2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系． 2.从函数观点看一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 学习目标 学习任务： 1、什么是一元二次不等式？ 2、一元二次不等式，一元二次方程，一元二次函数 关系如何？ 3、如何求解一元二次不等式？ 一元二次不等式 问题导学： 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少？ 分析：设这个举行的一条边长为x m，则另一条边长为（12-x）m 由题意，得：x（12-x）>20 一元二次不等式的定义： 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 其一般形式为： 1. 2. 3. 4. 判断下列不等式是否是一元二次不等式 该如何解一元二次不等式呢？ 二次函数 的图像和性质 问题2: 基于三个“一次”的思想方法．类似地，要解一元二次不等式，首先要 了解这三个“二次”的关系. 思考2：当P点纵坐标为0时,如何求P点横坐标? x y O y=x2-12x+20 在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象(右图) P(x,y) 思考1：设P(x,y)是图象上的一个动点 , 当P移动到x轴上方, x轴上和 x轴下方时, P点纵坐标y的符号是怎样的？ P(x,y) P(x,y) P在x轴上方时: y>0 P在x轴上时: y=0 P在x轴下方时: y<0 P(x,0) 解方程x2-12x+20=0得 x=2或10 思考3：一元二次方程x2-12x+20=0的根与二次函数y=x2-12x+20有何关系? 2 10 方程x2-12x+20=0的根2和10就是函数y=x2-12x+20上纵坐标为0点的横坐标 思考：怎么解一元二次不等式？ 如何求解二次函数与x轴交点的横坐标？ 借助一元二次方程： 当 时，方程有两个不相等的实根： 当 时，方程有两个相等的实根： 当 时，方程没有实根： 新知探究 三个“二次”的关系: 你中有我，我中有你！ 一元二次函数 一元二次不等式 一元二次方程 零点的定义： 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 注： 零点是实数不是点 二次函数的零点是对应方程的实根，是函数图像与x轴交点的横坐标 借助二次函数： 当 时，函数有两个不相等的零点： 当 时，函数有一个零点： 当 时，函数没有零点： 的零点 归纳小结 解一元二次不等式的流程图 体会高中数学的重要思想：“数形结合” 注意口诀：如何求一元二次不等式的解集 （1）化标：先把一元二次不等式化为标准型） （不等式右边只有一个0且左边中二次项系数为正） 大于取两边 小于取中间 （2）对不等式左侧因式分解，求出对应方程的根. 若方程有两个不等的实根，所求的不等式的解集就直 接利用口诀：大于号取两根的两边，小于号取两根之间; 若方程有两个相等的实根，则不等式的解集直接看式 子 就可以得出. （3）如果不等式左侧不易分解，需求 . △>0 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1,或 x>x2} {x|x1< x <x2 } △=0 △<0 R 没有实根 x1 x2 x y>0 y<0 y 0 x x1 y>0 y 0 x y 0 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 (a>0) ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 ax2+bx+c<0 (y<0)的解集 反思感悟　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 反思感悟　在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： (１)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0). (２)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 例：求关于x的不等式　　　　 　　　　　的解集。 解　原不等式可化为 (x－a)(x－1)>0， 讨论 a 与 1 的大小. (1)当 a>1 时，不等式的解为x>a或x<1. (2)当 a＝1时，不等式的解为x≠1. (3)当 a<1时，不等式的解为 x>1或x<a. 综上可得，当a>1时，不等式的解集为{x|x>a或x<1}， 当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}， 当a<1时，不等式的解集为{x|x>1)或x<a}. 3)3x2-6x+1<0 4)9x2-6x+1<0 5)x2-2x-1>0 (1)x2-5x+6>0 例题 求下列一元二次不等式的解集 （2） 例：某种汽车在水泥路面上的刹车距离sm（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）和汽车刹车前的车速vkm/h之间有如下关系： 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（结果精确到1km/h） 二次函数与一元二次方程、不等式的联系 2、从上述角度讲，方程实际上就是在求解自变量x取何值时，y会等于零。不等式就是在求解 自变量x取何值时，函数值y会大于零或小于零，不等式解集的边界，就应该是二次函数的零点， 也就是二次方程的根。 结论：方程与不等式合在一起，解决了二次函数中自变量x取值时函数值y为正、为零、为负的问题，反之亦然 例1 解不等式 . 体会高中数学的重要思想：“数形结合” 谢谢大家！同学们再见！ $$