2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末复习模拟训练试卷　

2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末复习模拟训练试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题恰有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2. 下列事件中是必然发生的事件是（　 　） A．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数； B．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖； C．掷一枚硬币，正面朝上    ； D．任意画一个三角形，其内角和是180°    ． 3. 若分式的值为0，则x的值为（    ） A． B． C．0 D．2 4. 下列计算正确的是（　　 ） A. B. C. D. 5. 在下列式子中，可以取2和3的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 7．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，则： ①； ②图中共有6对全等三角形； ③若，，则； ④； 其中正确的结论有（　 　） A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 8． 如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像 交于和两点，与x轴交于点C，下列说法： ①反比例函数的关系式； ②根据图像，当时，x的取值范围为或； ③若点P在x轴上，且，点P的坐标． 其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 9. 比较大小：________ （填“＞”或“＜”＝）． 10. 已知，那么的值是 ． 11. 点，是反比例函数的图象上两点， 若，则、的大小关系是 ． 12.如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上， 则点D的坐标为 ．    13. 如图，某校根据学生上学方式进行了一次抽样调查，绘制出了一个未完成的扇形统计图， 若该校骑车的学生有350人，则步行的学生有 人． 14. 如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形， 则原四边形ABCD需满足的条件是_______．（只需写出一个符合要求的条件） 15. 如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是， 则的长为 16．已知关于x的方程有增根，则m的值是 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上， 反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F． 若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 ． 18. 如图，在菱形中，，，、分别为，上的两个动点， ，，分别交于点，．下列结论： ①；②；③；④的最小值为． 其中正确的结论是 ．（请填写正确的序号）    三、解答题（本大题共有10个小题，满分共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．计算： (1) (2) 20．解分式方程： (1)； (2)． 21. 先化简：．再从，，中选一个你认为合适的数作为的值代入求值． 22． 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， 的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； (2)作出与与关于原点成中心对称的； (3)通过旋转可以得到，则旋转中心P的坐标为___________． 23． 《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表， 被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况， 就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校名学生中进行了抽样调查， 根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题： (1)求本次调查的学生的人数； (2)求扇形统计图中3部所在扇形的圆心角的度数； (3)请将条形统计图补充完整； (4)试估算全校大约有多少学生读完了2部以上（含2部）名著． 24． 某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果， 但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． (1) 该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2) 若超市将这批干果按每千克8元的价格全部出售，超市销售这种干果共盈利多少元？ 25. 像，这样的根式叫做复合二次根式． 有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 26. 如图，在矩形中，点在边上，， （1） 请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：在的延长线上求作点，使， 连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①求证：平分； ②求线段的长． 27.如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； (3)如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限， 双曲线交于点E，连接， 求的面积． 28. 【模型建立】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，，求证：； 【模型应用】 （2） 如图2， 在正方形中，E为上一点，在上取点F，使， 过点F作，与相交于点G，求出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3） 如图3，在矩形中，，E为上一点，在上取点F，使， 过点F作，与相交于点G．若，求的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末复习模拟训练试卷解答 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题恰有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、这个图形即是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项是正确的； C、这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故该选项是错误的； D、这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故该选项是错误的； 故选：B． 2. 下列事件中是必然发生的事件是（　 　） A．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数； B．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖； C．掷一枚硬币，正面朝上    ； D．任意画一个三角形，其内角和是180°    ． 【答案】D 【分析】直接利用随机事件以及概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解:A、投掷一枚质地均匀的骰子,掷得的点数是奇数,是随机事件,不合题意; B、某种彩票中奖率是1%,则买这种彩票100张有可能会中奖,不合题意; C、掷一枚硬币,正面朝上,是随机事件,不合题意; D、任意画一个三角形,其内角和是180°,是必然事件,符合题意． 故选D． 3. 若分式的值为0，则x的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件以及分式为零的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 当时， ∴即． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B． 和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； C．，计算错误，不符合题意； D．，计算错误，不符合题意， 故选：A． 5. 在下列式子中，可以取2和3的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，依次判断即可． 【详解】A.要使有意义，则，即， ∴可以取2和3，故本选项符合题意； B. 要使有意义，则，即， ∴可以取3，但不可以取2，故本选项不符合题意； C. 要使有意义，则，即， ∴可以取3，但不可以取2，故本选项不符合题意； D. 要使有意义，则，即， ∴可以取2，但不可以取3，故本选项不符合题意． 故选：A． 6. 若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足 解得： 故选：D． 7．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，则： ①； ②图中共有6对全等三角形； ③若，，则； ④； 其中正确的结论有（　 　） A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三边关系得出的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，故①正确， 由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：，，，，，共6对，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 故选：B． 8． 如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像 交于和两点，与x轴交于点C，下列说法： ①反比例函数的关系式； ②根据图像，当时，x的取值范围为或； ③若点P在x轴上，且，点P的坐标． 其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点代入中求出a得到，然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得，进而得出，设，则，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：把点点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为，故结论①正确； 把代入，得：， ∴， 根据图象可知，当时，x的取值范围为或，故结论②正确； 如图，连接，    对于， 当时，， ∴点， ∵， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或，故结论③错误． 故选：A． 二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 9. 比较大小：________ （填“＞”或“＜”＝）． 【答案】> 【解析】 【分析】先将两个数平方，再比大小即可． 【详解】∵，， 又∵18>12， ∴． 故答案为：>． 10. 已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由，可设，，再代入化简即可解答． 【详解】解：， 设，， ． 故答案为：． 11. 点，是反比例函数的图象上两点， 若，则、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由反比例函数图像可以求得答案. 【详解】该反比例函数在大于零时，函数值随着x的增大而减小，所以当时，得出. 12. 如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上， 则点D的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用全等三角形和勾股定理求出对应线段的长度，再根据象限内点的坐标特点得出点的坐标 【详解】如图，过点D，作于点E    ∵、，四边形是菱形 ∴, ∴ ∵在和中 ∴ ∵ ∴, ∴ ∵点D在第二象限 ∴点D的坐标为 13. 如图，某校根据学生上学方式进行了一次抽样调查，绘制出了一个未完成的扇形统计图， 若该校骑车的学生有350人，则步行的学生有 人． 【答案】400 【分析】本题考查的是从扇形统计图中获取信息，先求解总人数与步行人数的百分比，再进一步可得答案． 【详解】解： ∵该校共有学生是：（人） ∴步行的学生所占的百分比是， ∴估计步行的有（人）． 故答案为400． 14. 如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形， 则原四边形ABCD需满足的条件是_______．（只需写出一个符合要求的条件） 【答案】AC⊥BD 【解析】 【分析】根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出∠E=90°即可． 【详解】解：添加的条件是AC⊥BD， ∵BD∥EF，BD∥GH， ∴EF∥GH， 同理EH∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EF∥BD，AC⊥BD， ∴EF⊥AC， ∵EH∥AC， ∴EF⊥EH， ∴∠E=90°， ∴平行四边形EFGH是矩形， 故答案为：AC⊥BD． 15. 如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是， 则的长为 【答案】2 【分析】找出B点关于的对称点D，连接，则就是的最小值，即．又易证是等边三角形，得出，结合E是边的中点，又可得出．最后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接交于P，连接， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ∴，即就是的最小值． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 16．已知关于x的方程有增根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了已知分式方程的根的情况求参数，将分式方程去分母得整式方程， 根据分式方程有增根，代入整式方程求出m的值即可，熟练掌握分式方程的增根的确定方法是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上， 反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F． 若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 ． 【答案】（6，）． 【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后解由直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案. 【详解】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M， ∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，∴OD＝＝5， ∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝BC＝CD＝OD＝5， ∴B（5，0），C（8，4）， ∵A是菱形OBCD的对角线交点，∴A（4，2），代入y＝，得：k＝8，∴反比例函数的关系式为：y＝， 设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：，解得：k＝，b＝﹣， ∴直线BC的关系式为y＝x﹣， 将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），∴F（6，）， 故答案为：（6，）． 18. 如图，在菱形中，，，、分别为，上的两个动点， ，，分别交于点，．下列结论： ①；②；③；④的最小值为． 其中正确的结论是 ．（请填写正确的序号）    【答案】①②④ 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 连接，过点作于点，根据菱形的性质，利用证明，得出，判断①，得出，根据 ，判断②，根据随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，判断③，根据含角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，推出的最小值，等于当时，的值，结合勾股定理计算，得出的最小值，判断④． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴和是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确；， ，故②正确； ∵随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近， 点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于， ∴错误，即③错误； ∵， ， ∴点到的距离， ∴的最小值，等于当时，的值， ∵当时，， ∴此时，， ∴的最小值，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共有10个小题，满分共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简和混合运算以及零指数幂； （1）根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂和平方差公式进行化简，再合并同类二次根式即可． （2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 20．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去分母，然后求解检验即可； （2）将分式方程去分母，然后求解检验即可． 【详解】解：（1）方程两边同时乘，得， 化简，得 解得： ， 经检验，是原分式方程的解， 所以． （2）解：去分母得， 整理得，， 移项、合并同类项得，， 解得， 检验：当时，，， ∴是原分式方程的解， 所以． 21. 先化简：．再从，，中选一个你认为合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，注意分式的分母不为0． 先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解： 由题意得：和， 当时，原式． 22． 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， 的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； (2)作出与与关于原点成中心对称的； (3)通过旋转可以得到，则旋转中心P的坐标为___________． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3)； 【分析】（1）根据平移的性质直接作图即可得到答案； （2）根据中心对称的性质直接找到对应点即可得到答案； （3）连接，交于一点即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，平移后的图像如图所示，   ； （2）解：由题意可得，图像如图所示，    ； （3）解：如图连接，交于一点即为点P， 即可得到点P的坐标为：； 23． 《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表， 被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况， 就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校名学生中进行了抽样调查， 根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题： (1)求本次调查的学生的人数； (2)求扇形统计图中3部所在扇形的圆心角的度数； (3)请将条形统计图补充完整； (4)试估算全校大约有多少学生读完了2部以上（含2部）名著． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）利用2部对应的人数除以对应的百分比即可； （2）用3部对应的人数除以总人数，再乘以即可； （3）计算出1部的人数，再补全统计图； （4）用2部、3部和4部对应的人数除以样本总人数，再乘以全校人即可． 【详解】（1）解：本次调查被调查的学生为：（人）； （2）解：扇形统计图中3部所在扇形的圆心角为： （3）解： 1部的人数为：（人） 补全条形统计图如下： （4）解：（人） ∴全校大约有名学生读完了2部以上（含2部）名著 24． 某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果， 但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． (1) 该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2) 若超市将这批干果按每千克8元的价格全部出售，超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】(1)该种干果的第一次进价是每千克5元 (2)超市销售这种干果共盈利4800元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，有理数混合运算的应用； （1）等量关系式：3000元购进干果数量的倍9000元购进干果的数量，据此列方程，即可求解； （2）第一次、第二次的销售总额减去两次购买干果的金额，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）解：第一次购进（千克）， 第二次购进（千克）， （元）． 答：超市销售这种干果共盈利4800元． 25. 像，这样的根式叫做复合二次根式． 有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 26. 如图，在矩形中，点在边上，， （1） 请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：在的延长线上求作点，使， 连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①求证：平分； ②求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）如图：用圆规和直尺作线段的垂直平分线与的延长线的交点即为F； （2）①由矩形的性质可得，进而得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后得到即可证明结论；②如图2，过点作于点．设．然后说明四边形是矩形可得，即；最后运用勾股定理求得x即可解答 【小问1详解】 解：如图1所示： 【小问2详解】 解：①证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 平分； ②如图2，过点作于点．设． 四边形是矩形， ， 中，， ， ， ． 27.如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； (3)如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)10 【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积． （1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集； （3）根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数可得：， ∴点， 把点代入反比例函数， 可得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点A与点B是关于原点对称的， ∴点， ∴根据图象可得，不等式的解集为：或； （3）解：如图所示，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴ 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 28. 【模型建立】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，求证：； 【模型应用】（2）如图2， 在正方形中，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G，求出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在矩形中，，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G．若，求的长． 【答案】（1）见解析  （2），理由见解析  （3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，证明，即可解题； （2）连接，则，然后推导，得到，即可解题； （3）连接，推导，即可得到，然后根据，解题即可． 【详解】解：（1）如解图，连接. ∵， ∴， ∴. （2）.理由如下： 如解图，连接，由(1)同理可得， ∴. 将 绕点顺时针旋转得到，可得， ∴. ∵是正方形， ∴， ∴，即， ∴. ∵， ∴. （3）如解图，连接， 由（1）同理可得， ∴. 过点作，交的延长线于点， ∴. ∵， ∴， ∴， 即 由（2）得， ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$