2023年安徽省芜湖一中自主招生考试数学试题

1 2023 年高一自主招生考试 数 学 试 卷 （满分：150 分） 一、选择题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填 在答题卡答题栏中） 1. 将 4046 减去它的 1 2 ，再减去余下的 1 3 ，再减去余下的 1 4 ，再减去余下的 1 5 ，…，依次类 推，直至最后减去余下的 1 2023 ，则最后余下的数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2. 若正实数 , ,a b c满足不等式组 6 4 , 5 3 7 , 6 11 2 , 4 c a b c a b c a b c a b   +     +     +   则 , ,a b c 的大小关系为（ ）. A. b a c  B.b c a  C. c b a  D. c a b  3. 若实数 ba, 满足等式 2 1 22222 2 +−−=−− babba ，则 =ba （ ）. A. 4 1 B. 2 2 C. 2 D. 4 4.在 Rt ABC 中， 90 , 2, 3 3ABC AB BC = = = ，点D 是平面内一动点，且 30ADB = ， 连CD，则CD长的最大值是（ ）. A. 8 B.9 C.10 D.11 5. 已知三个实数 1 2 3, ,x x x ，它们中的任何一个数加上其余两数积的 6 倍总等于 7，则这样的 三元数组 ( )1 2 3, ,x x x 共有（ ）组. A. 3 B.4 C.5 D.6 6. 如图，在 ABCRt 中， 5 4 sin,90 == BBAC  ，点 D 是边 BC的中点，以 AD 为底边在 2 座位号： 其右侧作等腰 ADE ，使 BADE = ，连CE，则 = BC CE （ ）. A. 5 6 B. 6 5 C. 8 5 D. 12 5 （第 6 题图） 7. 四边形 ABCD中， BDAC, 是其两对角线， ABC 是等边三角形， 6=AD ， 10=BD ， 8=CD ，则 =ADC （ ）. A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 二、填空题（本大题共 7小题，每小题 7分，共 49分） 8. 已知 19 个连续整数的和为 380，则紧接在这 19 个数后面的 21 个连续偶数的和是 _______________. 9. 已知 5 57 4 x − + = ，则 ( ) ( ) ( ) ( )2 1 +1 2 3 2x x x x+ + + = _________________. 10. 在实数范围内因式分解： 2 2 22 3 4a b c ab bc ca− + − + + =________________________. 11. 在平面直角坐标系 xOy中，点 ( ) ( )4,0 , 4,4 3A B ，连 ,OB AB ，若线段 ,OB AB 分别交 曲线 ( )0, 0 k y k x x =   于点 ,D E（异于点B ），若DE OB⊥ ，则k 的值为______________. 12.把两个半径为 8 和一个半径为 9 的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个 圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_____________. 13.在菱形 ABCD中， 60A = ，点 ,E F 分别在边 ,AD AB上，将 AEF 沿着EF 对折， 使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G ，若 4, 6DG BG= = ，则 AEF 的面积等于 ___________. 3 14. 对于任意不为 0的实数 , ,a b c定义一种新运算“#”：① # 1a a = ；② ( ) ( )# # = #a b c a b c ， 则关于 x 的方程 ( )2 #2 4x x= + 的根为______________. 三、解答题（本大题共 4小题，共 59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤） 15. （本题 13 分）（1）解方程： ( ) 1516434 222 −++−+= xxxxx ； （2）求所有的实数a ，使得关于 x 的方程 ( ) 034122 =−+−− axax 的两根均为整数. 16.（本题 12 分）如图，点E 是正方形 ABCD的边CD上一动点（异于 ,C D ），连 BE ，以 BE 为对角线作正方形BGEF ， EF 与BD 交于点 H ，连 AF . （1）求证： , ,A F C三点共线； （2） 若 : 1: 2CE DE = ，求 DH BH 的值. （第 16 题图） 4 17.（本题 17 分）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 ( )21 : 0C y ax bx c a= + +  经过点 ( )0, 3− 和 ( )4, 11− ，且在 x 轴上截得的线段长为4 3 . （1）求抛物线 1C 的解析式； （2）已知点 A 在抛物线 1C 上，且在其对称轴右侧，点B 在抛物线 1C 的对称轴上，若 OAB 是 以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标； （3）将抛物线 1C 向左平行移动 3 个单位得到抛物线 2C ，直线 ( )0y kx k=  与 2C 交于 ,E F 两 点，直线 2 y x k = − 与 2C 交于 ,G H 两点，若 ,M N 分别为线段EF 和线段GH 的中点，连MN ， 求证：直线MN 过定点. 18.（本题 17 分）如图，等边 ABC 内有一动点D ， CDE 是等边三角形（点 ,B E 在直线 AC 两侧），直线BD 与直线 AE 交于点F . （1）判断 AFC 的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由. （2）若 5, 3AB CD= = ，求线段 AF 长的最小值. （第 18 题图）