陕西省2025届高三第十次模拟考试数学试题

2025届陕西省第士次模拟考试 数 学 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A=10.1.2,3.41,B=1xl-2<x-1<2l,则AnB= C.11,231 B.10,1,2.31 A. 1x1-1<x<31 D.131 2.复数z=(1+2i)(1+i)的虚部是 A.-1 C.-3 B.1 D.3 3.某校学生会有男生8人.女生12人.现从男生中选出7人,从女生中选出11人参加志愿 动,则不同的选法种数为 A.48 B.96 C.144 D.192 4.已知向量a=(x,1),b=(-3.2-x),若a,b的夹角为钝角,则实数x的取值范围为 A.(23u(3.,) B.(-1,3)U(3,+) c.(1,2) D.(-~2) 5.已知/(x)为定义在(-4.4)上的奇函数,若/(x)在[0,4)上单调递减,则满足不等式 f(a+1)+/(1-a2)>0的实数a的取值范围是 A.(-5.+a) B.(-5,2) C.(-5,-1)U(2.5) D.(-5.-1)U(1.5) 数学 试题第1页(共4页) 表 CS扫描全能王 亿人在用趋扫描App 6.已知sin 2a=},且ae(),则tan(a+)= B.-22 C.-2 A.-4 D.-2 7.已知函数f(x)=(x-a-1)e'-(-*]bx是R上的增函数,则 B.a-1 C.a=lnb A.a=b D.a-e 8.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,两个垂足之间的线段叫做 公垂线段,已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段,且公垂线段是分别连接两条异 面直线上两点的线段中最短的一条.如图,在四面体ABCD中,AD是异面直线AB和CD的 公垂线段,r为四面体ABCD的内切球半径,则 B.a: A.r~2(AB+CD) AB.CD nD_4. D.<6(AB+CD+AD) AB.CD·AD 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知正数x,y满足2x+y=1,则 #12 A.= C.2x+2 10. 已知函数/(x)-3sin2x+)+2,则下列结论正确的是 A.直线x-吾是/(x)的图象的一条对称轴 B.y=^(x-+2为奇函数 C.f(x)在区间(0,)内有两个零点 D.若/(x.)/(x)=-5且/(x.)</(x),则lx.-x21的最小值为 数学 试题第2页(共4页) 表 CS扫描全能王 亿人在用趋扫描App 11.如图,已知双曲线-1(a>0.6→0)的焦距为8,点P为 >双曲线右支上一点(位于第一象限),且PF,1PF,0为 乙F.PF。的平分线上一点,满足00//PF,1001=2.则 A.10P1=4 B.1PF,1-22-2 C.离心率e-2 D.△F.PF,的面积为12 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知la.1是公比为2的等比数列,1b.1是公差为4的等差数列,若a.=20.b.=a.,则lb. 的通项公式为b.=__. 13.在对某中学高三年级学生体重(单位:kg)的调查中,按男、女生人数比例用分层随机抽样 的方法抽取部分学生进行测量,已知抽取的男生有50人,其体重的平均数和方差分别为 54.20.抽取的女生有40人,其体重的平均数和方差分别为45,11,则估计该校高三年级学 生体重的方差为__. 14.已知实数a.b满足a-4=a-2/6,记a的取值集合为M,则M中的整数有 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中,内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.且b2-a?=c2}-a (I)求B; (II)若D为AC边的中点,BD=3.ac=6.求b 6.(15分) 已知园E.-1(a>b>0)的离心率为,nE过点(1.0). (I)求E的方程; (II)若斜率为2的直线1与y轴交于点D,与E交于M,N两点,证明:1DM13+1DN1^2为 定值 数学 试题 第3页(共4页) CS扫描全能王 亿人在用趋扫描Ap{ 17.(15分) 如图,在四校锥S-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB/CD,AD=2,乙BAD=.AB= 是面刻己C0C A$=BS=4,SD=23. (I)求证:AD1BS; (II)求二面角A-BS-C的正弦值 18.(17分) 已知函数f(x)-2×-)-alnx(aeR),设/(x)的图象在x=1处的切线为l:y=kx+b. (I)若a=1,证明:当x>0时f(x)<kx+b; (II)若/f(x×)有三个零点x&,,(x.<x<). (i)求a的取值范围; (ii)证明:2(a-1)x,+(a+2)x,>3a 19.(17分) 将n个正整数构成的数列a,,.,a.变为1,2,.,-1,a,1,2,.,-1,a,..,1, 2...,a.-1,a.的操作称为一次“扩展”.现对数列1.2,3,,n扩展m次. (I)若n=3.m=2.写出扩展后的数列; (II)设扩展m次后得到的数列所有项之和为S(n,m),证明:S(n,m)=.:2.; (II)从第2025次扩展后的数列中任取一项,求取到数字t(1<:<n)的概率P. 数学 试题 第4页(共4页) CS扫描全能王 亿人在用趋扫描App 2025届陕西省第十次模拟考试 数学答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 4.A 2.D 3.B 5.C 1.B 6. D 7.C 8.A 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的 得0分. 10.AC 9. BCD 11.ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 13.36 12.4n+1 14.3 四、解答题:本题共5小题,共77分:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(I)因为b-a*-c*-ac. 所以ac=a+c:-b. 由余弦定理得cosB-+}-.1 ......................... 2ac 2. 又Be(0.n).所以B-. ....................................................................................... (5分) (II)设AD=DC=x. 由余弦定理知,在△ABD中,cos2ADB-+9- 6r 在△BCD中.coszBpc-:+9-a 6t ................................. (9分) 6t 6r 在△Abc ..2-x).-. .-2毫.--.,. .三美6,.所以. +.-4.'16.............(11分) 所以2x*+18=4x*+6.解得x=6,所以b=2x=26 ..................................... b=I. {-. 16.解析 (1)由题意得 ........................................................................... (2分) 2. 得=2. ........................分. (5分) (II)设D(0.1).M(x.,y.).N(x:,y),则直线/的方程为y=2x+1 CS扫描全能王 亿人在用趋扫描App .............................1..分分 所以1DM!'+1DN!?=xì+(y.-)'+x+(y-t)* =+(2x.)?+x+(2x)=5( +x )=5[(x.+x)-2x.x]=5 故1DM1*+IDNI*为定值 ...............................分.) 由余弦定理.. B.".+.. .2.·.B.. ..................(2分) 所以 为........................................................分) 因为AS*=SD+AD,所以AD1SD. ..........................................分.. 又 Bp....以..... ...............................................分) 因为BSC平面BDS,所以AD1BS. .............................................................................. (6分) (II)方法一:延长AD.BC交于点E.连接SE,如图 因为四边形ABCD是等腰梯形,AB/CD,LBAD-吾. 所以AE=BE=4.又BC=AD=2.所以D.C分别为AE,BE的中点 在△ASE中,SD1AE,D是AE的中点,所以SE=4. 又 BS=4.所以四面体SABE为正四面体 .......................................分. 取BS的中点 F.连接AF.EF.则AF1BS.EF1BS.AF=EF=2 /3 所以.为..r.........平.................................................12分) 因为cos AFE-Ar+f-Ar-1 2AF·FF 所以二面角A-BS-C的正弦值为22 ..................................................................... (15分) 方法二:由(I)知AD1平面BDS.以D为原点,DA.DB所在直线分别为x.y轴,在平面BDS内过点D作垂直 于平面ABCD的直线为:轴,建立空间直角坐标系,如图 CS扫描全能王 亿人在用趋扫描App 由于B5-4.BD-sD-25.所以点8到BD的距离为^.得a(0.24) .................... 所以}=(-2.2/5.0).:-(-2.2.4). .................................................. (9分) 设平面SAB的法向量为m=(x,y,*). [A-o. (-2x+23y=0. 取m=3.1.) & ................分... lm.A=0. 同理可得平面sBC的一个法向量为n-(-5.1.) ...................................... ..分) 所以二面角A-BS-C的正弦值为22 ..................................分) 18.解析(1)若a-1.则/(x)=2(x-)-lnx(1)=0. 切线/的方程为y=3x-3.即k=3.b=-3. .................................................分. 令g(x)-2lnx-3.则(x)=1-2,1-(x-1)(x2) 0 令g'(x)=0.得x=l.当xe(0.1)时,g’(x)<0,g(x)单调递减,当xe(1.+x)时,g'(x)>0.g(x)单调递增 .............分. 所以.(.....................................分). (I)(i)(x)-2(x-)-alnx,显然有/(1)-0. CS扫描全能王 亿人在用趋扫描App ①若a<4.则/(x)>0恒成立,所以/f(x)在(0,+*)上单调递增 ...................................................... 所以/(x)在(0.+*)上只有一个零点x=1.不符合条件 (7分) ②若a>4.令/'(x)=0.得2x}-ax+2=0,记其两根分别为p,q(p<). 则p+q=>2.pq=1.所以0<p<1<9. 由/'(x)>0.得0<x<P或x>y.由/(x)<0.得p<x< 所以/(x)在(0.p).(g.+x)上单调递增,在(p,9)上单调递减 又/(1)=0.所以fp)>0f(9)<0 当x→+x时,f(x)→+.(或取点x=e”.易证/(e)>0) 所以(x)在...+.)有.一.点.为.x.(.x,.)......................................................... (9分) ()-2-21c-a-(2-2-an)-1()-0.1且(01). 所以/(t)在(0.1)上有唯一零点x,-1,从而x:=1. 所以............................................................. (12分) (ii)由(i)知,x,>1. 且/(x,)-2-,-2-alng,-0.所以alnx,-2-,-2. ,_$ 由(1)得,当,>1时,ln:>3--2. 以2-a0(3--).- ........................................................................... (14分) 整理得(a+2)-,2a-2>3a. ,_ ............................ 19.解析(1)由题,第1次扩展得到1.1.2.1.2.3. .......................................... 第2次.....到...1..1..1..................................................分) (II)第!次扩展 s(n.1)=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+...+n) =1(1+2)x2(1+3)x3 2 2 2 利用等式(1n)n-c ,以及ct c.-c.. 可得s(n.1)-cici+c..ci.-c+c+ci..+c .=c... ............................ 第2次扩展,相当于对n个数列1;1.2;1.2.3;...;1.2...,n分别扩展1次. 所以S(n.2)=S(1.1)+S(2.1)+S(3.1)+...+S(n.1) =Ccc...C.:,c... 第3次扩展,相当于对n个数列1:1.2;1.2.3:...:1.2...,n分别扩展2次. _4- 表 CS扫描全能王 寻亿人在用趋扫描Ap{ 所以$(n.3)=S(1.2)+s(2.2)+$(3.2)+...+S(n.2) -ctc:+Cc..ct.=C..: 以此类推,第m次扩展,相当于对n个数列1;1.2;1.2.3;.^;1.2...^,n分别扩展(m-1)次 所以S(n.m)=S(1.m-1)+S(2.m-1)+$(3.m-1)+...+S(n.m-1) =C::C::.+c::...+c:..=C"..... ............................................. ..分) (I)每次扩展时,将数字n扩展得到了n个数,故扩展后数列的项数恰好等于上一次扩展后的数列所有项的 和,故第2025次扩展后数列的项数为S(n.2024)=C.. 每次扩展时,小于1的数不会扩展得到!.每个大于或等于,的数字都扩展得到了一个1,所以!的频数是上一 次扩展后的数列中大于或等于!的数的频数之和,如 因为1,2..,n中大丁或等丁.的数有(n-1+1)个,所以第1次扩展后的数列中.的频数为n-1+1,即 C..,列表如下: 数字 频数 C_1 。_ 第2次扩展后的数列中.的频数为C...+C+C....+C=C.....列表如下: 数字 11 辅数 C 同理,第3次扩展后的数列中i的频数为ci.+C..+C...+CC..1. 根据古典概型的概率计算公式可得P.= ..................................................). 表 CS扫描全能王 亿人在用趋扫描Ap{