9.3—9.5 旋转 中心对称 图形的全等 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

9.3—9.5 旋转 中心对称 图形的全等 一、旋转 旋转对称图形的定义：一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形，这个定点就是旋转中心。 旋转对称图形的性质：旋转对称图形旋转的角度小于周角，且旋转后的图形形状和大小保持不变。 二、中心对称 中心对称的概念：如果一个图形关于某一点对称，即每一点关于该点的对称点都在图形上，则称该图形为中心对称图形，该点为中心对称点。 中心对称的性质：中心对称图形上的任意一点与对称中心的距离相等，且连线经过对称中心；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等。 三、图形的全等 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。全等用符号“≌”表示。 全等变换：轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换。图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有改变。 全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等。 判定多边形或三角形全等的方法：如果两个多边形或三角形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形或三角形全等。 巩固课内例1:旋转中心、旋转角 1．如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 2．如图所示，按顺时针方向转动一个角度后为，则旋转中心是 ， ． 3．如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 巩固课内例2:顺、逆时针旋转 1．如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 2．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 3．如下图，在的正方形网格中，三角形②和三角形③是由三角形①以点P为旋转中心逆时针依次旋转一定的角度后所得到的图形，请按下列要求作图． (1)在图中标出旋转中心点P的位置； (2)在图中作出再次逆时针旋转相同角度后的三角形④． 巩固课内例3:旋转的特征 1．一副三角尺按图所示方式摆放，，固定，将绕点顺时针旋转，角的度数变大的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，则 ． 3．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形． (1)将先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到； (2)将绕格点O顺时针旋转，得到． 巩固课内例4:旋转对称图形 1．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（    ） A． B． C． D． 2．一个正方形要绕它的中心至少旋转 ，才能与原来的图形重合． 3．如图所示的网格中有四个三角形． (1)请你把图补充成旋转对称图形； (2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数，这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合？ 巩固课内例5:中心对称图形 1．近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列四款图案为新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，这个图形可以是 （写出一个）． 3．在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 巩固课内例6:成中心对称 1．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列关于中心对称的结论：如果两个图形关于某点成中心对称，那么这两个图形一定可以重合；如果两个图形关于某点成中心对称，那么对应点的连线必被该点平分；如果两个图形的对应点的连线都经过某点，那么这两个图形关于该点对称；如果两个图形可以重合，那么这两个图形关于某点成中心对称．其中，正确的是 ．（填序号） 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，请画出． (2)画出关于点对称的（点，，的对称点分别为点，，）． (3)与是否成中心对称？若是，画出对称中心点的位置． 巩固课内例7:全等图形 1．下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 2．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 ． （2）试找出图中的全等图形： ． 3．如图，与成轴对称（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作出与的对称轴； (2)在网格中作出以为边且与全等（不与重合）的； (3)若每一个小正方形的边长都为，则_______． 巩固课内例8:全等的性质 1．如图，，，若，，，则等于（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．如图，已知，，，则的长度为 ． 3．如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 类型一、生活中的旋转现象 1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 2．运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ． 3．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程． 类型二、旋转的性质求边与角 1．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，若，，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出； (3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数． 类型三、中心对称的性质求边与角 1．若线段与线段（与不在同一直线上）关于点O中心对称，则和的关系是（　　） A． B． C．平行且等于 D．不确定 2．如图，与关于点C成中心对称，则线段 ． 3．如图，与关于点O成中心对称，若，，求的长度和的度数． 类型一、设计旋转图案 1．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 2．如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 3．格点和直线在正方形网格中的位置如图所示．