重点题型针对训练13 圆锥曲线-2025届高三数学三轮冲刺

重点题型针对训练---圆锥曲线 一、利用斜率或向量关系构建等式，求斜率值或范围 例1：已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 变式训练： 1.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)求椭圆的方程； (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 2.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 3.已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值． 2、 利用面积关系建立坐标之间的等量关系，求斜率或方程 例2：已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 变式训练： 1.椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 2.已知：椭圆过点，且离心率是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，M是AB中点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点，．若与的面积相等，求直线的斜率. 3.已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 3、 利用弦长公式建立等量关系式求值 例3：给定椭圆，将圆心为坐标原点，为半径的圆称为椭圆的“内切圆”．已知椭圆的两个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程． (2)直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于两点，且，求直线的方程． (3)是椭圆的“内切圆”上一点（与不重合），直线与椭圆的另一个交点为．记直线的斜率分别为，证明：为定值． 变式训练： 1.椭圆的左、右焦点分别为和，左顶点为，下顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，若在直线上存在一点，使得为面积是的等边三角形，求直线的方程与椭圆的标准方程. 2.已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 3.已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 4、 证明定值定点问题 例4：已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且点和点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式训练： 1.已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2.已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 3.已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 5、 求最值或范围 例5：已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 变式训练： 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点，且的最小值为，当轴时，的面积等于的离心率. (1)求的方程. (2)已知直线与交于两点. （ⅰ）若直线经过点，的右顶点为，直线的斜率分别为，求证：为定值； （ⅱ）已知点，，且直线分别与交于另一点，求的取值范围. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，且右顶点和上顶点都在直线上. (1)求的方程； (2)若直线经过交椭圆于、两点，求面积的最大值； (3)若过点的直线交于、两点，点是线段上异于、的一点，且，证明： 3.已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点在直线上，且三边的平方和为30． (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于、两点． （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）设点是线段上异于的一点，若直线与直线的倾斜角互补，证明：． 4.已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点题型针对训练---圆锥曲线 一、利用斜率或向量关系构建等式，求斜率值或范围 例1：已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据韦达定理求参数、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据焦距和离心率即可求得的值，即可求得椭圆的方程. （2）根据题意设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理及点在以线段为直径的圆外则为锐角其余弦值大于，再结合向量的数量积即可求出的范围. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为. （2） 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为. 变式训练： 1.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    (1)求椭圆的方程； (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，列出方程组，起度呃的值，得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得和，设，使得，根据，得到恒成立，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为椭圆的离心率，且椭圆过点， 可得 ，解得，所以椭圆的方程为. （2）解：由题意，显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为点为的中点，可得， 则，即， 令，可得，即， 假设存在点，使得，此时 因为，可得， 整理得， 因为，所以，即恒成立， 所以 ，解得，即， 即存在定点，使得.    2.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或． 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为， ， 由，得， 又由，得， 所以，椭圆的方程为； （Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 根据题意可知，直线和直线的斜率均存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， ，消去，可得，解得或. 将代入，得， 所以，点的坐标为， 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为， 由，得点的坐标为， 所以，直线的斜率为， 又因为，所以， 整理得，解得或. 所以，直线的方程为或. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 3.已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由椭圆的几何性质易得结果； （2）联立直线和椭圆方程，由及可得，设，由韦达定理得，由倾斜角的概念可得直线的倾斜角和直线的倾斜角满足，从而直线和的斜率和满足，代入的值，化简可得k的值. 【详解】（1）由题意得解得 所以椭圆E的方程为． （2）由得． 由得． 又，所以． 设，则． 不妨设点A在点B的上方， 因为，又， 此时，直线的倾斜角为， 直线的倾斜角为，所以． 由题可知直线和的斜率都存在，分别设为和，则． 因为， 所以，即． 由得． 所以．整理得， 又，所以.    2、 利用面积关系建立坐标之间的等量关系，求斜率或方程 例2：已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 变式训练： 1.椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】首先根据三角形面积公式确定，【算法一】设直线方程为，联立直线和直线求得点的坐标，思路一，根据求点的坐标，代入椭圆方程，即可求解；思路二，直线与椭圆方程联立，求点的坐标，再根据，即可求解；【算法二】设直线方程为，，后面的过程同【算法一】. 