2025年中考数学压轴题系列：二次函数

2025年中考数学压轴题系列：二次函数

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，其顶点为D．E是y轴正半轴上一点，直线交抛物线L的对称轴于点P，已知，连接，，交抛物线L的对称轴于点F．

(1)求直线的函数表达式；

(2)连接，，当和面积相等时，求a的值；

(3)作点D关于点F的对称点M，作点C关于的对称点N，把抛物线L沿x轴翻折后，经适当的平移得到抛物线，若抛物线L恰好同时经过点M，N．试探究抛物线L和抛物线是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

2．如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M．

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值；

(3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，抛物线经过A，B两点，点在第一象限的抛物线上．

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)如图1，过点作轴于点，交于点．是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图2，点坐标为，交于点．

①当与的面积比为时，求点的坐标；

②在①的条件下，若点为抛物线上位于对称轴右侧的点，，求直线的解析式．

 

 

 

 

 

 

 

 

4．在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数的图象和性质进行了探究．

(1)当时，

①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质；

②如果关于x的方程有四个解，请直接写出对应m的取值范围．