2025年中考数学二轮有关二次函数的实际应用存在性问题专题训练

2025年中考数学二轮

有关二次函数的实际应用存在性问题专题训练

 

 

1．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处．

(1)求抛物线的解析式；

(2)某市男子实心球的得分标准如表：

得分	100	95	90	85	80	76	70	66	60	50	40	30	20	10
掷远（米）	12.4	11.2	9.6	9.1	8.4	7.8	7.0	6.5	5.3	5.0	4.6	4.2

请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；

(3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处放置有一个1.2米高的警示牌，问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由．

2．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现，该商品的周销售量（单位：件）是售价（单位：元／件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（单位：元）的三组对应值如下表：

售价（元／件）	60	70	80
周销售量件	100	80	60
周销售利润元	2000	2400	2400

注：周销售利润周销售量（售价进价）

(1)①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②求该商品的进价；

③当售价定为多少时，周销售利润最大？最大利润是多少元？

(2)由于某种原因，该商品进价提高了元／件（），物价部门规定该商品售价不得超过70元／件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1440元，求的值．

3．综合与实践

深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究：

把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为．

(1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）．

(2)如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值．

(3)如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个．

4．某古城城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状．下半部分为矩形（四边形为矩形），已知城门宽度为6米，最高处离地面6米，米，如图所示，现以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系．

(1)求上半部分抛物线的函数表达式；

(2)现需在此抛物线型城门上的点、处各悬挂一个灯笼（点A、D均在抛物线上），已知点A、D关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4米（A、D之间的距离为4米），求灯笼距离地面的高度．

5．猕猴桃是西安的特色水果．在销售之际某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价（元/箱）与第周之间满足二次函数关系：．调查发现，第2周时，售价为32（元/箱）第5周时，售价为23（元/箱）（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降）．

(1)根据题意求与之间的函数关系式：并求第4周时，售价的值；

(2)若该段时间内每周猕猴桃的进价（元/箱）与第周之间满足关系式，且平均每周销售150箱，试求该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？

6．在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，

球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为．

(1)求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度．

(2)设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？

7．综合与实践

如图1，这是太原市某广场音乐喷泉的夜景，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，甚是壮观，令人们心旷神怡！其中主心喷泉的水流轨迹可近似看作抛物线．如图2，这是以水平地面为轴，以安装主喷头的竖直水管为轴，建立的平面直角坐标系，中心主喷泉的喷头安装在距水平地面米的点处．当水的压力最大时，某一水流抛物线经过点，点距安装主喷头的水管的水平距离是米，距水平地面2米．

(1)求此水流轨迹的抛物线的函数表达式．

(2)在离此水流落地点1米外的点处，以点为圆心，的长为半径做一个圆形安全围栏，求该圆形安全围栏的周长．（结果保留π）

(3)在（2）的条件下，为了美观，在高为米的安全围栏上的点处安装射灯，射灯射出的光线EF与地面成角，直接写出光线与此抛物线水流之间的最小距离．

8．图是抛物线形状的拱桥，当拱桥顶离水面时，水面宽．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图所示，且个单位长度代表实际长度．