回归教材：集合、常用逻辑用语、不等式 讲义-2025届高三数学一轮复习

回归课本1 集合、常用逻辑用语、不等式 高考考点 命题分析 集合 高考的必考内容，一般以选择题的形式出现，试题较为简单，属于送分题，命题的热点为集合的基本运算，常结合一元二次不等式的解法进行考查. 常用逻辑用语 考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全称量词命题、存在量词命题的否定，题目难度中等或偏下，以选择题或填空题为主. 不等式 命题点有：①不等式的性质及应用，不等式常与函数相结合；②不等式的解法，常与集合的基本运算相结合；③利用基本不等式求最值、证明不等式等.难度一般不大，常与其他知识相结合. 典题1 （人教A版必修第一册P9习题1.2T4） 在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 【解析】集合表示直线与直线交点的集合， 即显然在直线上，即. 典题2（人教A版必修第一册P35复习参考题1T8）已知集合，求，并解释它们的几何意义. 【解析】 . . 的几何意义是直线与相交于点; 的几何意义是直线与平行，无交点. 【解读扩展】解决集合运算问题的3个技巧 看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键 对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决 应用数形 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解 【真题再现】： （2024全国甲卷数学（理）） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． （2023全国甲卷数学（理）） 2．设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 典题3（人教A版必修第一册P14习题1.3T6）已知全集，试求集合B. 【解析】，， .故. 典题4（人教A版必修第一册P9习题1.2拓广探索T5）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【解析】因为，则，且，所以． 故实数的取值范围为. 【解读扩展】由集合运算求参数范围的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.[提醒]在求出参数后，注意结果的验证（满足互异性） 【真题再现】（2023新课标全国Ⅱ卷） 3．设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 典题5（人教A版必修第一册P22习题1.4T2）在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答）: （1）p:三角形是等腰三角形，q:三角形是等边三角形; （2）在一元二次方程中，有实数根，; （3）; （4）; （5）. 【解析】（1）必要不充分条件；（2）充要条件； （3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件；（5）既不充分也不必要条件. 【解读扩展】判断充分、必要条件的2种方法 定义法 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假.在判断时，确定条件是什么、结论是什么 集合法 利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 【真题再现】（2024全国甲卷数学（理）） 4．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 典题6（人教A版必修第一册P23习题1.4T6）设分别是的三条边，且.我们知道，如果为直角三角形，那么（勾股定理）.反过来，如果，那么为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，为直角三角形的充要条件是.请利用边长分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明. 【解析】（1）设分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中，是锐角，作，D为垂足，如图（1）. 显然 ，即. 充分性:在中，，不是直角. 假设为钝角，如图（2）.作，交BC延长线于点D. 则 . 即，与“”矛盾. 故为锐角，即为锐角三角形. （2）设a，b，c分别是的三条边，且，为钝角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中，为钝角，如图（2），显然: .即. 充分性:在中，， 不是直角，假设为锐角，如图（1）， 则 .即，这与“”矛盾，从而必为钝角，即为钝角三角形. 【解读扩展】由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解，注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 典题7（人教A版必修第一册P31例5）写出下列命题的否定，并判断真假： （1）任意两个等边三角形都相似； （2），. 【解析】（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似. 因为任意两个等边三角形的三边成比例， 所以任意两个等边三角形都相似. 因此这是一个假命题. （2）该命题的否定：，. 因为对任意，， 所以这是一个真命题. 【解读扩展】含量词命题否定的步骤 改写量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写 否定结论 对原命题的结论进行否定 含量词命题真假判断的方法 要判断全称量词命题“”是真命题，需要对集合中的每一个元素，证明成立；要判断存在量词命题“”是真命题，只要在限定集合内找到一个，使成立即可. 【真题再现】（2024新课标全国Ⅱ卷） 5．已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 典题8（人教A版必修第一册P57复习参考题2T2）用不等号“>”或“<”填空： （1）若，且，则______0； （2）若，则______； （3）若，则______． 【解析】（1）<；（2）>；（3）>． 【解读扩展】 1、判断两数（式）大小的方法 作差法 ①作差；②变形；③定号；④结论 作商法 ①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论 2、判断不等式成立常用的3种方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； （2）利用特殊值法排除错误答案； （3）构造函数，利用函数的单调性进行判断. 典题9（人教A版必修第一册P39）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 【解析】将图中的“风车”抽象成如图， 在正方形中有 4个全等的直角三角形.设每个直角三角形的两条直角边的长分别为，那么正方形的边长为，则4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为，由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即可得到不等式. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有， 综上，对任意的，都有，当且仅当时等号成立. 【解读扩展】对于不等关系的探究问题，解题关键是由题意将图中涉及的边和面积用符号表示出来，然后根据对应图形的面积或周长将涉及的相等关系和不等关系表示出来即可． 典题10 （人教A版必修第一册P48习题2.2T1） （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【解析】（1）因为，所以，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为3． （2）因为，所以，， 当且仅当时，等号成立．所以的最大值为5． 【解读扩展】　利用基本不等式求最值的常用方法 配凑法：配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标. 常数代换法： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 典题11 （人教A版必修第一册P58复习参考题2综合运用T6）当取什么值时，一元二次不等式对一切实数都成立？ 【解析】时，不等式恒成立，符合题意； 时，根据题意可得，解得． 综上，时，对一切实数都成立． 【解读扩展】一元二次不等式的解法是基础，将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式联系了起来，能培养学生转化的数学思想．对于一元二次不等式的解法可拓展到分式不等式的解法，以及含参的一元二次不等式的解法及恒成立问题，这部分内容多与集合、函数等综合在一起考查. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 回归课本1 集合、常用逻辑用语、不等式 高考考点 命题分析 集合 高考的必考内容，一般以选择题的形式出现，试题较为简单，属于送分题，命题的热点为集合的基本运算，常结合一元二次不等式的解法进行考查. 常用逻辑用语 考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全称量词命题、存在量词命题的否定，题目难度中等或偏下，以选择题或填空题为主. 不等式 命题点有：①不等式的性质及应用，不等式常与函数相结合；②不等式的解法，常与集合的基本运算相结合；③利用基本不等式求最值、证明不等式等.难度一般不大，常与其他知识相结合. 典题1 （人教A版必修第一册P9习题1.2T4） 在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 【解析】集合表示直线与直线交点的集合， 即显然在直线上，即. 典题2（人教A版必修第一册P35复习参考题1T8）已知集合，求，并解释它们的几何意义. 【解析】 . . 的几何意义是直线与相交于点; 的几何意义是直线与平行，无交点. 【解读扩展】解决集合运算问题的3个技巧 看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键 对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决 应用数形 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解 【真题再现】： （2024全国甲卷数学（理）） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D （2023全国甲卷数学（理）） 2．设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 典题3（人教A版必修第一册P14习题1.3T6）已知全集，试求集合B. 【解析】，， .故. 典题4（人教A版必修第一册P9习题1.2拓广探索T5）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【解析】因为，则，且，所以． 故实数的取值范围为. 【解读扩展】由集合运算求参数范围的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.[提醒]在求出参数后，注意结果的验证（满足互异性） 【真题再现】（2023新课标全国Ⅱ卷） 3．设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 典题5（人教A版必修第一册P22习题1.4T2）在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答）: （1）p:三角形是等腰三角形，q:三角形是等边三角形; （2）在一元二次方程中，有实数根，; （3）; （4）; （5）. 【解析】（1）必要不充分条件；（2）充要条件； （3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件；（5）既不充分也不必要条件. 【解读扩展】判断充分、必要条件的2种方法 定义法 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假.在判断时，确定条件是什么、结论是什么 集合法 利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 【真题再现】（2024全国甲卷数学（理）） 4．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 典题6（人教A版必修第一册P23习题1.4T6）设分别是的三条边，且.我们知道，如果为直角三角形，那么（勾股定理）.反过来，如果，那么为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，为直角三角形的充要条件是.请利用边长分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明. 【解析】（1）设分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中，是锐角，作，D为垂足，如图（1）. 显然 ，即. 充分性:在中，，不是直角. 假设为钝角，如图（2）.作，交BC延长线于点D. 则 . 即，与“”矛盾. 故为锐角，即为锐角三角形. （2）设a，b，c分别是的三条边，且，为钝角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中，为钝角，如图（2），显然: .即. 充分性:在中，， 不是直角，假设为锐角，如图（1）， 则 .即，这与“”矛盾，从而必为钝角，即为钝角三角形. 【解读扩展】由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解，注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 典题7（人教A版必修第一册P31例5）写出下列命题的否定，并判断真假： （1）任意两个等边三角形都相似； （2），. 【解析】（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似. 因为任意两个等边三角形的三边成比例， 所以任意两个等边三角形都相似. 因此这是一个假命题. （2）该命题的否定：，. 因为对任意，， 所以这是一个真命题. 【解读扩展】含量词命题否定的步骤 改写量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写 否定结论 对原命题的结论进行否定 含量词命题真假判断的方法 要判断全称量词命题“”是真命题，需要对集合中的每一个元素，证明成立；要判断存在量词命题“”是真命题，只要在限定集合内找到一个，使成立即可. 【真题再现】（2024新课标全国Ⅱ卷） 5．已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 典题8（人教A版必修第一册P57复习参考题2T2）用不等号“>”或“<”填空： （1）若，且，则______0； （2）若，则______； （3）若，则______． 【解析】（1）<；（2）>；（3）>． 【解读扩展】 1、判断两数（式）大小的方法 作差法 ①作差；②变形；③定号；④结论 作商法 ①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论 2、判断不等式成立常用的3种方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； （2）利用特殊值法排除错误答案； （3）构造函数，利用函数的单调性进行判断. 典题9（人教A版必修第一册P39）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 【解析】将图中的“风车”抽象成如图， 在正方形中有 4个全等的直角三角形.设每个直角三角形的两条直角边的长分别为，那么正方形的边长为，则4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为，由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即可得到不等式. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有， 综上，对任意的，都有，当且仅当时等号成立. 【解读扩展】对于不等关系的探究问题，解题关键是由题意将图中涉及的边和面积用符号表示出来，然后根据对应图形的面积或周长将涉及的相等关系和不等关系表示出来即可． 典题10 （人教A版必修第一册P48习题2.2T1） （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【解析】（1）因为，所以，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为3． （2）因为，所以，， 当且仅当时，等号成立．所以的最大值为5． 【解读扩展】　利用基本不等式求最值的常用方法 配凑法：配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标. 常数代换法： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 典题11 （人教A版必修第一册P58复习参考题2综合运用T6）当取什么值时，一元二次不等式对一切实数都成立？ 【解析】时，不等式恒成立，符合题意； 时，根据题意可得，解得． 综上，时，对一切实数都成立． 【解读扩展】一元二次不等式的解法是基础，将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式联系了起来，能培养学生转化的数学思想．对于一元二次不等式的解法可拓展到分式不等式的解法，以及含参的一元二次不等式的解法及恒成立问题，这部分内容多与集合、函数等综合在一起考查. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$