精品解析：吉林省通化市梅河口市博文学校2024-2025学年高二上学期第二次考试数学试题

2024-2025学年第一学期第二次考试 高二数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求） 1. “”是“直线和直线不重合而平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行的位置关系可列出系数满足的关系式，从而求解进行判断即可. 【详解】当时，直线和直线是不重合而平行关系，即满足充分性， 当直线和直线不重合而平行时， 有，解得，故满足必要性， 故选：C. 2. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据空间向量线性坐标公式求解，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A 3. 已知ab＜0，bc＞0，则直线ax＋by＋c＝0通过（ ）象限 A. 第一、二、三 B. 第一、二、四 C. 第一、三、四 D. 第二、三、四 【答案】C 【解析】 【分析】 将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及轴上的截距的正负判断直线经过的象限. 【详解】等价于， 根据题意，故直线必经过第一、三象限； 又因为，故直线必经过第三、四象限， 故直线必经过第一、三、四象限. 故选：C. 【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定. 4. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角. 【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 5. 已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围 【详解】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 6. 已知直线，平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质和平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为直线，平行，所以有， 因此两平行线间的距离为：， 故选：B 7. 已知点P(2,2)，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点P到圆上动点的距离转到到圆心的距离，再加减半径即可得到最值. 【详解】如图，圆心O1(0，1)，半径，圆心O2(2，0)，半径，则的最大值为2， 的最小值为， 则的最大值为， 故选D. 【点睛】本题考查了点到圆上动点的距离问题，考查了点点距公式，考查了数形结合思想，属于基础题. 8. 若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（ ） A. 9 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合直线被圆所截的弦长，求出和的关系，再根据均值不等式，即可求解. 【详解】由题意得圆的标准方程为，且圆心为，半径为. ∵直线被圆截得的弦长为4，∴圆心在直线上，∴，即. 又，，∴， 当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值是9. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先根据圆的方程求出圆心坐标和半径大小，然后根据条件判断圆心到直线的距离条件，列出不等式，求出的取值范围，得出答案选项. 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆心，半径. 若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 圆心到直线的距离等于. 即，解得. 显然0和1在该区间内. 故选：AB. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若向量，，，则共面 B. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 若向量，，则在上的投影向量为 D. 已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量的共面定理判断选项A；根据向量与平行的关系判断选项B；利用投影向量的定义求解选项C；利用法向量判断两平面的平行关系确定选项D. 【详解】对A观察可知，，所以共面，A正确； 对B，，所以或，B错误； 对C，因为，， 所以， 所以在上的投影向量为，C错误； 对D，因为，即共线，所以，D正确； 故选:AD. 11. 已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与曲线恰有三条公切线，则 D. 当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：整理得，根据直线恒过定点求解；对B：求出圆心到直线的距离判断，由此判断有四个点满足条件；对C：根据两圆外切求得；对D：设，写出以为直径的圆，两圆相减得公共弦的方程可证得恒过定点. 【详解】对于，整理得， 所以解得所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线为， 则圆心到直线的距离，而圆的半径为2， 所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故B错误； 对于C，曲线整理得， 当时，曲线是圆心为，半径为的圆， 圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以，故C正确； 对于D，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为， 即 圆两圆的公共弦的方程为， 整理得解得 直线经过点.故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用待定系数法求解圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 由圆经过三点，得，解得， 所以圆的方程为. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法： (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由，平方转化为向量的数量积运算． 【详解】由已知，，,， 所以 ， 所以, 故答案为： 14. 两圆与的公共弦所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】要求公共弦所在直线的方程只需要将相交两圆的方程相减即可求出结果. 【详解】，即①，② ①②可得，两圆公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了求公共弦所在直线的方程，解题方法是将相交两圆的方程相减求得结果，需要掌握解题方法，较为基础. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知直线和直线 ,分别求满足下列条件的的值. (1) 直线过点,并且直线和垂直； (2) 直线和平行, 且直线 在轴上的截距为 -3． 