精品解析：辽宁省县域重点高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度辽宁省县域重点高中高二下学期期中考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 256 3. 某超市购进一批食盐，每袋食盐的质量（单位：克）服从正态分布，若，则（ ） A. 0.98 B. 0.985 C. 0.99 D. 0.995 4. 已知数列，3，，，…，则是该数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 5. 某林业局计划将公园内一块梯形状空地栽种花卉，从梯形的上底边向下底边共栽种13排，上底边第一排栽种花卉10株，第n排栽种花卉数目比第排多株，则第13排栽种花卉（ ） A 112株 B. 102株 C. 92株 D. 82株 6. 已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（ ） A. 54.5% B. 52.5% C. 50.5% D. 50.25% 7. 已知有10名学生参加AI知识竞赛的初赛，初赛共设置3道试题，且每道试题必须作答，至少答对2道试题，才能进入复赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响．记n人进入复赛的概率为，当取得最大值时，（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知函数的导函数为，按下列操作构造等边三角形：边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，点在的图象上，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C D. 10. 设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（ ） A B. 事件A，B互相独立 C. D. 11. 已知数列满足，，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当的前n项和取得最小值时， D. 对任意，不等式，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，若，，则公差d=______． 13. 已知函数，则=______． 14. 甲、乙二人玩抛掷两枚质地均匀硬币的游戏，约定如下：甲、乙中先由一人抛掷，直到出现两枚硬币都正面向上或已经抛掷10次，则换另一人抛掷.若甲先抛掷，抛掷X次换为乙抛掷，则X的数学期望=______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且． （1）求a的值； （2）若曲线在点处的切线与函数的图象也相切，求b的值． 16. 某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率y%与土壤的湿度x%的相关数据如下表： x 40 45 50 55 60 y 50 56 64 72 83 （1）求y关于x的相关系数r（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系？ （2）求y关于x的回归直线方程，并预测当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的值． 参考公式及数据：对于一组数据，，…，，回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，，，． 17. 已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：． 18. 某医疗机构为了解某种地方性疾病与饮食习惯间的关系（饮食习惯分为良好与不良），从该地区随机抽取300名居民，得到如下2×2列联表： 饮食习惯 合计 良好 不良 患有这种地方性疾病 40 未患有这种地方性疾病 200 合计 220 （1）请补充上面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有关联？ （2）通过抽血化验的方式进行这种地方性疾病的检验，随机地将k个人的血样混合再化验，如果混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明这k个人中至少一人血样呈阳性，需要对每个人再分别化验一次．已知5人的混管血样呈阳性． （ⅰ）若这5人中有2人患有这种地方性疾病，现将这5人每个人的血样逐个化验，直到查出患有这种地方性疾病的2人为止，设X表示所需化验次数，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若这5人中有1人患有这种地方性疾病，从这5人中取出3人的血样混合一起化验，若呈阳性，则对这3人的血样再逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止；若呈阴性，则对剩下2人的血样逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止．设Y表示所需化验次数，求． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 19. 在数列中，若存在项：，，…，，令，，，都有，则称为的“—子减列”． （1）在4项数列中，，，，，求出的所有“—子减列”； （2）已知数列满足，且，． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若数列只有11项，且为的“—子减列”，中任意3项都不构成等比数列，求k的所有取值构成的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度辽宁省县域重点高中高二下学期期中考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义列式计算． 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：C. 2. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 256 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由求得，根据等比数列基本量运算进而求得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 所以，又， . 故选：D. 3. 某超市购进一批食盐，每袋食盐的质量（单位：克）服从正态分布，若，则（ ） A. 0.98 B. 0.985 C. 0.99 D. 0.995 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由正态分布的对称性，， . 故选：A. 4. 已知数列，3，，，…，则是该数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的规律，写出通项公式求解. 【详解】因为，，，，…， 所以，令，解得. 故选：C. 5. 某林业局计划将公园内一块梯形状空地栽种花卉，从梯形的上底边向下底边共栽种13排，上底边第一排栽种花卉10株，第n排栽种花卉数目比第排多株，则第13排栽种花卉（ ） A. 112株 B. 102株 C. 92株 D. 82株 【答案】A 【解析】 【分析】由题，可得，利用相加相消法，再结合等差数列的求和公式得解. 【详解】设第排栽种花卉株，则， 又，则 . 故选：A. 6. 已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（ ） A. 54.5% B. 52.5% C. 50.5% D. 50.25% 【答案】B 【解析】 【分析】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”，事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”，根据全概率公式列式求解. 【详解】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”， 事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”， 则，，，，，， 由全概率公式， 即，解得 故选：B. 7. 已知有10名学生参加AI知识竞赛的初赛，初赛共设置3道试题，且每道试题必须作答，至少答对2道试题，才能进入复赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响．记n人进入复赛的概率为，当取得最大值时，（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的概率公式写出的表达式，列出不等式组，结合组合数的阶乘公式进行求解即可. 【详解】依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 所以，故，， 若最大，则， 故，即， 解得，因为，所以， 所以取最大值时的值为7. 故选：B 8. 已知函数的导函数为，按下列操作构造等边三角形：边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，点在的图象上，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得，进而根据得，根据在的图象上可得，利用的关系可得为等差数列，即可求解通项，进而可得，由等边三角形的面积公式求解. 【详解】由可得，故， 设,则， 由于在的图象上，所以，解得， 当时，，在的图象上，所以 当时，， 设，则 当满足，所以， 当时，，整理得，又，所以， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 故的面积为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为是常数，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BCD. 10. 设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A，B互相独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据结合条件运算得解；对B，根据相互独立事件定义判断；对C，由概率的加法公式求解判断；对D，由事件相互独立，则，代入运算判断. 【详解】对于A，因为，又，所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以事件相互独立，故B正确； 对于C，因，故C错误； 对于D，因为事件相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足，，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当的前n项和取得最小值时， D. 对任意，不等式，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由题得，利用数列单调性定义判断；对B，由题，当时，，利用累乘法求出通项；对C，由题得，可得数列的前6项均小于0，从第7项开始大于0，得解；对D，对分奇数和偶数讨论，将原不等式转化为恒成立，求出最值得解. 【详解】对于A，由题，， 又，由递推式可得，所以是递减数列，故A正确； 对于B，由上面可知，当时，， 将上式累乘得，， 整理得，又，所以，故B错误； 对于C，设，则，， ，，，，， 由指数函数与函数的增长速度可知，当时，， 所以当数列的前n项和取得最小值时，，故C正确； 对于D，当为偶数时，不等式转化为，又， 所以， 当为奇数时，不等式转化为，又， 所以， 综上，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，若，，则公差d=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合基本量运算求解. 【详解】由等差数列的性质，可得， 则，解得， 又，所以，得 故答案为：. 13. 已知函数，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，即可代入求解的值，进而根据导数的定义即可极限的运算性质即可求解. 【详解】，故， 故， 故答案为： 14. 甲、乙二人玩抛掷两枚质地均匀的硬币的游戏，约定如下：甲、乙中先由一人抛掷，直到出现两枚硬币都正面向上或已经抛掷10次，则换另一人抛掷.若甲先抛掷，抛掷X次换为乙抛掷，则X的数学期望=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式可得，即可根据期望的公式得，利用错位相减法求解即可. 【详解】由题意可知：每次抛掷两枚硬币都正面朝上的概率为，则, 则, , 两式相减可得 故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且． （1）求a的值； （2）若曲线在点处的切线与函数的图象也相切，求b的值． 【答案】（1）2 （2）1或5 【解析】 【分析】（1）求导，计算，得解； （2）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，再与联立方程组，由得解. 【小问1详解】 因为，所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）可得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 由题意可得，解得或， 所以的值为1或5. 16. 某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率y%与土壤的湿度x%的相关数据如下表： x 40 45 50 55 60 y 50 56 64 72 83 （1）求y关于x的相关系数r（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系？ （2）求y关于x的回归直线方程，并预测当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的值． 参考公式及数据：对于一组数据，，…，，回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，，，． 【答案】（1），具有较强的线性相关关系 （2），发芽率的预测值为 【解析】 【分析】（1）由题，计算，由相关系数得公式运算判断； （2）根据题意，求出，得到回归直线方程，得解. 【小问1详解】 由题，，， 所以关于的相关系数， 所以与具有较强的线性相关关系. 【小问2详解】 由（1），，则， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 所以当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的预测值为. 17. 已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用与关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果； （2）由（1）得，利用裂项相消法求和，得证. 【小问1详解】 由，当时，， 两式相减得，整理得， 又数列的各项均为正整数，则，即，， 又，解得， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以. 18. 某医疗机构为了解某种地方性疾病与饮食习惯间的关系（饮食习惯分为良好与不良），从该地区随机抽取300名居民，得到如下2×2列联表： 饮食习惯 合计 良好 不良 患有这种地方性疾病 40 未患有这种地方性疾病 200 合计 220 （1）请补充上面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有关联？ （2）通过抽血化验的方式进行这种地方性疾病的检验，随机地将k个人的血样混合再化验，如果混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明这k个人中至少一人血样呈阳性，需要对每个人再分别化验一次．已知5人的混管血样呈阳性． （ⅰ）若这5人中有2人患有这种地方性疾病，现将这5人每个人的血样逐个化验，直到查出患有这种地方性疾病的2人为止，设X表示所需化验次数，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若这5人中有1人患有这种地方性疾病，从这5人中取出3人的血样混合一起化验，若呈阳性，则对这3人的血样再逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止；若呈阴性，则对剩下2人的血样逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止．设Y表示所需化验次数，求． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）答案见详解 （2）（i）答案见详解，（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，完成列联表，利用卡方公式计算，依次判断； （2）（i）的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）的可能取值为，求出相应的概率，求出期望和方差. 【小问1详解】 饮食习惯 合计 良好 不良 患有这种地方性疾病 20 40 60 未患有这种地方性疾病 200 40 240 合计 220 80 300 ， 所以有的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有关联. 【小问2详解】 （i）的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 所以 （ii）的可能取值为， ， ， 所以， . 19. 在数列中，若存在项：，，…，，令，，，都有，则称为的“—子减列”． （1）在4项数列中，，，，，求出的所有“—子减列”； （2）已知数列满足，且，． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若数列只有11项，且为的“—子减列”，中任意3项都不构成等比数列，求k的所有取值构成的集合． 【答案】（1）或 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据“—子减列”的定义求解； （2）（i）由条件变形可得，结合得，证得是等比数列，求得答案；（ii）根据题意，求的所有可能取值，即只要求出的最大值即可，设，则成等比数列，不合题意，可得，同理可得，结合可得，推理可得，这与已知条件矛盾，得，得解. 【小问1详解】 由新定义知的“3—子减列”为或. 【小问2详解】 （i）由，得， 整理得，又，则， 所以，即，又， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 故数列的通项公式为. （ii）由（i）可得数列为， 要求出的所有可能取值，则只需求出的最大值即可， 又，若，则成等比数列，不合题意，则； 若，则成等比数列，不合题意，则； 又，所以，则， 同理，可得，且，所以， 则，这与已知条件矛盾，所以， 此时数列可以为或或等等，其任意3项都不构成等比数列， 所以的所有取值构成的集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $