专题04 乘法公式的相关求解（11个基础题型+2个培优题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（苏科2024版）（原卷+解析版）

【精准提分】专题04 乘法公式的相关求解（苏科2024） 【11个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】运用乘法公式进行判断式子是否正确 1 【基础题型二】利用乘法公式比较大小 6 【基础题型三】利用“知一求二”求代数式的值 9 【基础题型四】利用“配凑法”求代数式的值 13 【基础题型五】利用“首尾互倒”求代数式的值 16 【基础题型六】通过对乘法公式进行变形求值 20 【基础题型七】利用完全平方公式求参数的值 26 【基础题型八】利用乘法公式计算 30 【基础题型九】利用乘法公式进行简便运算 38 【基础题型十】乘法公式与几何图形结合 41 【基础题型十一】整式的化简求值混合运算 49 【压轴题型十二】乘法公式在几何图形中的综合应用 54 【压轴题型十三】乘法公式的综合压轴 74 【基础题型一】运用乘法公式进行判断式子是否正确 例题1（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1-1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可． 【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算； B．故能用平方差公式计算； C．无相反的项，故不能用平方差公式计算；     D．无相同的项，故不能用平方差公式计算； 故选B． 【变式1-2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意； C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级下·江西萍乡·期中）下列乘法公式运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，利用乘法公式计算即可得到答案． 【详解】解：A、，本选项错误； B、，本选项错误， C、，本选项错误； D、，本选项正确； 故选：D． 【变式1-4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）下列算式中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据整式的乘法运算法则，完全平方公式，以及平方差公式计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A、，结果不为，不符合题意； B、，结果为，符合题意； C、，结果不为，不符合题意； D、，结果不为，不符合题意． 故选：B． 【变式1-5】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列乘法公式运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用乘法公式，利用乘法公式计算即可得到答案． 【详解】解：A、，本选项错误； B、，本选项正确； C、，本选项错误； D、，本选项错误， 故选：B． 【变式1-6】（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算， 根据平方差公式解答A，再根据完全平方公式解答B，C，最后根据多项式乘以多项式解答D即可． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确． 故选：D． 【变式1-7】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式，据此相关性质法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：，故A选项运算错误； ，故B选项运算正确； ，故C选项运算错误； ，故D选项运算错误； 故选B． 【变式1-8】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 根据合并同类项、多项式乘多项式、积的乘方、单项式乘单项式依次对各选项进行计算即可作出判断． 【详解】A．，原式计算错误，故该选项不符合题意； B．，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．，原式计算错误，故该选项不符合题意； D． 原式计算正确，故该选项符合题意． 故选：D． 【基础题型二】利用乘法公式比较大小 例题2（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， 因为，所以， 故选：B． 【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）若，，则的值满足（   ） A．小于0 B．小于或等于0 C．大于0 D．大于或等于0 【答案】D 【分析】该题考查了完全平方公式，通过联立方程消去变量，求出的值，再用与的关系代入表达式，转化为完全平方形式判断符号． 【详解】解：， 得， 则， 将代入②得：， 解得：， 则 ， 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）若，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，利用作差法，将计算的结果进行因式分解，即可解答，熟练进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式2-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）若代数式，，则的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算和配方法，做题的关键是配方法的灵活应用．依题意，求解，配方成完全平方公式求解即可． 【详解】解：依题意可得： ， ， ， 的值一定是正数， 故选：B． 【变式2-4】（2025·安徽马鞍山·一模）已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：A． 【变式2-5】（23-24七年级下·全国·期中）已知（x为任意有理数），则M，N的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，完全平方，掌握完全平方是解题的关键．求出的结果，再判断即可． 【详解】解：， ， 故选：． 【变式2-6】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行计算、有理数的大小比较，先利用完全平方公式和平方差公式求出、的值，比较即可得解． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 【变式2-7】（24-25八年级上·北京大兴·期末）若，，比较大小：P Q（用“”或“”或“”填空）． 【答案】 【分析】分别对P、Q进行多项式的乘法计算，再对计算的结果进行大小比较． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【基础题型三】利用“知一求二”求代数式的值 例题3（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级下·福建福州·期中）若，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．根据，再判断、的关系即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 得：， ∴， 故选：． 【变式3-3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式，先求出即可； 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B ． 【变式3-4】（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知，则的值是（   ） A．9 B．3 C．-3 D．±3 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式的变形与求解，涉及完全平方公式、变量替换以及方程求解能力，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察到两个平方项的结构对称，通过变量替换简化表达式，转化为关于新变量的二次方程，求解后，对进行变形，即可求解． 【详解】解：设，则原式可变形为： ， 解得：， 即， ， 故选：D． 【变式3-5】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式和乘方，先根据得出，进而可得当时，，当时，，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴， ∴或， 当时，，则， 当时，，则， 故选：D． 【变式3-6】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）已知，则代数式的值是（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∵ ∴ ∴ 故选：D． 【变式3-7】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的应用．利用平方差公式将原式分解为两个因式的积再代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 故答案为：． 【变式3-8】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的计算，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式3-9】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．根据完全平方公式：，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：9． 【变式3-10】（24-25七年级上·上海普陀·期中）如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式，根据题意得到，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【基础题型四】利用“配凑法”求代数式的值 例题4（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若a，b满足，则的值为 ． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 【变式4-1】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，非负数的性质，代数式求值，由已知可得，进而根据非负数的性质可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知 ，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形运算出和的值后，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式．根据平方差公式、完全平方公式的进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-4】（24-25八年级上·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足，则 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵x， y是自然数， ∴或． ∴，，或，， ，，或，，． 当，，时， 解得：，， ， 当，，时， 解得：，， ， 当，，时， 解得：，， ， 当，，时， 解得：，， ， 故答案为：2或4． 【变式4-5】（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质．先把等式的左边利用完全平方公式进行运算，再根据非负数的性质求出x、y的值，再代入计算． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【基础题型五】利用“首尾互倒”求代数式的值 例题5（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则 （1） ； （2） ； 【答案】 3 7 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则a，b之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式， 非负数的性质：绝对值， 根据非负数的性质得出，，再将第一个等式运用完全平方公式，将第二个等式代入即可． 【详解】解：由已知等式，得，， 由此可得：，， 则， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式，等式两边同时除以，得到，进而得到，利用完全平方公式进行求值即可． 【详解】解：∵，且当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 【变式5-3】（24-25八年级上·四川凉山·期中）已知，且，求 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，关键是求出的值，然后利用整体代入的思想解决问题；先把式子利用偶次方的非负性，求出a，b的值，然后求出，利用化简，分别求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-4】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知，则 ； ． 【答案】 11 13 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据与互为倒数的特点，利用完全平方公式求解． 对已知条件等号两边平方，整理后求解即可． 【详解】解：， ， 即， ， ． 故答案为：11； 【变式5-5】（2024·山东聊城·一模）已知：，则 ． 【答案】23 【分析】本题主要考查了完全平方公式，直接把式子两边同时平方得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：23． 【变式5-6】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，则的值为 ． 【答案】50 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，利用完全平方公式求得的值后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：50． 【变式5-7】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查代数式求值，解题关键是熟练掌握乘法公式． 先由得，再利用乘法得出，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴即， ∴ ∴，即， ∴， 故答案为：14． 【基础题型六】通过对乘法公式进行变形求值 例题6（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知a，b，c满足，，，则的值为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】解：，，， ， ， ， ， ，，， 解得，，，， 故选：． 【变式6-1】（24-25八年级上·福建福州·期中）若，，则的值是（   ） A．1025 B．1998 C．2011 D．2050 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握灵活应用完全平方公式，先根据完全平方公式把已知条件中的两个等式展开，然后相加，再根据等式的基本性质求出答案即可． 【详解】解：， ，， 得：， ， 故选：． 【变式6-2】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，，，，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式变形，将已知式子的值代入，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行化简求值，熟记并灵活运用完全平方公式是解题关键． 先根据已知等式求出的值，再利用完全平方公式对所求代数式进行变形，然后代入求解即可． 【详解】∵，，， 则 ． 故答案为：3． 【变式6-4】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知，则的值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值．设，，则，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：设，，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：13． 【变式6-5】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、平方差公式的应用，由题意可得，再利用平方差公式将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-6】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式化简求值，平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式并能灵活运用是解决此题的关键．将转化为，再将代入代数式，通过展开与化简，即可得解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式6-7】（24-25七年级下·湖南湘潭·期中） 【答案】15 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是能识别出符合平方差公式的形式，并正确运用公式进行变形． 利用平方差公式将变形，再代入已知条件求值． 【详解】， 将，将其代入可得： ， ， 故答案为：15． 【变式6-8】（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）已知，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查整式的化简求值和完全平方公式，解题的关键将代入式子进行化简计算． 将代入中，利用完全平方公式展开，再进行化简计算． 【详解】, ． 故答案为：9． 【变式6-9】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，将式子进行适当的变形是解题的关键．由得，而，代入即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式6-10】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式把等式左边展开即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-11】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式求出，，，展开相加后即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-12】（24-25七年级下·重庆·期中）若满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、多项式乘以多项式和整体代入法求代数式的值等知识，先由条件得到，再由多项式乘以多项式将恒等变形为，将整体代入即可得到答案．熟练掌握整体代入法求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， ，则， ， ， 故答案为：． 【基础题型七】利用完全平方公式求参数的值 例题7（24-25七年级下·湖南郴州·期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴或， 故答案为：A． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如果能写成一个完全平方的形式，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：由于， ∴， ∴． 故选：D． 【变式7-2】（24-25八年级上·天津河东·期末）如果是完全平方式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的特点即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 根据完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴或， 解得，或， 故答案为：或 ． 【变式7-4】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若是一个完全平方式，则的值等于 ． 【答案】5或 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式特点是解题的关键，注意完全平方式有两种形式，故不要漏掉答案．根据完全平方公式的特征判断即可得到的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ， 或， 故答案为：5或． 【变式7-5】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果（是常数）是个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式． 【详解】解：∵（是常数）是个完全平方式， ∴ 故答案是：9． 【变式7-6】（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的字母系数，其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式． 根据完全平方式的特点求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-7】（24-25八年级下·四川雅安·期中）若是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式得出即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ， 故答案为：． 【变式7-8】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若二次三项式是完全平方式，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， 解得：或． 故答案为：或． 【变式7-9】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）若关于x的二次三项式是完全平方式，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，掌握完全平方式的特点是解题的关键． 符合形式的式子叫完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式7-10】（24-25七年级下·四川成都·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】或/或8 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是知道常数项是一次项系数一半的平方． 根据完全平方式特点列式求解，即可解题． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ， 即或， 解得或； 故答案为：或． 【变式7-11】（24-25八年级下·广东茂名·期中）若是完全平方式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【基础题型八】利用乘法公式计算 例题8（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-1】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了幂的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项即可得解； （2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得解； （3）先利用完全平方公式以及多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． 【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先根据平方差公式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．熟练掌握乘法公式是解题的关键； 【详解】解： 【变式8-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行积的乘方运算，然后进行单项式乘以单项式运算，合并同类项即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式8-4】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算或化简． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)2(2)(3) 【分析】本题综合考查有理数的混合运算、整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂、乘方化简，再计算即可； （2）先算乘方，再计算乘除，再算加减即可； （3）利用完全平方公式和多项式乘多项式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式8-5】（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查了整式的混合运算、乘法公式、负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题关键． （1）先计算同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方，再合并同类项即可得； （2）先计算负整数指数幂、有理数的乘方，再计算减法即可得； （3）先计算单项式乘以多项式、完全平方公式，再计算整式的加减法即可得； （4）将原式变形为，再利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式8-6】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答． （2）整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式8-7】（24-25七年级下·重庆·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，乘法公式的应用； （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，再合并即可； （3）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可； （4）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-8】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，完全平方公式的应用，整式的混合运算； （1）先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可； （3）先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并即可； （4）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【变式8-9】（24-25七年级下·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算， （1）根据单项式乘以单项式法则计算，再合并同类项； （2）根据单项式乘以多项式法则计算； （3）根据多项式乘以多项式法则，单项式乘以多项式法则计算； （4）根据平方差公式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：． 【变式8-10】（24-25七年级下·河南焦作·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)7(2) 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）利用零指数幂、负整数指数幂、乘方和绝对值进行计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【基础题型九】利用乘法公式进行简便运算 例题9（24-25七年级下·四川达州·期中）计算： ． 【答案】4 【详解】解： ． 故答案为：4． 【变式9-1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）利用平方差公式计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式以及数字变化规律，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 根据平方差公式即可求解； 【详解】解： 故答案为： 【变式9-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算：的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，先利用平方差公式把原式改写为，再计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）简便运算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，有理数的乘方运算，熟练运用平方差公式是解决此题的关键．先变形，然后再计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 【变式9-4】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及平方差公式，根据平方差公式将恒等变形求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式9-5】（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，先根据平方差公式进行计算，再求出答案即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式9-6】（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解； ， 故答案为；． 【变式9-7】（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式．把2变为，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【基础题型十】乘法公式与几何图形结合 例题10（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为， 第二个图形的面积为， ∴， 故选：C． 【变式10-1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握图形面积的计算方法是解题的关键．根据公式分别计算两个图形的面积，由此得到答案． 【详解】解：正方形中阴影部分的面积为， 平行四边形的面积为， 由此得到一个x，a的恒等式是， 故选：C． 【变式10-2】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积， 矩形的面积， 故． 故选：D． 【变式10-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用两种不同的方法分别表示出阴影部分的面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：对于①，阴影部分的面积：左边表示为，右边表示为 ∴，能够验证平方差公式； 对于②，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为： ∴，能够验证平方差公式； 对于③，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为： ∴，能够验证平方差公式； 故选D． 【变式10-4】（24-25七年级下·福建漳州·期中）根据图中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形的应用，由题意得出即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， 故选：B． 【变式10-5】（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，4个长为、宽为的小长方形围成了一个大正方形，利用图中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握平方公式是解题的关键． 整体看是一个边长为的正方形，中间的空白是一个边长为的正方形，利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积差计算即可， 【详解】解：∵阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积， 即：； ∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成， 即：， 验证的等式是：， 故选：D． 【变式10-6】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形，解决本题的关键是利用数形结合思想．分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等列式即可． 【详解】解：如下图所示， 阴影部分的面积是边长为的正方形的面积， 阴影部分的面积是， 如下图所示， 阴影部分的面积可以看作边长为的正方形的面积减去个长为，宽为的长方形的面积，再加上边长为的小正方形的面积， 阴影部分的面积为， ． 故选：D． 【变式10-7】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形面积，掌握数形结合思想成为解题的关键．分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等列式即可解答． 【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：， 图乙中阴影部分的面积为：， 所以． 故选：D． 【变式10-8】（2025·内蒙古赤峰·一模）“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：C． 【变式10-9】（24-25七年级下·山西运城·期中）用两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何图形与完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 根据图形，用两种方式表示面积即可求解 【详解】解：阴影部分的面积为：； 也可以用大正方形的面积减去各个白色的面积：； 故； 故选：D 【变式10-10】（24-25七年级下·北京顺义·期中）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 【基础题型十一】整式的化简求值混合运算 例题11（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 【变式11-1】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 代入 和 得 原式 【变式11-2】（2025·湖南长沙·二模）先化简，再求值：，其中 【答案】；6 【分析】本题考查了代数式化简求值，先运用完全平方公式和平方差公式化简，再把代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式11-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，63 【分析】本题主要考查完全平方公式、平方差公式及单项式除以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式及单项式除以单项式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，则原式． 【变式11-4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 根据完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式11-5】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先计算乘法公式，再合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【变式11-6】（24-25七年级下·江西萍乡·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据整式的混合运算法则进行计算化简，再代入计算即可． 本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则，是解答本题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式11-7】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，18 【分析】本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、整式的运算法则化简，再代入的值到化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 【变式11-8】（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式 ． 【变式11-9】（24-25七年级下·四川成都·期中）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项化简，再计算多项式除以单项式得到最终化简的结果，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式11-10】（2025·江苏镇江·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用乘法公式，整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【压轴题型十二】乘法公式在几何图形中的综合应用 例题12（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8(2)22(3)13 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． 【变式12-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）由完全平方公式即可计算； （2）由完全平方公式即可计算； （3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，，即可求解 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， 解得：， ∴阴影部分的面积． 【变式12-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)(2)20(3)7(4)17 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）设，则，，由得，然后利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）由可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； 故答案为：20； （3）解：∵， ∴ ； （4）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即． ∴图中阴影部分的面积为17． 【变式12-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，是一个长为4a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系． (2)利用（1）中的结论，请求下列问题： ①若，求的值； ②若，求的值． (3)如图3，正方形和正方形重叠，重叠部分是长方形，若正方形的边长为，长方形的面积是，求正方形的面积（若正方形的面积是定值，请求出这个定值；若正方形EFGH的面积不是定值，请用含的代数式表示）． 【答案】(1)(2)①16；②13(3)401 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解此题的关键． （1）大正方形的面积可以表示为，还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即，由此即可得解； （2）①利用（1）中的结论计算即可得解； ②设，，可知，，再运用完全平方公式计算即可得解； （3）由题意易求，，，设，，则有，，，再根据正方形的面积为解答即可． 【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积可以表示为， 还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即， ∴之间的等量关系是． （2）解：①∵， ∴； ②设，，则， ∵， ∴， ∴ ． （3）解：∵正方形的边长为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵长方形的面积是， ∴，即， 设，，则，， ∴， ∴正方形的面积为． 【变式12-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． (1)用含、的代数式表示________________； (2)若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； (3)记的面积为，则______________（用字母表示）． 【答案】(1)(2)；(3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并． （1）可由图形直观的得出结论； （2）利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得； （3）通过割补法计算可得，的面积为． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵两个正方形的面积之和为60， ∴， ， ， ； （3）解： ． 故答案为：． 【变式12-5】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． (2)如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． (3)利用用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （2）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （3）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【详解】（1）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：； （2）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为， 故答案为：； （3）解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以由图知． 【变式12-6】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 【答案】教材呈现：；活动内容：（1），理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键． 教材呈现：先用大小正方形的面积差表示第一个图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二个图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可； 活动内容：（1）根据大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可； （2）用及求得，再由求得，进而由平方差公式求得结果． 【详解】解：教材呈现：第一个图的阴影部分面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， ∴重要的结论为：， 故答案为：； 活动内容：（1），理由如下： ，或， ， ， ； （2）由题意知：， ， ， ， ， ， ． 【变式12-7】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽和长分别为和的长方形纸片拼出一个面积为的长方形．请仿照图2，画出拼出的长方形并求出的值． (4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数式恒等式．图4表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中的数据以及图形的变化关系，写出一个数学等式 ．（等式的两边均不用化简） 【答案】(1)(2)；(3)图见解析，9；(4) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． （1）根据数据表示出正方形的长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，然后表示出每一小部分的面积，最后根据面积相等即可写出等式． （2）根据利用（1）中所得到的结论，将，作为整体代入即可求出． （3）根据题意画出图形，再根据多项式乘多项式求出，得出，，，然后求出代数式的值即可； （4）用两种方法表示正方体挖去一个长方体后剩余部分的体积，即可得出这个数学等式． 【详解】（1）解：图中所表示的数学等式为： ， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 又∵边长为的正方形面积为，边长为的正方形面积为，宽、长分别为、的长方形纸片面积为， ∴需要边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形纸片2张，宽、长分别为、的长方形纸片5张，如图， 即，，， ∴， 故答案为：9； （4）解：长为m的正方体挖去一个长方体后体积为：， 新长方体的长为，宽为m，高为，则体积为：， ∴可以得到的数学等式为． 故答案为：． 【变式12-8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （2）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 【变式12-9】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）16；（3）22 【分析】本题考查了平方差公式、一元一次方程的应用． （1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积小正方形的边长小正方形的边长，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）延长、交于点H，根据题意，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是56，得出方程：，求出，根据，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）图4中阴影部分的面积可以表示为：或， ∴， 故答案为：； （2）若， 则 ； （3）如图：延长、交于点H， 设正方形的边长为x，正方形的边长为，由得： ， ， ， 即， ， ， 即 ． 答：图中阴影部分的面积是22． 【变式12-10】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图1，边长为的正方形切割成个小块，分别为个小块的面积． (1)用两种方法表示图1中大正方形的面积，由此得到的等量关系为_____． (2)利用（1）中的结论解决问题：若，，则_____． (3)如图2，线段上一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，，求图中阴影部分面积． (4)若实数满足，求代数式的值． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形与图形面积的计算，理解图示，掌握完全平方公式的计算是关键． （1）根据图示面积的表示方法即可求解； （2）根据题意得到，根据公式变形得到，由此代入即可求解； （3）如图所示，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，代入计算即可求解； （4）设，则，结合（3）的计算即可求解． 【详解】（1）解：图1中大正方形的面积为，4个小块的面积和为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴ ， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （4）解：设， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式12-11】（24-25七年级下·北京通州·期中）在学习整式的乘法运算时我们常常利用平面图形中面积的等量关系验证某些数学法则、公式．下面图1，图2，图3，图4是揭示多项式与多项式相乘的法则，以及相应的乘法公式之间的联系．观察下面图形，解答下列问题．（n、m、a、b都是正整数） (1)如图1验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________；当，时，如图3，可以验证的公式是：____________________（用图中的字母表示公式）； (2)观察图4，写出、、之间的等量关系____________________；并证明你的结论． 【答案】(1)；(2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解图形面积之间的关系是解题的关键． （1）把等式中的m替换成n即可得到答案；图3中大正方形的边长为，据此可得其面积，而大正方形的面积又等于两个边长分别为n、a的正方形面积之和加上两个长为n，宽为a的长方形面积，据此可得答案； （2）中间的小正方形边长为，其面积为，中间的小正方形的面积等于边长为a的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，； 图3中有，即； （2）解：，证明如下： 中间的小正方形边长为，其面积为， 中间的小正方形的面积等于边长为a的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积，即面积为， ∴． 【变式12-12】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式：______． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： ①若，，求的值； ②若三个实数x，y，z满足，，求的值． 【答案】(1)(2)①30；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景． （1）通过不同的方法计算图2中几何图形的面积建立等式； （2）①先将用幂的形式表示出来，再结合（1）的结论即可求解； ②由，求得，再结合（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：由图知，； （2）解：①由图2得， ∵，， ，， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴． 【压轴题型十三】乘法公式的综合压轴 例题13（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”． (1)请再写出一个“幸福数” ； (2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由； (3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”． ①求的值； ②的最小值为 ； ③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”． 【答案】(1)36（答案不唯一）(2)奇数倍，理由见解析(3)①10②11③见解析 【详解】（1）解：； 故再写出一个“幸福数”可以是； （2）“幸福数”是4的奇数倍，理由如下： ∵， ∵为奇数， ∴“幸福数”是4的奇数倍； （3）① ； ∵是“幸福数”， ∴； ②∵，a、b为正整数，且， ∴当时，的值最小为，此时最小，； ③∵， ∴， ∴， ∵为幸福数， ∴为4的奇数倍， ∴ ； ∵为4的奇数倍，为4的偶数倍， ∴也为4的奇数倍， 故为幸福数． 【变式13-1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用； （1）设，由完全平方公式将化为，即可求解； （2）设，，将化为，即可求解； （3）设，，可求出，，将化为，即可求解； 掌握、、、、之间的关系，并能熟练利用其进行运算是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则： ，， ； （2）设，，则有： ，， ， ； （3）设，， ， ，， ，， ， ， ． 【变式13-2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1)(2)①②20(3)1 【分析】本题考查新定义，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，将13写成两个数的平方的和的形式即可； （2）①将等式转化为两个完全平方式的和为0的形式，利用非负性，进行求解即可； ②根据新定义，将转化为两个完全平方式的和的形式，进行求解即可； （3）将转化为完全平方式和数的和的形式，根据非负性求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 【变式13-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：对于依次排列的多项式，，，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c，是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式：，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知1、4、7是一组完美数，则该组完美数的完美因子=______． (2)已知2，5，8是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (3)直接写出a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数． 【答案】(1)9(2)9(3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式及完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是关键． （1）根据新定义解答即可； （2）根据一组完美数之间的关系进行解答即可； （3）设a、b、c的完美因子为常数M，则有，整理令x的系数为0即可得到完美数之间的关系． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：根据题意得： ； （3）解：当时，a，b，c是一组完美数，理由如下： 设a、b、c的完美因子为常数M，则有：， ∴， 当时，M为常数． ∴． 【变式13-4】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得， ，得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：是解题的关键． （1）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： 整理得 ； （2）解： ． 【变式13-5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（，，都是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)不是平衡多项式(2) 【分析】本题考查了整式混合运算，理解平衡多项式的定义，列出算式是解题关键． （1）根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义分三种情况分别计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴由定义可知，不是平衡多项式 （2）解：∵是平衡多项式， 分三种情况： 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴与，，都是非零常数相矛盾，不合题意舍去； 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴， ∴； 综上所述，平衡因子． 【变式13-6】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________； ②若可配方成（、为常数），则___________． 探究问题： （2）①已知，则___________； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________ 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值 【答案】（1）①；②；（2）①；②13；（3）； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把29分为两个整数的平方和，即可； ②原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值； ②根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （3）将已知等式表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； ② ∵S为“完美数”， 又，是完全平方式， ∴也是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：13； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【变式13-7】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 类比应用： （3）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； （2）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； （3）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 【变式13-8】（24-25七年级下·福建漳州·期中）数学兴趣小组开展探究活动，研究了以下问题：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差是否能被4整除？这两个数的积能否表示为两个正整数的平方差？ (1)指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数，）： 3 1 4 2 5 3 ______①_______…… ．．． ．．． ．．． ．．． ____②____ 按上表规律，完成下列问题： （I）补全表格：_____①______；____②_____； （II）探究发现：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差______（填“能”或“不能”）被4整除； (2)兴趣小组还发现，当两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差，例：． 设这两个不同的正整数分别为，请用含的等式表示该结论，并借助运算说明这个结论是正确的． 【答案】(1)（I）①；②；（II）能(2)；证明见解析 【分析】（1）（Ⅰ）①根据表格中数据信息进行解答即可； ②根据数据规律得出即可； （Ⅱ）根据可以得出结论； （2）根据，得出，即可得出答案． 本题主要考查数字规律探索，整式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】（1）解：（Ⅰ）①根据表格中数据可知：； ②根据题意可知：； （Ⅱ）∵， ∴两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差能被4整除； （2）解：． 证明如下： ， ． 同为偶数或奇数，且， 、均为正整数． 两个不同的正整数同为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差． 【变式13-9】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为______； (2)如果，则；如果，则；如果，则． 已知，，请比较A与B的大小，并说明理由； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；(2)(3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、代数式求值、整式的加减、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键； （1）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，从而可以判断得解； （2）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，进而可以判断得解； （3）依据题意，由，从而，则，可得，，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，． 又∵对于任意实数满足， ． 的最小值为． 故答案为：； （2）解：由题意得， ． ∵对于任意实数满足， ． ． （3）解：∵， ∴， ∴． ∴，， ∴，， ； 【变式13-10】（24-25七年级下·广东深圳·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式 因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求 (1)多项式的最小值是多少，并写出对应的x的取值； (2)多项式的最大值是多少，并写出对应的x的取值． 【答案】(1)当时，原多项式的最小值是3(2)当时，原多项式的最大值是9 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点、正确理解题意是解题的关键． （1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 因为无论x取什么数，都有的值为非负数， 所以的最小值为0，此时， 所以的最小值是． 所以当时，原多项式的最小值是3； （2）解： ， ∵， ∴当值最大， 解得， 此时原式的最大值为． ∴时，原多项式的最大值是9． 1．（2025·四川南充·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式以及积的乘方进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为，， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则的值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】将代数式变形为，代入求值即可．本题主要考查了完全平方公式和求代数式的值，观察已知条件和要求的结果之间的联系，熟练运用完全平方公式进行变形计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 故选：C 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（   ） A．0 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键． 根据每个正方形四个顶点上的四个数字的和都等于16，则三个正方形上的数字之和为48，可得，由于，进而得，即可解决问题． 【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16， ∴三个正方形顶点上的数字之和为：， 则到这个数字之和为：， ∵、、都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴． 故选D． 5．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是(   ) A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解决本题的关键是求出两个偶数的平方差的代数式是多少．设连续两个偶数为、为整数，这两个数的平方差是，根据选项，可得、、、，求出选择符合题意的的值． 【详解】解：设连续两个偶数为、为整数， ， A，，，不符合题意； B，，，不符合题意； C，，，，，，符合题意； D，，，不符合题意． 故选：C． 6．（24-25七年级下·山东青岛·期中）下列说法中正确的有（   ）个 ①若，，则； ②若，，则； ③已知关于的多项式与的乘积展开式中不含项和项，则． ④能使用乘法公式简便计算． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了幂的混合运算，多项式乘以多项式，乘法公式的应用；根据幂的运算法则，整式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：①若，，则，故①错误； ②若，，则，故②错误； ③ 关于的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴ ∴ ∴，故③正确； ④能使用乘法公式简便计算，故④正确 故选：B． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知若，且，则： ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式，首先利用完全平方公式求出，利用完全平方公式把展开，可得：原式，再把已知代数式的值代入计算即可． 【详解】解：， ， 整理得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式因式分解，然后整体代入计算解题． 【详解】解：， 故答案为：8． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值． 【详解】解：， ， 解得：． 10．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是完全平方式，观察公式的构成是解题的关键． 根据完全平方公式：，观察其构造得到，即可得出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式是完全平方式， ∴， ∴ 当时，； 当时，； 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是45，点H在上，点I在上，则阴影部分的面积是 ． 【答案】22.5 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，用含a、b的代数式先表示出两个正方形的面积差，再利用a、b表示出阴影三角形的面积，代入计算即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴，， ∵大正方形与小正方形的面积之差是45， ∴， ∴， ． ∴阴影部分的面积为22.5． 故答案为：22.5． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期中）实践课上，小郑做了一个边长为的正方形，若把这个正方形的边长减少，则其面积减少了 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，列代数式，边长减少以后的正方形的边长是，原来正方形的面积减去边长减少后的面积就是减少的面积，然后利用乘法公式计算即可． 【详解】解：正方形减少的面积是． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期中）数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的规定是解题的关键． 先根据新定义变形，再化简可得，把的值代入计算即可． 【详解】解：， 由题意得：， 整理得， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）若，，则 ．（填，或） 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的变形运算，有理数的大小比较，由平方差公式得，再利用作差法比较即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米(2)13200平方米 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积计算即可； （2）把，，代入（1）所求结果中计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）， 绿化的总面积为13200平方米． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列关于自然数的等式： … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1)(2)． 【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究； （1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是被减数的底数的2倍减1，计算的结果是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可． （2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第四个等式为， 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式为． 17．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，两个形状大小相同的长方形和长方形，点在边上，，． (1)的面积大小为______，的面积大小为______． (2)用含，，的代数式表示图中阴影部分的面积． (3)当，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，(2)(3)20 【分析】本题考查列代数式以及整式乘法的应用．正确的识图，得到图形的边长，是解题的关键． （1）利用三角形的面积公式进行计算，列出代数式即可； （2）延长，交于，利用割补法求出阴影部分的面积，利用整体思想代入代数式，求解即可； （3）对进行因式分解，将，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： 如图，延长，交于， ， ∴； ∴阴影部分的面积用代数式表示为：； （3）解：当，时，． 18．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．老师用1张种纸片，1张种纸片，2张种纸片拼成如图②的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②大正方形的面积，你能得到等式：___________． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值； (3)从图①中的三种纸片中选取若干张，用它们拼一个长方形验证等式：成立，请画出拼出的长方形（请在图中标注选取的纸片的边长）． 【答案】(1)(2)(3)见详解（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）方法一：根据正方形的面积边长的平方进行计算，方法二：根据正方形的面积为两个正方形的面积加上两个长方形的面积进行计算即可得出答案． （2）根据（1）的结论，即可解答； （3）根据，选取A纸片1张，B纸片2张，C纸片3张拼成长为，宽为的长方形即可． 【详解】（1）解：用两种不同的方法表示图大正方形的面积， 方法一：；方法二：； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：根据，选取A纸片1张，B纸片2张，C纸片3张拼成长为，宽为的长方形即可． 如下图所示：(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题04 乘法公式的相关求解（苏科2024） 【11个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】运用乘法公式进行判断式子是否正确 1 【基础题型二】利用乘法公式比较大小 3 【基础题型三】利用“知一求二”求代数式的值 4 【基础题型四】利用“配凑法”求代数式的值 5 【基础题型五】利用“首尾互倒”求代数式的值 5 【基础题型六】通过对乘法公式进行变形求值 6 【基础题型七】利用完全平方公式求参数的值 7 【基础题型八】利用乘法公式计算 8 【基础题型九】利用乘法公式进行简便运算 10 【基础题型十】乘法公式与几何图形结合 11 【基础题型十一】整式的化简求值混合运算 14 【压轴题型十二】乘法公式在几何图形中的综合应用 16 【压轴题型十三】乘法公式的综合压轴 24 【基础题型一】运用乘法公式进行判断式子是否正确 例题1（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·江西萍乡·期中）下列乘法公式运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）下列算式中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列乘法公式运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-7】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-8】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【基础题型二】利用乘法公式比较大小 例题2（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）若，，则的值满足（   ） A．小于0 B．小于或等于0 C．大于0 D．大于或等于0 【变式2-2】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）若，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）若代数式，，则的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数 【变式2-4】（2025·安徽马鞍山·一模）已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-5】（23-24七年级下·全国·期中）已知（x为任意有理数），则M，N的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-6】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则 (填“”“”或“”)． 【变式2-7】（24-25八年级上·北京大兴·期末）若，，比较大小：P Q（用“”或“”或“”填空）． 【基础题型三】利用“知一求二”求代数式的值 例题3（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值为 ． 【变式3-1】（24-25九年级下·福建福州·期中）若，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 【变式3-4】（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知，则的值是（   ） A．9 B．3 C．-3 D．±3 【变式3-5】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式3-6】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）已知，则代数式的值是（   ） A．8 B． C．4 D． 【变式3-7】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，则的值为 ． 【变式3-8】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）若，则 ． 【变式3-9】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若，，则的值为 ． 【变式3-10】（24-25七年级上·上海普陀·期中）如果，那么 ． 【基础题型四】利用“配凑法”求代数式的值 例题4（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若a，b满足，则的值为 ． 【变式4-1】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知，则代数式的值为 ． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知 ，则的值是 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，那么的值为 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足，则 ． 【变式4-5】（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，则的值为 ． 【基础题型五】利用“首尾互倒”求代数式的值 例题5（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则 （1） ； （2） ； 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则a，b之间的关系式是 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，则等于 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·四川凉山·期中）已知，且，求 ． 【变式5-4】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知，则 ； ． 【变式5-5】（2024·山东聊城·一模）已知：，则 ． 【变式5-6】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，则的值为 ． 【变式5-7】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则 ． 【基础题型六】通过对乘法公式进行变形求值 例题6（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知a，b，c满足，，，则的值为（   ） A．5 B． C．6 D． 【变式6-1】（24-25八年级上·福建福州·期中）若，，则的值是（   ） A．1025 B．1998 C．2011 D．2050 【变式6-2】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，，，，则的值等于 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么代数式的值是 ． 【变式6-4】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知，则的值是 ． 【变式6-5】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，那么代数式的值为 ． 【变式6-6】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则代数式的值为 ． 【变式6-7】（24-25七年级下·湖南湘潭·期中） 【变式6-8】（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）已知，则的值是 ． 【变式6-9】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为 ． 【变式6-10】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则 ． 【变式6-11】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值等于 ． 【变式6-12】（24-25七年级下·重庆·期中）若满足，则 ． 【基础题型七】利用完全平方公式求参数的值 例题7（24-25七年级下·湖南郴州·期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如果能写成一个完全平方的形式，那么等于（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·天津河东·期末）如果是完全平方式，那么 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【变式7-4】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若是一个完全平方式，则的值等于 ． 【变式7-5】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果（是常数）是个完全平方式，那么的值为 ． 【变式7-6】（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知是一个完全平方式，则的值是 ． 【变式7-7】（24-25八年级下·四川雅安·期中）若是完全平方式，则的值是 ． 【变式7-8】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若二次三项式是完全平方式，则的值是 ． 【变式7-9】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）若关于x的二次三项式是完全平方式，则k的值是 ． 【变式7-10】（24-25七年级下·四川成都·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【变式7-11】（24-25八年级下·广东茂名·期中）若是完全平方式，则m的值是 ． 【基础题型八】利用乘法公式计算 例题8（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) 【变式8-1】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）计算： (1) (2) (3) 【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）计算：． 【变式8-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）计算下列各题： (1) (2) 【变式8-4】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算或化简． (1)； (2)； (3)； 【变式8-5】（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-6】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2) 【变式8-7】（24-25七年级下·重庆·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-8】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-9】（24-25七年级下·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式8-10】（24-25七年级下·河南焦作·期中）计算： (1)． (2)． 【基础题型九】利用乘法公式进行简便运算 例题9（24-25七年级下·四川达州·期中）计算： ． 【变式9-1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）利用平方差公式计算： ． 【变式9-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算：的值为 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）简便运算： ． 【变式9-4】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【变式9-5】（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）计算 ． 【变式9-6】（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算： ． 【变式9-7】（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【基础题型十】乘法公式与几何图形结合 例题10（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式10-4】（24-25七年级下·福建漳州·期中）根据图中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的等式是（   ） A． B． C． D． 【变式10-5】（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，4个长为、宽为的小长方形围成了一个大正方形，利用图中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 【变式10-6】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【变式10-7】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【变式10-8】（2025·内蒙古赤峰·一模）“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（   ） A． B． C． D． 【变式10-9】（24-25七年级下·山西运城·期中）用两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式为（　　） A． B． C． D． 【变式10-10】（24-25七年级下·北京顺义·期中）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号） 【基础题型十一】整式的化简求值混合运算 例题11（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-1】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-2】（2025·湖南长沙·二模）先化简，再求值：，其中 【变式11-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式11-5】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-6】（24-25七年级下·江西萍乡·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-7】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-8】（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-9】（24-25七年级下·四川成都·期中）化简求值：，其中，． 【变式11-10】（2025·江苏镇江·一模）先化简，再求值：，其中，． 【压轴题型十二】乘法公式在几何图形中的综合应用 例题12（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【变式12-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【变式12-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 【变式12-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，是一个长为4a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系． (2)利用（1）中的结论，请求下列问题： ①若，求的值； ②若，求的值． (3)如图3，正方形和正方形重叠，重叠部分是长方形，若正方形的边长为，长方形的面积是，求正方形的面积（若正方形的面积是定值，请求出这个定值；若正方形EFGH的面积不是定值，请用含的代数式表示）． 【变式12-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． (1)用含、的代数式表示________________； (2)若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； (3)记的面积为，则______________（用字母表示）． 【变式12-5】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． (2)如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． (3)利用用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 【变式12-6】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 【变式12-7】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽和长分别为和的长方形纸片拼出一个面积为的长方形．请仿照图2，画出拼出的长方形并求出的值． (4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数式恒等式．图4表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中的数据以及图形的变化关系，写出一个数学等式 ．（等式的两边均不用化简） 【变式12-8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【变式12-9】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【变式12-10】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图1，边长为的正方形切割成个小块，分别为个小块的面积． (1)用两种方法表示图1中大正方形的面积，由此得到的等量关系为_____． (2)利用（1）中的结论解决问题：若，，则_____． (3)如图2，线段上一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，，求图中阴影部分面积． (4)若实数满足，求代数式的值． 【变式12-11】（24-25七年级下·北京通州·期中）在学习整式的乘法运算时我们常常利用平面图形中面积的等量关系验证某些数学法则、公式．下面图1，图2，图3，图4是揭示多项式与多项式相乘的法则，以及相应的乘法公式之间的联系．观察下面图形，解答下列问题．（n、m、a、b都是正整数） (1)如图1验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________；当，时，如图3，可以验证的公式是：____________________（用图中的字母表示公式）； (2)观察图4，写出、、之间的等量关系____________________；并证明你的结论． 【变式12-12】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式：______． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： ①若，，求的值； ②若三个实数x，y，z满足，，求的值． 【压轴题型十三】乘法公式的综合压轴 例题13（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”． (1)请再写出一个“幸福数” ； (2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由； (3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”． ①求的值； ②的最小值为 ； ③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”． 【变式13-1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 【变式13-2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 【变式13-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：对于依次排列的多项式，，，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c，是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式：，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知1、4、7是一组完美数，则该组完美数的完美因子=______． (2)已知2，5，8是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (3)直接写出a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数． 【变式13-4】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得， ，得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【变式13-5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（，，都是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 【变式13-6】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________； ②若可配方成（、为常数），则___________． 探究问题： （2）①已知，则___________； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________ 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值 【变式13-7】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 类比应用： （3）若，求的值． 【变式13-8】（24-25七年级下·福建漳州·期中）数学兴趣小组开展探究活动，研究了以下问题：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差是否能被4整除？这两个数的积能否表示为两个正整数的平方差？ (1)指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数，）： 3 1 4 2 5 3 ______①_______…… ．．． ．．． ．．． ．．． ____②____ 按上表规律，完成下列问题： （I）补全表格：_____①______；____②_____； （II）探究发现：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差______（填“能”或“不能”）被4整除； (2)兴趣小组还发现，当两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差，例：． 设这两个不同的正整数分别为，请用含的等式表示该结论，并借助运算说明这个结论是正确的． 【变式13-9】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为______； (2)如果，则；如果，则；如果，则． 已知，，请比较A与B的大小，并说明理由； (3)已知，求的值． 【变式13-10】（24-25七年级下·广东深圳·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式 因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求 (1)多项式的最小值是多少，并写出对应的x的取值； (2)多项式的最大值是多少，并写出对应的x的取值． 1．（2025·四川南充·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则的值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．9 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（   ） A．0 B．6 C．7 D．8 5．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是(   ) A．48 B．50 C．52 D．54 6．（24-25七年级下·山东青岛·期中）下列说法中正确的有（   ）个 ①若，，则； ②若，，则； ③已知关于的多项式与的乘积展开式中不含项和项，则． ④能使用乘法公式简便计算． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知若，且，则： ． 8．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，，则 ． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是 ． 10．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为 ． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是45，点H在上，点I在上，则阴影部分的面积是 ． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期中）实践课上，小郑做了一个边长为的正方形，若把这个正方形的边长减少，则其面积减少了 ． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期中）数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为 ． 14．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）若，，则 ．（填，或） 15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列关于自然数的等式： … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 17．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，两个形状大小相同的长方形和长方形，点在边上，，． (1)的面积大小为______，的面积大小为______． (2)用含，，的代数式表示图中阴影部分的面积． (3)当，．求图中阴影部分的面积． 18．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．老师用1张种纸片，1张种纸片，2张种纸片拼成如图②的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②大正方形的面积，你能得到等式：___________． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值； (3)从图①中的三种纸片中选取若干张，用它们拼一个长方形验证等式：成立，请画出拼出的长方形（请在图中标注选取的纸片的边长）． 学科网（北京）股份有限公司 $$