和关于直线对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． (1)分别画出． (2)下列说法中，所有正确的序号是__________． ①绕某点旋转一定的角度可得到； ②绕某点旋转一定的角度可得到； ③与关于某条直线对称． 类型二、设计中心对称图案 1．如图，在方格纸上选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是 ．    3．阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 类型一、网格中的全等 1．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 类型二、全等分割图形 1．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是 ．    3．试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 1．下列现象中： ①汽车方向盘转动；②物体随传送带水平移动；③电梯升降运动；④钟摆运动．属于平移的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，是由等边三角形绕点B按逆时针方向旋转得到的． （1）点A、B、C的对应点分别是点 ； （2）线段、、的对应线段分别是线段 ． 5．在下列字形的数字中，是中心对称图形的有 ． 6．如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 7．如图，将以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到，过点D作，交的延长线于点F．试问：与相等吗？为什么？    8．已知的顶点A、B、C在格点上， (1)画出关于直线l对称的； (2)画出关于点O成中心对称的； (3)在对称轴上找到一点，使最短． 9．已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 10．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3—9.5 旋转 中心对称 图形的全等 一、旋转 旋转对称图形的定义：一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形，这个定点就是旋转中心。 旋转对称图形的性质：旋转对称图形旋转的角度小于周角，且旋转后的图形形状和大小保持不变。 二、中心对称 中心对称的概念：如果一个图形关于某一点对称，即每一点关于该点的对称点都在图形上，则称该图形为中心对称图形，该点为中心对称点。 中心对称的性质：中心对称图形上的任意一点与对称中心的距离相等，且连线经过对称中心；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等。 三、图形的全等 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。全等用符号“≌”表示。 全等变换：轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换。图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有改变。 全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等。 判定多边形或三角形全等的方法：如果两个多边形或三角形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形或三角形全等。 巩固课内例1:旋转中心、旋转角 1．如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，连接，线段的中垂线的交点即为旋转中心，进行判断即可． 【详解】解：如图， 旋转中心的位置可以为点； 故选：B． 2．如图所示，按顺时针方向转动一个角度后为，则旋转中心是 ， ． 【答案】 点C /50度 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；因此此题可根据旋转的性质进行求解． 【详解】解：由图可知：旋转中心是点C，旋转角度是，故； 故答案为点C；． 3．如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 【答案】(1)能 (2)3；点，点，线段的中点 【分析】本题考查了旋转的相关知识，熟知旋转的概念和旋转中心的概念是解题的关键． （1）由于两个正方形边长相等，则两个正方形是全等图形，故能通过旋转使得两个图形重合； （2）绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度或或绕的中点顺时针旋转都能使正方形与正方形重合，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的边长相等， ∴正方形和正方形是全等图形， ∴正方形旋转后能与正方形重合； （2）观察图形，可知四边形绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度就能与正方形重合，或绕的中点顺时针旋转也能与正方形重合， ∴平面上可以作为旋转中心的点共有三个， 即点A、点B和线段的中点． 巩固课内例2:顺、逆时针旋转 1．如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，， 故选；A． 2．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 3．如下图，在的正方形网格中，三角形②和三角形③是由三角形①以点P为旋转中心逆时针依次旋转一定的角度后所得到的图形，请按下列要求作图． (1)在图中标出旋转中心点P的位置； (2)在图中作出再次逆时针旋转相同角度后的三角形④． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转变换作图，旋转的性质，解题的关键是： （1）根据旋转的性质并结合网格的特征，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心， （2）根据旋转的性质并结合网格的特征，找出各对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：旋转中心点P的位置如图所示， （2）解∶ 三角形④如图所示． 巩固课内例3:旋转的特征 1．一副三角尺按图所示方式摆放，，固定，将绕点顺时针旋转，角的度数变大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，根据，固定，将绕点顺时针旋转，故是变大的，、、都是变小的，即可作答． 【详解】解：∵，固定，将绕点顺时针旋转， ∴结合图形，得是变大的，、、都是变小的， 故选：A． 2．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，再由计算即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， 故答案为：35． 3．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形． (1)将先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到； (2)将绕格点O顺时针旋转，得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照几何变换确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到几何变换后的图形． （1）依据平移的方向和距离，即可得到； （2）依据旋转方向，旋转角度以及旋转中心，即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 巩固课内例4:旋转对称图形 1．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故旋转角的最小值为． 故选：B 2．一个正方形要绕它的中心至少旋转 ，才能与原来的图形重合． 【答案】90 【分析】本题考查了旋转角的定义及求法，解题关键是利用正方形对称轴数量，结合旋转一周的度数，求出使图形重合的最小旋转角度。 正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答即可． 【详解】解：∵正方形绕中心旋转时，由于其具有4条对称轴，绕中心旋转一周是，且旋转后能与自身重合的角度间隔是相等的． ∴， ∴正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：90． 3．如图所示的网格中有四个三角形． (1)请你把图补充成旋转对称图形； (2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数，这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合？ 【答案】(1)见详解 (2)4条对称轴，这个整体图形至少旋转90度才能与自身重合 【分析】本题考查了轴对称图形，作轴对称图形，数掌握知识点是解题的关键． （1）根据轴对称图形的作法即可完成解答； （2）根据轴对称图形的性质和旋转对称图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：补充成旋转对称图形如下： （2）解：整体图形对称轴的条数为4条；这个整体图形至少旋转90度后才能与自身重合． 巩固课内例5:中心对称图形 1．近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列四款图案为新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可．轴对称图形的关键是找对称轴，中心对称图形的关键是找对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； 故选D． 2．一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，这个图形可以是 （写出一个）． 【答案】圆（答案不唯一） 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行解答即可．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：圆既是轴对称图形又是中心对称图形； 故答案为：圆（答案不唯一）． 3．在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 【答案】(1)②④⑥ (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． （1）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此求解即可； （2）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此设计图案即可． 【详解】（1）解：由中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形； （2）解：如图所示，即为所求； 巩固课内例6:成中心对称 1．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成轴对称图形和成中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念，并加以区分． 利用成轴对称图形和成中心对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； B. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； C. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； D. 选项图形是成轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2．有下列关于中心对称的结论：如果两个图形关于某点成中心对称，那么这两个图形一定可以重合；如果两个图形关于某点成中心对称，那么对应点的连线必被该点平分；如果两个图形的对应点的连线都经过某点，那么这两个图形关于该点对称；如果两个图形可以重合，那么这两个图形关于某点成中心对称．其中，正确的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，解题的关键是正确理解中心对称的定义为：把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质为：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等． 根据中心对称及性质逐一判断即可． 【详解】解：如果两个图形关于某点成中心对称，那么这两个图形一定可以重合，说法正确； 如果两个图形关于某点成中心对称，那么对应点的连线必被该点平分，说法正确； 如果两个图形的对应点的连线都经过某点，那么这两个图形不一定关于该点对称，说法错误； 如果两个图形可以重合，那么这两个图形不一定关于某点成中心对称，说法错误； 故答案为：， 故答案为：． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，请画出． (2)画出关于点对称的（点，，的对称点分别为点，，）． (3)与是否成中心对称？若是，画出对称中心点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，画图见解析 【分析】本题主要考查了平移变换及中心对称变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得出答案； （2）利用中心对称的性质得出对应点的位置，进而得出答案； （3）根据对称点连线交于一点即可判断否成中心对称并得到对称中心的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：与成中心对称， 点的位置如图所示 巩固课内例7:全等图形 1．下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 【答案】A 【分析】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A．是全等形，故此选项符合题意； B．不是全等形，故此选项不符合题意； C．不是全等形，故此选项不合题意； D．不是全等形，故此选项不合题意． 故选：A． 2．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 ． （2）试找出图中的全等图形： ． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 3．如图，与成轴对称（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作出与的对称轴； (2)在网格中作出以为边且与全等（不与重合）的； (3)若每一个小正方形的边长都为，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、割补法 求面积的方法、利用判定三角形全等的方法是解题关键． （1）连接，作出的垂直平分线即可； （2）分别作出以为公共边，且与其它两边、对应相等的三角形即可； （3）利用“割补法 ”即可求得的面积． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， 故答案为：． 巩固课内例8:全等的性质 1．如图，，，若，，，则等于（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．如图，已知，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质及其应用．根据全等三角形的性质，，再由线段和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据得出,根据，问题得证； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：， ，即， ； （2）， ， ， ， 平分， ， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 类型一、生活中的旋转现象 1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 【答案】C 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 故选：C． 2．运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ． 【答案】直升机螺旋桨的转动 【分析】根据旋转和平移的定义可得答案． 【详解】解：冰壶滑行到终点属于旋转加平移；直升机螺旋桨的转动属于旋转；气球冉冉升起属于平移；钢架雪车加速前进属于平移， 故答案为：直升机螺旋桨的转动． 【点睛】本题考查了生活中常见的旋转和平移现象，熟知旋转和平移的定义是解题的关键． 3．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换． 先把基本图形向左平移，再利用轴对称变换得到，然后把旋转即可得到题中图形． 【详解】 解：先把图案先向左平移得到，再利用轴对称变换得到，然后利用旋转变换得到 类型二、旋转的性质求边与角 1．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，若，，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转性质，根据旋转图形的对应边是相等的，进行作答即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E， ∴， 故选：． 2．如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为 ． 【答案】/34度 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的旋转得到，因为，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ，， ， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出； (3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)旋转中心的坐标为，旋转角的度数为 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则可由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P， 则可由绕点P逆时针旋转得到， ∴旋转中心的坐标为，旋转角的度数为． 类型三、中心对称的性质求边与角 1．若线段与线段（与不在同一直线上）关于点O中心对称，则和的关系是（　　） A． B． C．平行且等于 D．不确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称的性质，根据线段AB、CD关于点O成中心对称，再根据中心对称的性质得出对应边之间的关系即可． 【详解】解：∵线段、关于点O成中心对称， ∴线段、的关系是：平行且相等． 故选：C． 2．如图，与关于点C成中心对称，则线段 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了中心对称的定义，根据中心对称的定义即对应边相等可求解， 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴ ∴ 故答案为： ． 3．如图，与关于点O成中心对称，若，，求的长度和的度数． 【答案】2，． 【分析】本题主要考查了中心对称的性质．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴，． 类型一、设计旋转图案 1．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 2．如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键． 【详解】解：由图可知，线段可以看成是线段先绕点C逆时针旋转，再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1． 3．格点和直线在正方形网格中的位置如图所示．和关于直线对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． (1)分别画出． (2)下列说法中，所有正确的序号是__________． ①绕某点旋转一定的角度可得到； ②绕某点旋转一定的角度可得到； ③与关于某条直线对称． 【答案】(1)画图见解析 (2)①③ 【分析】（1）分别确定关于直线对称的对称点；分别确定向左平移8个单位，再向下平移2个单位的对应点，分别确定绕着点按逆时针方向旋转后的对应点，再顺次连接即可． （2）①画出，的垂直平分线，得到交点，再进一步验证可得①符合题意； ②如图，画，，的垂直平分线，三条垂直平分线不相交于同一点，可得②不符合题意； ③画出两个三角形关于某条直线对称时的对称轴即可得③符合题意； 【详解】（1）解：如图，，，即为所求作的三角形； ； （2）解：如图，画，的垂直平分线，得到交点，连接； ∴绕点旋转一定的角度可得到，故①符合题意； 如图，画，，的垂直平分线，三条垂直平分线不相交于同一点， ∴绕某点旋转一定的角度可得到说法错误； 如图，作出对称轴如下： ∴与关于直线对称，故③符合题意． 故答案为：①③ 【点睛】本题考查的是画轴对称图形，旋转图形，平移图形，确定对称轴，旋转中心，熟练的利用平移，旋转，轴对称的性质画图是关键． 类型二、设计中心对称图案 1．