2.2 基本不等式 第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 基本不等式 学习目标 1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用. 探究： 在正方形ABCD中AE=a,BE=b（a＞b） 则a 0，b 0，AB= 正方形的面积为S=　　 　。 四个全等的直角三角形面积总和是S’= 。 此时S S’ 字母表示为： 思考：它们有相等的情况吗？ 基本不等式: 重要不等式 ∀a,b∈R,a2+b2≥2ab， 当且仅当a=b时，等号成立 求证： 证法一：作差法 证法二：分析法 a=b时，等号成立 当且仅当 证明：要证 只需证 证明： 只需证 即证 上式显然成立的. 当且仅当a=b时, 等号成立。 基本不等式： 当且仅当a=b时，等号成立. 当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式： 注意：（1）不同点： （2）相同点： （3） 联系 ： 当且仅当a=b时，等号成立。 由重要不等式可以推出基本不等式。 两个不等式的适用范围不同。 一正、二定、三相等 思考 1. 已知a+b=2，求ab的最值. 最大值或最小值 当a=1时ab取得最大值1. 2. 已知ab=2，求a+b的最值. 会画图吗？怎么解决？ 思考 1. 已知a+b=2，求ab的最值. 2. 已知ab=2，求a+b的最值. ,当且仅当a=b=1时等号成立，ab取得最大值1. 典型例题 题型二 利用基本不等式求最值 课本P45--例2 已知x,y都是正数，求证： (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 (2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 解： ∵x，y都是正数 (1)当xy等于定值P时 当且仅当 x=y,等号成立. 即：当x=y时，和x+y有最小值 (2)当x+y等于定值S时 当且仅当 x=y,等号成立. 即：x=y时，积xy有最大值 积一定，和有最小值 和一定，积有最大值 笔记： 积定和小 和定积大 判断下列推理是否正确 （2）已知 ,若 则 最小值是4 （1）若 ,则由 得， 的最小值是2 （3）若 , 则由 得， 的最大值是 例题讲析 积定和最小 因为x>0， 当且仅当x＝ ，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. 课堂练习 因为x>1，故有x－1>0， 当且仅当x－1＝ ，即x＝3时等号成立.因此所求的最小值为5. 课堂练习 实际应用问题 例：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个 矩形的边长为多少时，所用的篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？ x y xy=100 设矩形菜园相邻两条边的长分别为 xm，ym,篱笆长度为2(x+y)m。 因此，当菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m 性质3 如果a>b，那么a+c>b+c. 性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质5 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 温故知新 知识梳理 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R). (2) ≥ (a，b同号). (3)ab≤ (a，b∈R). (4) ≥ (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2ab 2 1.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件：____________； (2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立； 特别地： a>0,b>0 a=b 2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当_______时， x＋y有最小值2(简记：“积定和最小”)． (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当 时，xy有最大值(简记：“和定积最大”)． x=y x=y 课堂小结 1.常考题型 ①因式分解法 ②化归为二次函数最值问题 分离常数法 谢谢大家！同学们再见！ $$