度运 动，作 轴交直线 于点 ，以 为一 边向下作正方形 ，设它与 重叠部 分的面积为 . （1）求点 的坐标. [答案] . 30 （2）试求出点 在线段 上运动时， 与运动时间 的函数表达式. [答案] 点 坐标为 ，点 坐标为 , . 当 时， .当 时， . 31 （3）在（2）的条件下， 是否有最大值？若有，求出 为何值时， 有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由. [答案] 有最大值，最大值应在 中. ，当 时， 的最大值 为12. （4）若点 经过点 后继续按原方向、原速度运动，当正方形 与 重叠部分的面积达到最大时，运动时间 满足的条件是 _ __________. <m></m> 32 B组 瞄准中考 （第1题） 1.【天津】如图，在 中， ， ， 是 的两条中线，若 是 上一个动点，则下列 线段的长度等于 最小值的是( ) . B A. B. C. D. 33 （第2题） 2.【南通】如图，在矩形 中， ， ，点 ， ， ， 分别在矩形 各 边上，且 ， ，则四边形 周长的最小值为( ) . B A. B. C. D. 34 （第3题） 3.【宿迁】如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，从点 向点 移动，点 在边 上，从点 向点 移动. 若点 ， 均以 的速度同时出发，且当一点 C A. B. C. D. 移动到终点时，另一点也随之静止，连结 ，则线段 的最小值是 ( ) . 35 4.【嘉兴】已知二次函数 ，当 时， ，则下 列说法中正确的是( ) . B A.当 时， 有最小值 B.当 时， 有最大值 C.当 时， 无最小值 D.当 时， 有最大值 36 （第5题） 5.【新疆】如图，在边长为 的正方形 中， 点 ， ， ， 分别从点 ， ， ， 同时出发， 均以 的速度向点 ， ， ， 匀速运动，当 点 到达点 时，四个点同时停止运动.在运动过程中， 当运动时间为___ 时，四边形 的面积最小，其 最小值是____ . 3 18 37 （第6题） 6.【绵阳】将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如 图放置，点 在 边上， 绕点 旋转，腰 和底边 分别交 的两腰 ， 于 ， 两 点.若 ， ， ，则 的最小值为_____. <m></m> 38 [解析] ， ， ， . 和 是形状、大小完全相同的两个等腰三角 形， .由三角形的外角性质得 ， . 39 . . . 如答图所示，连结 ，过点 作 于点 . ， ， ， . . 在 中，由勾股定理得 . 当点 和点 重合时， 最大，即 最大 . 当 时， 最小，过点 作 于点 ，即 最小 . 根据 ，得 . ， 时， 有最小值为 . 图1 7.【日照】问题背景：如图1，点 ， 在直线 的同侧， 要在直线 上找一点 ，使 与 的距离之和最小， 我们可以作出点 关于 的对称点 ，连结 与直线 交于点 ，则点 即为所求． 43 图2 （1）实践运用：如图2，已知 的直径 为4，点 在 上， ， 为 的中点， 为直径 上一动点，求 的最小值． 44 图1 [答案] 作点 关于 的对称点 ，连结 交 于点 ， 此时 最小，且等于 ，如答图1所示．作直径 ，连结 ， ．根据垂径定理得 ． ， 为 中点， ， . . . 又 为圆的直径， ， . .即 的最小值是 ． 45 图3 （2）知识拓展：如图3，在 中， ， ， 的平分线交 于点 ， ， 分 别是线段 和 上的动点，求 的最小值，并 写出解答过程． 46 图2 [答案] 如答图2所示，在斜边 上截取 ，连 结 ，交 于点 ． 平分 ， ， 在 和 中， ， . 47 点 与点 关于直线 对称． 过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，连结 ，则线段 的长即为所求（点到直线的距离最短）. 在 中， ， ， . 的最小值为 ． 48 8.【永州】如图，已知抛物线 经过 ， 两点. （第8题） 49 （1）求该抛物线的函数表达式. [答案] 将点 ， 的坐标代入， 得 解得 抛物线的函数表达式为 . 50 （2）阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线 ， 为常数，且 ，直线 ， 为常数，且 ，若 ，则 . 解决问题： ①若直线 与直线 互相垂直，求 的值. [答案] 由直线 与直线 互相垂直，得 ， 即 . 51 ②抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. [答案] 直线 的函数表达式为 ， 当 时，直线 的函数表达式为 . 联立 与抛物线，得 52 解得 （舍去）或 即 . 当 时， 的函数表达式为 ， 联立 与抛物线，得 解得 （舍去）或 即 . 综上所述，存在 ， ，使得 是以 为直角边 的直角三角形. （3） 是抛物线上一动点，且在直线 的上方（不与点 ， 重 合），求点 到直线 的距离的最大值. [答案] 设 ，过点 作 于点 ，则 ， ， . 当 时， 取最大值 ，即 . 由勾股定理，得 , 设 到 的距离为 ，由三角形的面积，得 . 点 到 直线 的距离的最大值是 . 54 9.【广东】如图，在平面直角坐标系中， 为原点，四边形 是矩 形，点 ， 的坐标分别是 和 ， 是对角线 上一 动点（不与点 ， 重合），连结 ，作 ，交 轴于点 ， 以线段 ， 为邻边作矩形 . 图1 图2 55 （1）填空：点 的坐标为_ ________. <m></m> 56 （2）是否存在这样的点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请求 出 的长度；若不存在，请说明理由. [答案] 存在.理由如下：如答图1所示，连结 ，取 的中点 ，连 结 ， 图1 57 ， ， ， ， 四点共圆. ， ， ， 如答图1所示，当 在线段 上时， 是等腰三角形，观察图象 可知，只有 ， 图1 . . 是等边三角形. .在 中， ， ， 当 时， 是等腰三角形.②如答图2所示， 图2 当点 在 的延长线上时， 是等腰三角形，只有 ， ， . .综上所述，满足条件的 的值为2或 . （3）①求证： . [答案] 由（2）可知， ， ， ， 四点共圆， . 61 ②设 ，矩形 的面积为 ，求 关于 的函数表达式（可 利用①的结论），并求出 的最小值. 图2 [答案] 如答图2所示，作 于点 .在 中， ， ， ， .在 中， . 62 . 矩形 的 面积为 . ， 时， 有最小值 . C组 冲击金牌 1.如果抛物线 与 轴的交点为 ， ，顶点 为 ，那么 的面积的最小值是( ) . A A.1 B.2 C.3 D.4 64 [解析] , 点 的纵坐标是 , . , 当 时， 的最小值为4. 的最小值为 .故选A. 65 （第2题） 2.如图，线段 为 的直径，点 在 的延长 线上， ， ， 是 上一动点.若 连结 ，以 为斜边在 的上方作 ， 且使 ，连结 ，则 长的最大值 为_ ________. <m></m> 66 [解析] 如答图所示，作 ，使得 ， ，则 ， ， . ， ， . ，即 （定长） 点 是定点， 是定长， 点 在半径为1的 上. ， 的最大值为 . 67 3.对于 的二次三项式 ，请回答下列问题： （1）当 时，求函数 的最大值. [答案] ， ， . 故 的最小值为0. 的最大值为 . 68 （2）若不论 为任何实数，直线 与抛物线 有且只有一个公共点，求 ， ， 的值． [答案] 欲使直线 与抛物线 只有一 个交点，则方程组 只有一组解，消去 得到关于 的二次方程 . 69 ，整理得关于 的二次方程 ． 又 此方程对任意实数 都成立，故 即 70 $$