2.2 基本不等式 第二课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 1、会利用基本不等式求最值； 2、理解并掌握“拼凑法”； 学习目标 同学们，上节课我们学习了什么内容？ 如何利用基本不等式求最值，大家还记得吗？ 问题导学 性质3 如果a>b，那么a+c>b+c. 性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质5 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 温故知新 知识梳理 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R). (2) ≥ (a，b同号). (3)ab≤ (a，b∈R). (4) ≥ (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2ab 2 1.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件：____________； (2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立； 特别地： a>0,b>0 a=b 2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当_______时， x＋y有最小值2(简记：“积定和最小”)． (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当 时，xy有最大值(简记：“和定积最大”)． x=y x=y 思考1　利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？ 一正，二定，三相等． 思考2　 思考3 应用基本不等式求最值时，要把握三个条件： 一、正数条件，即a、b都是正数； 二、定值条件，即和是定值或积是定值； 三、相等条件，即a＝b时取等号； 简称“一正，二定，三等”. 忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？ 基本不等式在求最大、最小值中的应用 1.化正型 换元法求最值 ｜小结｜配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形， 通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式， 然后利用基本不等式求解最值的方法. 配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 配凑法求最值 例2 求函数 的最小值. 凑定型 (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值. ｜小结｜ 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时， 通常考虑利用已知条件消去部分变量后， 凑出“和为常数”或“积为常数”的形式， 最后利用基本不等式求最值. 消元法求最值 (2)构造和为定值，利用基本不等式求最值 当且仅当 ，即 时， 常数代换法求最值 ｜小结｜常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除， 进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 分析本题给定约束条件 ，来求 注意到 故可以采用对目标函数 乘“1”构造使用基本不等式的条件. 的最小值, 例4 已知x>0,y>0,且2x+y=1,求 的最小值. 整体代换型 对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件. 合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键. “隐性”积定和最小 特点：整式+分式 （分子为常数）， 且整式与分式的分母相同 题型二 利用基本不等式求最值 课本P45--例1--变式--积为定值求最值 二、典型例题 变式1 已知x＞-1，求 的最小值. 变式2 已知x＞-1，求 的最小值. 课本P45--例1已知x＞0，求 的最小值. 化归：“凑整式”使其与分式的分母相同 （“凑分母”） a b + 当且仅当a=b时，等号成立. 如图，主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x为何值时，S最小？并求出这个最小值. 教材56页第9题 课堂小结：（1分钟） 谢谢大家！同学们再见！ $$