3.1 函数的概念及其表示 第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1　函数的概念 理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则； 掌握判定函数和函数相等的方法； 学会求函数的定义域与函数值. 学习目标 在初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎么定义的呢？在高中又是怎么定义的呢？ 结合系统集成阅读课本P60-P63，思考并完成以下问题（3分钟） 1、在集合观点下的函数是如何定义的？ 2、函数的三要素是什么？ 3、如何去求函数的值域和定义域？ 1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？ 复习引入： 2.初中对函数是怎样定义的？ 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 正比例函数： ； 反比例函数： ； 一次函数： ； 二次函数： . 导入新知 剖析实例 类比归纳 问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速 运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运 行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. 思考1：如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间 t 的关系？ 对于数集A1中的任一时刻 t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应． S与 t 的关系是：S=350t ① 其中，t 的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. 数集A 数集B 对应关系 认识新知 问题2： 年份y 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 恩格尔系数r(%) 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6 思考2：你认为按上表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数? 对于数集A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的工资w和它对应． {y∈Z|2012≤y≤2021} {r|0<r≤1} 故 r 是 y 的函数. 数集A 数集B 对应关系 认识新知 问题3： 对于数集A3=____________的任一时刻 t，按照图中曲线给定的对应关系， 在数集B3=____________中都有唯一确定的工资w和它对应． {I |0<I<150} {t |0≤t≤24} 故 I 是 t 的函数. 数集A 数集B 对应关系 上述问题的共同特征有: 【归纳】上述问题1～问题3中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法. 为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系. (1)都包含两个非空数集，用A,B来表示； (2)都有一个对应关系； (3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性： 对于数集A中的任意一 个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 函数的概念 注意函数概念中的任意性、唯一性 概念 一般地，设A，B是非空的_____________，如果对于集合A中的_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_____________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 _____________的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 唯一 x (1) A, B 都是非空数集； (2) f : A →B确定了集合A到集合B上的函数; (3) 函数的定义域为 A,值域为{f(x)|x∈A} B,而值域{f(x)|x∈A}由定义域、对应关系确定，定义域，对应关系，值域是函数的三要素; (4) 符号y=f(x)的理解： ① y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示,仅是一个函数符号, f(x)不是f与x相乘,例如：y=3x+1可以写成 f(x)= 3x+1,当x=2时y=7可以写成f(2)=7； ② f是对应关系, 它可以是一个或几个解析式,可以是图象,表格, 也可以是文字描述，不同函数中f 的具 体含义不一样. (5) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”“y=h(x)”. 对函数概念的理解： 当a为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对应的函数值，是一个常数. 而f(x)是一个随x变化而变化的变量. (6)与f(a)(a为常数)的区别与联系： [微判断] 1.函数的定义域和值域一定是无限集合.( ) 2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( ) . 3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.( ) × × × 提示　函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1. 提示　根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应 提示　在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集. 对函数概念的五点说明： (1)非空性：集合A，B为非空数集； (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性； （允许一对一或者多对一，不能一对多） (3)符号“f ”：它表示对应关系，可以是解析式、图象、表格、文字描述等，在 不同的函数中f 的具体含义不一样； (4)一个区别：f (x)、g(x)、h(x)、F(x)、G(x)等都是符号，f (x)不表示f 与x的乘 积．而f (a)表示函数f (x)当x=a时的一个函数值，f (a)是一个常量． (5)函数三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，三者缺一不可． 2.下列图像具有函数关系的是 o x y A D C B E y o x x y o y 1 x o 1 o x y 做法：做一条和x轴垂直的直线，观察直线与图像在定义域内是否只有一个交点. 辨析函数图像 E. F. G. H. O x y 思考：下列各图像中,不能表示y是x的函数的有______________. C G H 3、设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 3 思考与辨析 0 1 2 1 2 x y 0 1 2 1 2 x y 0 1 2 1 2 x y 0 1 2 1 2 x y 2 3 ① ② ③ ④ 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（ ） A.0 B.0 C.0 D.0 B 规律方法　1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 2.判断一个对应关系是否为函数的方法 不能说一对多，一对空 小结: 2.函数的三要素： 定义域A 值域B 对应法则f 定义域 对应法则 值域 1. 函数的概念：设A, B是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f : A B为从集合A到集合 B的函数. 3.会求简单函数的定义域和函数值； 4.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间. 谢谢大家！同学们再见！ $$