如图，在方格纸上选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，一个图形绕端点旋转所形成的图形叫中心对称图形进行分析判断即可． 【详解】解：把②涂黑，可使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形， 故选：B． 2．如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是 ．    【答案】② 【分析】根据中心对称图形的定义求解即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 3．阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的设计，熟练掌握周对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义，设计图形即可； （2）根据轴对称图形的定义，设计图形即可； （3）根据中心对称图形的定义，设计图形即可． 【详解】（1）解：由题意，设计图形如下： （2）由题意，设计图形如下： （3）由题意，设计图形如下： 类型一、网格中的全等 1．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 2．在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 类型二、全等分割图形 1．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是 ．    【答案】或（为整数） 【分析】本题考查了旋转的性质、全等图形的性质，根据全等图形的性质求出旋转角度是解题的关键．对图形的部分顶点命名，再由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形，得出，分2种情况：①梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；②梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；分别求出旋转角度即可解答． 【详解】解：如图，    由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形， ，， 又， ， 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是或（为整数）． 故答案为：或（为整数）． 3．试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 【答案】见解析（第一个图答案不唯一） 【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：第一个图形分割有如下几种： 第二个图形的分割如下： 【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点． 1．下列现象中： ①汽车方向盘转动；②物体随传送带水平移动；③电梯升降运动；④钟摆运动．属于平移的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：①汽车方向盘转动，是旋转运动； ②物体随传送带水平移动，是平移运动； ③电梯升降运动，是平移运动； ④钟摆运动，是旋转运动； ∴属于平移的有2个， 故选：B． 2．2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】 A. 不是中心对称图形； B. 不是中心对称图形； C. 是中心对称图形； D. 不是中心对称图形 故选：C 3．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积等于， 故选：B． 4．如图，是由等边三角形绕点B按逆时针方向旋转得到的． （1）点A、B、C的对应点分别是点 ； （2）线段、、的对应线段分别是线段 ． 【答案】 D，B，E 、、 【分析】本题考查旋转的性质． （1）根据旋转的性质即可解答； （2）根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵是由等边三角形绕点B按逆时针方向旋转得到的， ∴点A、B、C的对应点分别是点D、B、E， 故答案为：D，B，E； （2）由旋转的性质可得线段、、的对应线段分别是线段、、， 故答案为：、、． 5．在下列字形的数字中，是中心对称图形的有 ． 【答案】1，2，5，8，0 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：中心对称图形的有1，2，5，8，0． 故答案为：1，2，5，8，0． 6．如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质、与三角形中线有关的面积的计算，由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，将以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到，过点D作，交的延长线于点F．试问：与相等吗？为什么？    【答案】与相等，理由见解析 【分析】旋转得到，由，得到，进而即可得证． 【详解】解：与相等．                     理由如下： ∵将以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质．解题的关键是掌握旋转前后的图形全等，对应角相等． 8．已知的顶点A、B、C在格点上， (1)画出关于直线l对称的； (2)画出关于点O成中心对称的； (3)在对称轴上找到一点，使最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，画中心对称图形，轴对称最短路径问题，熟知画轴对称图形和画中心对称图形的方法是解题的关键． （1）轴对称图形对应点的连线与对称轴垂直，且对应点到对称轴的距离相等，据此作图即可； （2）连接并延长到，使得，同理作出，再顺次连接即可； （3）连接交直线l于P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：连接交直线l于P，则点P即为所求． 9．已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 【答案】(1)90， (2)①；② 【分析】（1）根据旋转以及平移的性质即可作答； （2）①根据平移的性质得出，可得，即可作答； ②先得出是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质得出，最后根据四边形的面积代入计算即可． 【详解】（1）解：如图，   绕点B逆时针旋转度，再向右平移的距离，可得， 故答案为：，． （2）解：①∵，周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， 即 ∴， ∴四边形的面积 ， 【点睛】本题主要考查了旋转和平移的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及完全平方公式的应用等知识，掌握这些性质是解题的关键． 10．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或或或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$