9.2.4 总体离散程度的估计 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章 统计 9.2 用样本估计总体 9.2.4 总体离散程度的估计 仅知道一组数据集中趋势的信息， 有时还不能使我们做出有效决策。 新课引入 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？ 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 从数据看，甲、乙射击成绩的平均数、众数、中位数均为. 无差异 从统计图看，甲的成绩比较分散，波动较大；乙的成绩比较集中，比较稳定. 有差异 如何度量？ 新课讲解—数据离散程度的度量 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差. 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 如果射击成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远. 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量 成绩的波动幅度. 你还能想到其他刻画数据离散程度的办法吗？ 新知讲解—方差和标准差的定义 如何定义“平均距离”？ 假设一组数据是用表示这组数据的平均数. 则 表示到的距离. 则这组数据到的平均距离为 ，即 为了避免绝对值的计算复杂，改用平方替代，即称为这组数据的方差.为了使数据单位一致，取算数平方根，称为这组数据的标准差. 标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 新知讲解—方差和标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 可根据方差来判断两名运动员的成绩的离散程度， 计算可得 由可知,____的成绩离散程度大. 由此可以估计,____比____的射击成绩稳定. 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果①两人都排在前面，就选______________选手； ②如果两人都排在后面，就选____选手. 甲 甲 乙 成绩稳定的乙 甲 典例分析—方差和标准差的计算 例1.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据如下： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 （1）分别计算两组数据的平均数及方差； （2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. （1）＝100，＝100.＝，＝1. （2）两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又＞， 所以乙机床加工零件的质量更稳定. 学以致用—方差和标准差的计算 训练1.（1）现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的 标准差是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 平方的均值减去均值的平方. 学以致用—方差和标准差的计算 训练1.（2）一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（　　） A.40.6，1.1 B.48.8，4.4 C.81.2，44.4 D.78.8，75.6 ，则 ； (2) 方法总结—方差和标准差的计算 1.计算方差常用公式 （1）定义法：； （2）简化法：. 2.具有线性关系的数据的平均数和方差 若数据与之间满足关系，且数据的平均数为，方差为，那么 的平均数为，方差为，标准差为. 教材P213练习2 学以致用—方差和标准差的计算 巩固.(1)若样本数据的平均数为，则 的平均数为(　 ) A．8 B．15 C．16 D．32 (2)若样本数据的标准差为，则 的标准差为(　 ) A．8 B．15 C．16 D．32 （3）随机调查某校50个学生的午餐费，结果如下表，这50个学生午餐费的平均值和方差分别是(　 ) A．4, 0.6 B．4， C．4.2，0.56 D．4.2， 新知讲解—方差和标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为总体平均值为，则称为总体方差，为总体标准差. 如果总体的个变量值中，不同的值共有，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差. 总体方差和标准差 样本方差和标准差 思想：用样本标准差估计总体标准差 典例分析—方差、标准差与统计图表的综合应用 例2.对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了袋，称得质量如条形图所示.分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有（ ） A. B. C. D. 学以致用—方差、标准差与统计图表的综合应用 训练2.如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ）A． B．， C． D． 新知讲解—分层随机抽样的方差 思考：在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量按比例分配的分层随机抽 样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和 12.59，取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总 样本的方差，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？ 新知讲解—分层随机抽样的方差 新知讲解—分层随机抽样的方差 新知讲解—分层随机抽样的方差 分层随机抽样的方差公式 新知讲解—分层随机抽样的方差 分层随机抽样的方差公式 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，， 两层的平均数分别为，，方差分别为，， 则这个样本的方差为：. 若是比例分配的分层抽样，则样本的方差可以用来直接估计总体的方差 典例分析—分层随机抽样的方差 例3.在对某中学高一学生体重的调查中，采取按样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，则求出，不能，说明理由. 学以致用—分层随机抽样的方差 训练3.(1)已知某省二、三、四线城市数量之比为，年月份调查得知该省所有城市房产均价为万元/平方米，方差为，二、三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为则二线城市的房价的方差为_________. 117.98 (2)为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用比例分配的分层随机抽样. 现抽取高一学生人，其每天学习时间均值为小时，方差为；抽取高二学生 人，其每天学习时间均值为小时，方差为；抽取高三学生人，其每天学习 时间为小时，方差为，则估计该校学生每天学习时间的方差为________. 1.45 典例分析—分层随机抽样的方差 例4.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动. 已知该班男生35人，女生25人. 根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为和，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. D 典例分析—分层随机抽样的方差 训练4.已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为 样本平均数分别为,样本方差分别为,，若，则（ ） A. B. C. 总体样本平均数 D. 当时，总体方差 D 课堂小结 分层随机抽样的方差： 提示　把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为，方差记为s；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为，方差记为s；把总样本数据的平均数记为，方差记为s2. 根据方差的定义，总样本方差为 s2＝[ (xi－)2＋ (yj－)2] ＝[ (xi－＋－)2＋ (yj－＋－)2]. 2(xi－)(－)＝2(－) (xi－)＝0. 同理可得2(yj－)(－)＝0. 因此， s2＝[ (xi－)2＋ (－)2＋ (yj－)2＋ (－)2] ＝{23[s＋(－)2]＋27[s＋(－)2]}.① 由 (xi－)＝xi－23＝0，可得 ＝＋＝＝165.2. 把已知男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得 s2＝{23×[12.59＋(170.6－165.2)2]＋27×[38.62＋(160.6－165.2)2]}＝51.486 2. 故总样本的方差为51.4862，据此估计高一年级全体学生身高的总体方差为51.4862. 由＝170.6，＝160.6，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则＝xi， s2＝ (xi－)2，＝yi，t2＝ (yi－)2. 若记样本平均数值为，样本方差为b2，则可以算出 ＝(xi＋yi)＝， b2＝ 设男生的平均体重为，方差为s， 则＝55，s＝15，男生占的比例为＝， 设女生的平均体重为，方差为s， 则＝45，s＝20，女生占的比例为＝. 所以总样本的平均数＝×55＋×45＝51， 总样本的方差s2＝[s＋(－51)2]＋[s＋(－51)2] ＝×(15＋42)＋×[20＋(－6)2]＝41. 平均距离 方差 标准差 总体方差 总体标准差 样本方差 样本标准差 $$