1.3全等三角形的判定（1）讲义-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.3全等三角形的判定（1） 📚基础知识 1. 三个基本事实 · 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”） · 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） · 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 2. 一个推论 · 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”） 3. 一个补充 · 旋转、平移、轴对称（翻折）前后的两个三角形全等 ✨基础题型 1 学科网（北京）股份有限公司 【题型1】用SAS证明三角形全等 【题型2】用SAS间接证明三角形全等 【题型3】全等的性质和SAS综合 【题型4】用ASA（AAS）证明三角形全等 【题型5】全等的性质和ASA（AAS）综合 【题型6】用SSS证明三角形全等 【题型7】用SSS间接证明三角形全等 【题型8】全等的性质和SSS 🔍例题精讲 例1：（2025·云南西双版纳·一模）如图，，，．求证：． 例2： （24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，已知点，在上，，，．求证：； 例3：（2025·江苏无锡·二模）如图，点在的边上，经过边的中点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例4：（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 例5：（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图，，． (1)AB与CD有怎样的位置关系？请证明你的结论． (2)你还能发现哪些结论？ 例6：（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 例7：（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，．求证：． 例8：（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 例9：（2025七年级下·全国·专题练习）已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接．求证：． 课堂巩固 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，，，求证： 2．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，，且．求证：． 3.（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知B、E、C、F 在同一条直线上，，且，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数 ． 4.（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·陕西西安·三模）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：． 6.（24-25七年级下·四川成都·期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是 ． 7.（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 8.（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 9.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，， (1)求证：． (2)，，求当中边的取值范围． 课后作业 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 5．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 6．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，是的中线，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 7．（19-20八年级上·江西上饶·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 9．（2025·广东广州·一模）如图，，．求证：． 10．（2025·云南昆明·一模）如图，已知，相交于点E，，，求证：． 11．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 12．（2024九年级下·云南·学业考试）如图，A，B，C，D四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 14．（2025·吉林松原·一模）如图，点E、F在上，且，求证： 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． $$ 1.3全等三角形的判定（1） 📚基础知识 1. 三个基本事实 · 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”） · 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） · 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 2. 一个推论 · 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”） 3. 一个补充 · 旋转、平移、轴对称（翻折）前后的两个三角形全等 ✨基础题型 1 学科网（北京）股份有限公司 【题型1】用SAS证明三角形全等 【题型2】用SAS间接证明三角形全等 【题型3】全等的性质和SAS综合 【题型4】用ASA（AAS）证明三角形全等 【题型5】全等的性质和ASA（AAS）综合 【题型6】用SSS证明三角形全等 【题型7】用SSS间接证明三角形全等 【题型8】全等的性质和SSS 🔍例题精讲 例1：（2025·云南西双版纳·一模）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用证全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 例2： （24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，已知点，在上，，，．求证：； 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，最后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ 例3：（2025·江苏无锡·二模）如图，点在的边上，经过边的中点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【知识点】线段的和与差、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点是边的中点， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ， ， ． 的长为1． 例4：（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由题得，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论． 【详解】证明：， ． ． ， ． 平分， ． ． 在和中，， ． 例5：（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图，，． (1)AB与CD有怎样的位置关系？请证明你的结论． (2)你还能发现哪些结论？ 【答案】(1)，证明见解析 (2)， 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1），理由为：连接，由两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由已知角相等及公共边，利用得到三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）还能得到与平行，． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， ， ， 在和中， ， ， ； （2）还能确定出：， 例6：（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形的性质、用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 例7：（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先得到，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 例8：（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 例9：（2025七年级下·全国·专题练习）已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用即可证明全等，再根据全等三角形的性质求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 课堂巩固 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，，，求证： 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到，则可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 2．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，再根据证明即可． 【详解】证明：， ． 在和中， ． 3.（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知B、E、C、F 在同一条直线上，，且，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4.（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的判定和性质，根据全等三角形的判定定理判断是解题的关键． 根据题中的条件推理出全等三角形的判定依据，即可求解； 【详解】解：， ， 在和中， ， ； 则的依据是； 故选：D 5.（2025·陕西西安·三模）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：． 【答案】见解析． 【知识点】根据三角形中线求长度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质、三角形的中线，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键． 先根据三角形的中线可得，再根据平行线的性质可得，可证，即得． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 6.（24-25七年级下·四川成都·期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是 ． 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 7.（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 8.（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 9.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，， (1)求证：． (2)，，求当中边的取值范围． 【答案】(1)证明见结论 (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． （1）由得出，再利用证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先利用全等三角形的结论得到 ，再结合三角形三边关系列出关于的不等式，最后代入数值求出取值范围． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ∴； （2）∵ ∴， 在中， ∵， ∵， ， ∴， 即． 课后作业 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先证出，再利用定理即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】两直线平行同位角相等、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，，据此可利用证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 5．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，利用得到，证明，即可得到，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ． 6．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，是的中线，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，从而可得结论； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 7．（19-20八年级上·江西上饶·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题词关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、． 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再证明，即可利用，证明； （2）先求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 9．（2025·广东广州·一模）如图，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到其邻补角相等，再由证明全等，则由全等三角形对应边相等即可说理． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 10．（2025·云南昆明·一模）如图，已知，相交于点E，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据得出，证明，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 11．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 【答案】/130度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，理解相关知识是解答关键． 连接，利用“”易得，根据全等三角形的性质易得，根据三角形的内角和定理得到的度数来求解． 【详解】解：连接，如下图 在和中 ， ， ，， ， ． ， ． ． 故答案为：． 12．（2024九年级下·云南·学业考试）如图，A，B，C，D四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用．先由得出，结合，，可通过证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 【答案】4 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 14．（2025·吉林松原·一模）如图，点E、F在上，且，求证： 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据，得，利用证，再利用全等三角形性质得，，继续利用全等三角形的判定得出，即可得出结论． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ∵， ， ∴． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，得，再结合，，即可证明； （2）由全等三角形的对应角相等得，再根据内错角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∵，， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴． $$