5.1.2 事件的运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

5.1.2 事件的运算 湘教版数学必修第二册 第5章 概率 5.1 随机事件与样本空间 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 复习回顾 复习以下概念： 随机现象 随机试验 样本点 样本空间 有限样本空间 随机事件（事件） 基本事件 必然事件 不可能事件 通过前面的学习可以发现，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单，有的复杂。 我们希望从简单事件的概率推算出复杂的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算 本节课需要学习的内容： 新知探究 探究：在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，我们可以定义许多事件，例如: Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1 =“点数不大于3”, D2 =“点数大于3” E1 =“点数为1或2”, E2=“点数为2或3” F=“点数为偶数”，G=“点数为奇数”…… 你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 新知探究 我们把上述事件用集合的形式写出来得到下列集合： C1 ={1}；C2={2}； C3={3}；C4 ={4}；C5={5}；C6={6}； D1={1，2, 3}；D2={4,5,6}； E1={1,2}；E2 ={2,3}; F={2,4,6}；G={1,3,5}. 利用样本空间的子集表示事件，我们可以利用集合的知识研究随机事件. 结论： 新知探究 思考1：观察事件：C1={1}，G={1，3，5}，显然，如果事件C1发生，那么事件G一定会发生吗？事件之间的这种关系用集合的形式怎么表示？ 显然，如果事件C1发生，那么事件G一定会发生，事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1}⊆ {1，2，3}，即C1⊆G，这时我们说事件G包含事件C1. 新知学习 事件的包含和相等关系 对于事件A,B,如果A⊆B,且B⊆A,则称A与B等价，或称A与B相等，记作A=B.等价的事件是同一个事件，只是有时表达不同. 例如，抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件A={2,4,6}与事件B=“掷出偶数点”等价. 如果事件A发生必然导致事件B发生，即事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B,或B包含A,记作A⊆B. 显然，对任何事件A,都有〇⊆A⊆Ω. 包含 A发生导致B发生 A⊆B 新知探究 思考2：观察事件D1={1,2,3}，E1={1,2}和E2 ={2,3}至少有一个发生与事件D1发生有什么关系？事件之间的这种关系用集合的形式怎么表示？ 观察事件C2={2}， E1={1,2}和E2 ={2,3}，事件E1和事件E2同时发生与事件C2发生有什么关系？ 事E1和事件E2至少有一个发生相当于事件D1发生，用集合的形式表示，就是：{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1 事件E1和事件E2同时发生相当于事件C2发生，用集合的形式表示，就是：{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C1 并事件（和事件） A发生或B发生 A∪B或A＋B 新知学习 交事件与并事件 如果某事件发生当且仅当事件A与事件B同时发生，则称该事件为事件A与B的交（或积），记作A∩B(或AB).事件A∩B由属于事件A且属于事件B的所有样本点组成。显然有Ω∩A=A. 如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称该事件为事件A与B的并（或和），记作A∪B(或A+B).事件A∪B由至少属于事件A或B之一的样本点组成。容易得〇∪A=A. 交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B或AB 典例精析 例1. 投掷两枚骰子，一枚是红色，一枚是蓝色.设A=“红骰子的点数是2”，B=“蓝骰子的点数是3”. （1）写出样本空间Ω，并用样本点表示事件A ,B; （2）计算A∩B； （3）计算A∪B. 练1.同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为 A ，向上面至少有一枚是正面为事件 B ，则有（　A　） A. A⊆B B. A⊇B C. A＝B D. A＜B A 解析：由事件的包含关系知 A ⊆ B . 新知探究 思考3：若事件A={2,4,6}，事件B={1,2,3}，则事件C={4,6}和事件A与B存在什么关系？ 显然事件C={4,6}是由属于事件A但不属于事件B的样本点组成的. 新知学习 如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生，则称该事件为事件A与B的差，记作A\B.显然，A\B由属于事件A但不属于事件B的样本点组成。 差事件 A与B的差 A发生而B不发生 A\B 例如，抛掷一枚骰子，若事件A={2,4,6}, 事件B={1,2,3},则事件A\B={4,6}. 新知探究 思考4：观察事件C3={3}，C4 ={4}，事件C3与事件C4 不可能同时发生，用集合的形式怎么表示这种关系？ 观察事件F={2,4,6}；G={1,3,5}，在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一，事件之间的这种关系用集合的形式怎么表示？ F∪G=Ω且F∩G=〇 C3∩C4=〇 新知学习 互斥事件与对立事件 一般地，如果事件A1,A2,…,An中任意两个都互斥，则称它们两两互斥. 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件，记作Ω\A或A. 如果事件A∩B为不可能事件，即A∩B=〇,则称事件A,B互斥（或互不相容）. A与B对立 A∪B=Ω A∩B=〇 二者有何区别和联系？如何判断？ 互斥（互不相容） A∩B为不可能事件 A∩B＝⌀ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝⌀，A∪B＝Ω 互斥事件与对立事件的区别与联系总结 1.互斥事件与对立事件的区别与联系 （1）区别：两个事件 A 与 B 是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件 A 发 生，则事件 B 就不发生；②若事件 B 发生，则事件 A 就不发生；③事件 A ， B 都不发生. 而两个事件 A ， B 是对立事件，仅有前两种情况，因此事件 A 与 B 是对立事 件，则 A ∪ B 是必然事件，但若 A 与 B 是互斥事件，则 A ∪ B 不一定是必然事 件，即事件 A 的对立事件只有一个，而事件 A 的互斥事件可以有多个. （2）联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互 斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立. 2. 从集合的角度理解互斥事件与对立事件 （1）几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. （2）事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组 成的集合的补集. 新知学习 类似地,我们可以得到概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的： 典例精析 [典例2]　盒中有标号1～3的同样的白球各1个，标号1～2的同样黑球各1个，从中倒 出3个，观察结果，写出样本空间. （1）用集合 A 表示事件“3个都是白球”； （2）用集合 B 表示事件“至少2个白球”； （3）用集合 C 表示事件“至少1个白球”； （4）计算 A ∪ B ， A ∩ B ，A\B，C\B，并解释它们的含义. 解：设标号1～3的白球为 a ， b ， c ，标号1～2的黑球为 e ， f ，则全集Ω＝ { abc ， abe ， abf ， ace ， acf ， bce ， bcf ， aef ， bef ， cef }. （1） A ＝{ abc }. （2） B ＝{ abe ， abf ， ace ， acf ， bce ， bcf ， abc }. （3） C ＝Ω＝{ abc ， abe ， abf ， ace ， acf ， bce ， bcf ， aef ， bef ， cef }. （4） A ∪ B ＝ B ，至少2个白球. A ∩ B ＝ A ，3个都是白球. A\B＝⌀，不可能事件. C\B＝{ aef ， bef ， cef }，有1个白球. 练2. 抛掷3枚硬币，观察结果. （1）用集合 A 表示事件“至少一枚反面朝上”； （2）用集合 B 表示事件“至少2枚反面朝上”； （3）用集合 C 表示事件“恰好2枚反面朝上”； （4）计算 A ∩ C ，Ω\A，并解释含义. 解：用 H 表示正面朝上， T 表示反面朝上， 则Ω＝{ HHH ， HHT ， HTH ， THH ， HTT ， THT ， TTH ， TTT }. （1） A ＝{ HHT ， HTH ， THH ， HTT ， THT ， TTH ， TTT }. （2） B ＝{ HTT ， THT ， TTH ， TTT }. （3） C ＝{ HTT ， THT ， TTH }. （4） A ∩ C ＝ C ＝{ HTT ， THT ， TTH }，恰好2枚反面朝上； Ω\A＝{ HHH }，3枚都正面朝上. 典例精析 练习巩固 1. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每 组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件： （1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； （2）“至少有1名男生”与“全是男生”； （3）“至少有1名男生”与“全是女生”； （4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”. [解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1 男1女. 练习巩固 （1）“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互 斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不 是对立事件. （2）“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能 同时发生，所以它们不是互斥事件. （3）“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们 必有一个发生.所以它们是对立事件. （4）“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时， “至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件. [解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1 男1女. 练习巩固 2. 给出事件 A 与 B 的关系示意图，如图所示，则（　C　） A. A⊆B B. A⊇B C. A与B互斥 D. A与B互为对立事件 C 解析：由互斥事件的定义可知，C正确.故选C. 3. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件 E ＝{向上的点数为偶数}， F ＝{向上的点 数为质数}，则 E ∩ F ＝ ⁠. 解析： E ＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}， F ＝{向上的点数为质数}＝{2，3， 5}，∴ E ∩ F ＝{向上的点数为2}. {向上的点数为2}　 解析： E ＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}， F ＝{向上的点数为质数}＝{2，3， 5}，∴ E ∩ F ＝{向上的点数为2}. 练习巩固 4. （多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件 A ＝{两弹 都击中飞机}，事件 B ＝{两弹都没击中飞机}，事件 C ＝{恰有一弹击中飞机}，事 件 D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是（　ABC　） A. A⊆D B. B∩D＝⌀ C. A∪C＝D D. A∪C＝B∪D ABC 解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中， “至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中， ∴ A ∪ C ≠ B ∪ D ，故D不正确，A，B，C正确. 5. 一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品” ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”. 其中互斥事件有（　B　） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 B 解析：对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品” 显然是互斥事件；对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是 次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于③， “至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次 品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于④“至少有1件次品”包 括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件 练习巩固 课堂小结 本节课学习了什么？ 1.事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示； 2.包含关系、相等关系的判定、事件A与事件B的差A\B； 3.事件是否互斥对立的判定. 事件的关系和运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件（和事件） A发生或B发生 A∪B或A＋B 交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B或AB 互斥（互不相容） A∩B为不可能事件 A∩B＝⌀ A与B的差 A发生而B不发生 A\B 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝⌀，A∪B＝Ω 作业布置 208页习题4、5、6题 练习册对应章节 $$