【详解】（1）由题意得：， 所以 所以椭圆方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且为正， 直线方程为， 因为三角形的面积是三角形面积的5倍 ∴ ∵  ∴ 又由题意可知、均在轴右侧，∴ 【算法一】设直线方程为，由，解得 ， 思路一： 所以 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 思路二：由得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 【算法二】设直线方程为， 由，解得， 思路一：． 所以由  得 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即．15分 思路二：得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即 2.已知：椭圆过点，且离心率是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，M是AB中点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点，．若与的面积相等，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由题意建立关于的方程组，解方程组即可得解. （2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由 与 的面积相等列式，即可解出直线的斜率． 【详解】（1）因为椭圆过点，所以，又，且， 解得，所以椭圆的方程为； （2） 由题意，得，直线， 设，，，， 联立，消去，得， 显然△，， 则点的横坐标， 点的纵坐标． 即， 所以线段的垂直平分线方程为：， 令，得；令，得， 所以的面积， 的面积． 因为与的面积相等， 所以，解得， 所以当与的面积相等时，直线的斜率． 3.已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由离心率可得，再由弦长求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出三角形面积的比，再结合韦达定理求出的纵坐标的比值即可得解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则，半焦距， 又过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为， 由，得，于是，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，直线不垂直于轴， 设直线的方程为，， 由消去得，，， ， 于是，而， ，因此，设， 则，解得， 于是， 所以与的面积之比的取值范围是. 3、 利用弦长公式建立等量关系式求值 例3：给定椭圆，将圆心为坐标原点，为半径的圆称为椭圆的“内切圆”．已知椭圆的两个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程． (2)直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于两点，且，求直线的方程． (3)是椭圆的“内切圆”上一点（与不重合），直线与椭圆的另一个交点为．记直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)或 (3)4 【知识点】椭圆中的定值问题、根据弦长求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）根据椭圆的离心率及上下顶点即可求解； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，再根据弦长公式计算即可； （3）设直线的方程为,联立直线与“内切圆”方程解得坐标，联立直线与椭圆方程解得坐标，再计算直线的斜率即可. 【详解】（1）由题意可知， 因为椭圆的上下顶点为,离心率, 所以,, 所以椭圆方程为. （2）由（1）可知，椭圆的右焦点为，且直线与轴不重合， 设直线的方程为,,如图①所示， 联立得, 所以， 由弦长公式得, 则，解得,故或, 所以直线的方程为或. （3）如图②所示，由（1）可得，“内切圆”的方程为，, 设直线的方程为, 联立，化简得， 解得或， 所以， 联立，化简得， 解得或， 所以, 所以，， 所以. 变式训练： 1.椭圆的左、右焦点分别为和，左顶点为，下顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，若在直线上存在一点，使得为面积是的等边三角形，求直线的方程与椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2)椭圆方程为，直线方程为或. 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据题意可得出，由此求得椭圆的离心率； （2）讨论直线斜率存在和不存在，设直线为，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，由此求得的表达式并进行化简，由，整理可求出，由此可求出直线的方程与椭圆的标准方程. 【详解】（1）依题意，且， 所以，又，所以， 整理得. （2）由（1）有，故椭圆方程可写成. ①当直线斜率不存在时，直线为，显然不成立； ②当直线斜率存在时，设直线为，设直线与椭圆交于不同的两点中点为， 由方程组整理得 由已知可得，所以，且， ①， ②， ①②式代入，整理得，满足，即， 代入①式，求得， 故椭圆方程为， 直线方程为或. 2.已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义及所过点求出即可得椭圆方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理定理，结合弦长及三角形面积公式求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，， 椭圆：过点，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，设直线的方程为，，， 由消去得， ，， ，， 而，，则，解得， 所以.    3.已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的参数及范围、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）将点代入椭圆方程，解出、的值，再由椭圆中求出离心率即可； （2）根据已知条件，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论解出符合题意的直线方程即可； （3）根据已知条件设直线方程，与椭圆方程联立，设，，， 写出韦达定理，将转化为的函数，再根据函数值域得出点纵坐标的取值范围，再验证直线斜率不存在的情况，得到最终结果. 【详解】（1）依题意，，解得， 则离心率； （2） 由（1）可知，椭圆C的方程为， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，易知此时 点到直线的距离为，则，与已知矛盾； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 设， 联立， 消去整理可得， 则， 由弦长公式可得，， 整理得：， 点A到直线l的距离为， 则 解得或， 则直线l的方程为或； （3）若过中点的动直线的斜率存在， 则可设该直线方程为 设，，， 由，可得， 故， 且，， 而，， 故 因为恒成立， 故，即， 解得， 若过点的动直线的斜率不存在，则，， 此时需，两者结合可得 故这个点纵坐标的取值范围为. 4、 证明定值定点问题 例4：已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且点和点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求出中. （2）假设存在点，由倾斜角互补可知斜率和为，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求出即可. 【详解】（1）设椭圆的方程为：， 由点和点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）当时，直线， 假设存在点，使直线的倾斜角互补，即直线的斜率之和为， 由消去得， ，设， ，，由， 得，而，即， 于是，整理得，解得， 所以存在点，使得直线的倾斜角互补. 变式训练： 1.