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【详解】试题分析：(1)由直线过点，可将点的坐标代入直线方程得到的关系式，由垂直可得到两直线方程系数的关系，即的关系式，解方程组可求得的值； (2)由平行可得到系数满足，由的截距可得到，解方程组可求得的值. (1)由已知得,解得； (2)由已知得，解得． 16. 已知圆，直线. （1）判定直线l与圆C的位置关系，并说明理由； （2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程. 【答案】（1）直线l与圆C相交；理由如下： ∵直线经过定点， 点D到圆心的距离等于1小于圆的半径， 故定点在圆的内部，故直线l与圆C相交. （2）. 【解析】 【分析】（1）易知直线经过定点，而点在圆C内部，即可得证； （2）根据题意设中点M的坐标为，由直线和圆相交的性质可得，在中， 由勾股定理得，带入坐标即可得解. 【详解】（1）直线l与圆C相交，理由略； （2）设中点M的坐标为，则由直线和圆相交的性质可得. 由于定点、圆心C、点M构成直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ，即. 此圆在圆的内部， 故点M的轨迹方程为：. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线过定点问题，同时考查了求轨迹方程，有一定的计算量，属于中档题. 本题涉及的题型和方法有： （1）直线过定点，直线过定点是常考题型，在给出含参直线方程时要注意直线有过定点的可能； （2）直接法求轨迹方程，这类问题的方法是：利用所给条件直接列方程，整理即为所求. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）平面平面，且两平面交于，又， 平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形边角关系可证明相似，即可得,即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得，，， 即，. 设平面的法向量为，则， 解得. 平面的法向量为. 设二面角为，所以， 则. 18. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； （2）点C关于直线AB对称点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求； （2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案. （3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积. 【小问1详解】 设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. 【小问2详解】 直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. 【小问3详解】 ， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 19. 已知为圆上任一点，且点． （1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率； （2）求的最大值和最小值； （3）若，求的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由点在圆上，可得，即得到，进而求出所以线段的长及直线的斜率；（2）由题意可得圆的圆心坐标为，半径，可得，最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减半径；（3）可知表示直线的斜率，设直线的斜率为，即直线的方程为，根据直线与圆的位置关系可得答案. 试题解析：（1）将代入，圆，得，所以，，． （2）圆，圆心，，∵，∴，∴最小值为，最大值为． （3）由题意知，即，分析可得表示该圆上的任意一点与相连所得直线的斜率，设该直线斜率为，则其方程为，又由，得，即．所以的最小值为，最大值为． 点睛：本题主要考查了与圆相关的最值问题，常见的有：1、斜率型最值问题，类似于，其表示点和之间的斜率，根据图形求其范围；2、距离型，定点到圆上点距离的最大、最小值，最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减半径；3、截距型最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第二次考试 高二数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求） 1. “”是“直线和直线不重合而平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知ab＜0，bc＞0，则直线ax＋by＋c＝0通过（ ）象限 A. 第一、二、三 B. 第一、二、四 C. 第一、三、四 D. 第二、三、四 4. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知点P(2,2)，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是 A. B. C. D. 8. 若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（ ） A. 9 B. 4 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若向量，，，则共面 B. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 若向量，，则在上的投影向量为 D. 已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则 11. 已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与曲线恰有三条公切线，则 D. 当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为__________． 13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为____________. 14. 两圆与的公共弦所在直线的方程为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知直线和直线 ,分别求满足下列条件的的值. (1) 直线过点,并且直线和垂直； (2) 直线和平行, 且直线 在轴上的截距为 -3． 16. 已知圆，直线. （1）判定直线l与圆C的位置关系，并说明理由； （2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 18. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； （2）点C关于直线AB对称点的坐标； （3）求的面积． 19. 已知为圆上任一点，且点． （1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率； （2）求的最大值和最小值； （3）若，求的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $