精品解析：吉林省通化市梅河口市博文学校2023-2024学年高二下学期第三次考试数学试题

2023--2024学年第二学期第三次考试 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 从3名老师和7名学生中各选1人组成一个小组，则不同的选法共有（ ） A. 4种 B. 10种 C. 21种 D. 45种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】不同的选法共有种. 故选：C 2. 二项式的展开式中无理项的项数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】写出展开式的通项，再计算出有理项的项数，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（其中且）， 所以展开式中一共有项，令，则或或或， 所以展开式中有理项共有项，则无理项有项. 故选：B 3. 现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可 【详解】解：由已知得,， 则， 故选：A 【点睛】此题考查条件概率问题，属于基础题 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解. 【详解】，， ， 曲线在点处的切线方程为： ，即， 故选：C． 5. 多项式的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用杨辉三角展开，再分析展开式与相乘的积中项即可得解. 【详解】由杨辉三角知， 的 展开式的项有， 所以展开式中含项的系数为4. 故选：D 6. 某实验测试规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可. 【详解】X的所有可能取值为1,2,3， ，，， 由， 解得或， 又因为，所以. 故选：A. 7. 随机变量X的取值范围为0，1，2，若，则D（X）＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则由，，列出方程组，求出，，由此能求出. 【详解】设，， 由题意，，且， 解得，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为与图象有个不同交点，利用导数可求得时的单调性和最值，由此可得的图象，采用数形结合方式可求得的取值范围. 【详解】若有个不同零点，则与有个不同交点； 当时，，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 又当时，恒成立，， 由此可得与大致图象如下图所示， 由图象可知：当，即时，与有个不同交点； 实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率的概率公式以及概率的性质结合条件概率公式的变形，分别判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，, 而不一定相等，故不一定成立，故A错误； 对于B，因为概率的取值范围为， 所以任何事件的概率都不可能大于1，故错误，B错误； 对于C，由于，故，C正确； 对于D，, 而不一定等于，故D错误， 故选：ABD 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算. 【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确； B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确； C：课程“御”“书”“数”排在不相邻三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确； D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误. 故选：ABC. 11. 若各项的二项式系数之和为32，则（ ） A. 的展开式共有5项 B. C. 的展开式的常数项为40 D. 的展开式的第5项的系数为5 【答案】BC 【解析】 【分析】根据各项的二项式系数之和，求出n的值，即可判断A；根据组合数性质判断B；利用二项式展开式的通项公式可判断C，D. 【详解】由各项二项式系数之和为32，得，得， 则的展开式共有6项，A错误； ，B正确； 的展开式的通项公式为， 令，故的常数项为，C正确； 的展开式的第5项的系数为，D错误， 故选：BC 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分.） 12. 若，则______． 【答案】2555 【解析】 【分析】分别赋值和即可求得答案. 【详解】因为， 所以令时， ， 即， 令时， ， 即， 所以 ， 故答案为：2555. 13. 设随机变量，，若，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】 由题意可得，根据公式可得可得答案. 【详解】随机变量，则 ，解得： 故答案为：6 14. 已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第___________项. 【答案】4 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，利用作商法推断系数的单调性求得答案. 【详解】依题意，，即，所以,解得； 展开式的通项公式，令， 当时，，由，解得， 则，即最大， 所以展开式系数最大项是第4项. 故答案为：4 四、解答题：（共6小题共70分） 15. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． （1）求任意取出1个零件是合格品的概率； （2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 【答案】（1） （2）0.25 【解析】 【分析】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可； （2）同（1），结合条件概率的公式求解即可. 【小问1详解】 设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”． ． 【小问2详解】 ． 16. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝9，S3＝15. （1）求Sn； （2）设数列的前n项和为Tn，证明：. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出. （2）利用裂项求和方法即可得出. 【详解】（1）解：S3＝3a2＝15⇒a2＝5，∴， ∴an＝2n+1，； （2）证明： . 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 17. 为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图. （1）求所抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）将频率视为概率，若某家庭购买4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于内的支数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：. 【解析】 分析】（1）根据频率分布直方图求出平均数； （2）首先求出每支灭活疫苗的质量指标值位于内的概率，可得，即可求出随机变量的分布列和数学期望； 【详解】解：（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为： 的频率为：；的频率为：； 的频率为：；的频率：； 的频率为：， ∴. （2）根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于内的概率为， 所以，的可能取值为：0，1，2，3，4， ，， ，， ， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 ∴. 18. 设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）如果对所有的≥1，都有≤，求的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递减，在单调递增； （2）． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，再对的取值范围进行讨论，即可得的单调性；（2）设，先对函数求导，再对的取值范围进行讨论函数的单调性，进而可得的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，，当时， ， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 法一：设，则， 因为≥1，所以， （ⅰ）当时，，，所以在单调递减，而，所以对所有的≥1，≤0，即≤； （ⅱ）当时，，若，则， 单调递增，而，所以当时，，即； （ⅲ）当时，，，所以在单调递增，而，所以对所有的≥1，，即； 综上，取值范围是. 法二：当≥1时， ≤， 令，则 ， 令，则，当≥1时， ， 于是在上为减函数，从而，因此， 于是在上为减函数，所以当时有最大值， 故，即的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为3，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据的区间单调性易知在上恒成立，进而求参数范围； （2）讨论、、，利用导数研究单调性，再结合其最小值求参数即可. 【详解】（1）∵在上是增函数， ∴在上恒成立，又， ∴在上恒成立，即，解得． 易知时，在上恒成立，故实数的取值范围是． （2）①当时，在上恒成立， ∴在区间上为增函数， ∴在上，，解得（舍去）； ②当时， 在上，在上， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴在上，，解得（舍去）； ③当时，在上恒成立， ∴在上为减函数，即，解得． 综上，实数的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023--2024学年第二学期第三次考试 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 从3名老师和7名学生中各选1人组成一个小组，则不同的选法共有（ ） A. 4种 B. 10种 C. 21种 D. 45种 2. 二项式的展开式中无理项的项数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 多项式的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 某实验测试规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量X的取值范围为0，1，2，若，则D（X）＝（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列说法不正确是（ ） A B. C. D. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 11. 若各项的二项式系数之和为32，则（ ） A. 的展开式共有5项 B. C. 的展开式的常数项为40 D. 的展开式的第5项的系数为5 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分.） 12. 若，则______． 13. 设随机变量，，若，则______. 14. 已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第___________项. 四、解答题：（共6小题共70分） 15. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． （1）求任意取出1个零件是合格品的概率； （2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 16. 已知等差数列{an}前n项和为Sn，a4＝9，S3＝15. （1）求Sn； （2）设数列的前n项和为Tn，证明：. 17. 为快速控制新冠病毒传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图. （1）求所抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）将频率视为概率，若某家庭购买4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于内的支数为，求的分布列和数学期望. 18. 设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）如果对所有的≥1，都有≤，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为3，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$