已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由已知条件列出方程组解出即可求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，设，，，由四边形为平行四边形得，由韦达定理得点的坐标，又点在椭圆上，代入椭圆方程即可求解； （3）由，得，即化简整理有，由韦达定理即可求解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有， 由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：， 联立解得，，所以的方程是. （2）设直线的方程为，联立，消去得， ， 则恒成立， 设，，，由四边形为平行四边形， ， ， 点P在椭圆上，，解得，即， 当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的方程为. （3）由，则，即， 则，则， 由（2），， 所以， 化简得，又，故. 2.已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）运用椭圆的几何性质，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程； （2）设直线的方程，分别联立椭圆方程和园的方程求出的坐标，同理可得的坐标，运用两点的斜率公式，分别计算直线的斜率，直线的斜率，即可得证. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，将代入椭圆方程得， 得，则，而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 由消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 由消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 显然是圆的直径，则，直线的方程为， 用代替，得， 直线的斜率， 直线的斜率， 因为，所以，故， 所以，为定值. 3.已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的参数及范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 5、 求最值或范围 例5：已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的参数及范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线，联立方程组由，求得， 设，得到，再由和的方程，求得和，结合，得到，将和，代入化简得到，求得，进而得到答案. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 可得，解得，椭圆. （2）设直线，联立方程组，整理得， 则且，可得，所以， 设，则， 则直线的方程为，与直线交于点， 直线的方程为，与直线交于点， 当时，且，则， 将， 代入可得，所以，解得， 所以斜率的取值范围为． 【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 变式训练： 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点，且的最小值为，当轴时，的面积等于的离心率. (1)求的方程. (2)已知直线与交于两点. （ⅰ）若直线经过点，的右顶点为，直线的斜率分别为，求证：为定值； （ⅱ）已知点，，且直线分别与交于另一点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据最小值为及面积公式计算求解即可得出椭圆方程； （2）（ⅰ）联立方程结合斜率公式计算求解；（ⅱ）设直线应用垂直的数量积表示计算，再换元结合二次函数值域计算求范围. 【详解】（1）因为的最小值为，所以. 将代入的方程，得，故当轴时，的面积为，得， 则，又，所以， 可得， 故的方程为. （2）（ⅰ）由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， ，， 将直线的方程代入的方程，得， 则，得， 则，. 由题意可知，则 ， 故为定值. （ⅱ）当直线中的一条斜率不存在，一条斜率为0时，. 当直线的斜率均存在且不为0时， 设直线的方程为，，， 将直线的方程代入的方程，得， 则，， 同理，，， 所以 . 令，则，， 故. 综上，的取值范围为. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，且右顶点和上顶点都在直线上. (1)求的方程； (2)若直线经过交椭圆于、两点，求面积的最大值； (3)若过点的直线交于、两点，点是线段上异于、的一点，且，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得面积的最大值； （3）按直线的斜率是否为分类，在不为时设出方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合共线向量的坐标运算推理得证. 【详解】（1）在直线方程中，令，得，即上顶点，则， 令，得，即，则，所以的方程为. （2）若直线与轴重合，则直线经过点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立得， ， 设点、，由韦达定理可得，， 所以，， 于是， 令，令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 当时，即当时，取最小值， 此时，的面积取最大值，且其最大值为. （3）当直线的斜率为时，不妨记、， 而，由，得， 则，因此； 当直线的斜率不为时，设、、， 设直线的方程为， 由消去得， 则，， 由韦达定理可得，， 如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即， 显然，设，即， 于是， 由点在直线上，得， 则，整理得， 于是，因此，， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 3.已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点在直线上，且三边的平方和为30． (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于、两点． （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）设点是线段上异于的一点，若直线与直线的倾斜角互补，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【知识点】椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】(1)根据题意求出的值，即可得出椭圆的方程. (2)（ⅰ）由题意设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理结合三角形面积公式以及基本不等式可求出面积的最大值. （ⅱ）由已知，可得点在在线段的垂直平分线上，结合共线向量的坐标运算推理得证. 【详解】（1）在中令，得，则，所以， 又三边的平方和为30，所以，解得， 所以的方程为． （2）（ⅰ）设，，直线的方程为， 联立，得， 则，所以， 且，， 令，则， ． 当且仅当时取等号，此时满足（*）式， 面积的最大值为． （ⅱ）设，如图，因为直线与直线的倾斜角互补，所以有， 所以点在线段的垂直平分线上，即，则， 设，则，则，① 又点在直线上，所以， 则， 所以，则，整理得，② 由①②得， 所以，则，所以， 故． 4.已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】求椭圆中的参数及范围、椭圆中的定值问题、根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由椭圆所过的点列出关于的方程组即可求解； （2）分“外切矩形四边所在切线存在斜率不存在”和“外切矩形四边所在切线斜率都存在”，设切线，与椭圆联立方程，利用位置关系结合判别式求出，同理依次得切线满足，切线满足，切线满足，再利用两平行线间距离求出两组切线的距离，从而得面积并结合对称性和基本定理计算化简即可得解； （3）证明：设切线，与椭圆方程联立结合韦达定理依次求得，进而得斜率，同理得即可证明为定值. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为； 当外切矩形四边所在切线斜率都存在时， 则可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 由题可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 所以由对称性可得矩形面积为， 令，当且仅当即等号成立时， 所以， 则， 综上，矩形面积的取值范围为. （3）证明：设切线， 联立， 则 ， 此时，所以斜率， 同理可得，所以为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$