圆锥曲线专题：非对称韦达定理及调和点列 专项训练-2025届高三数学三轮冲刺

圆锥曲线专题 ---非对称韦达定理及调和点列 一、非对称韦达定理 例1：已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1 【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆的定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程； (2) （i）设出直线的方程，结合韦达定理，由面积计算，利用换元法和基本不等式计算即可得出结果； （ii）由，可知直线的倾斜角互补，所以， 即点在线段的垂直平分线上，则依次求解，计算即可得出结果. 【详解】（1）因为线段的垂直平分线与半径相交于点，所以. 又因为，所以，所以， 因为，， 所以的轨迹是以为左右焦点的椭圆. 所以，所以的方程为. （2）（i）方法一：设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，则或. ， 面积 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为. 方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由 消去得：， 则，，则且， . 点到直线的距离， 所以面积 . 令，则， 当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为. 方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由， 消去得：， 则，则且， . 点到线的距离， 所以面积 . ， 即当时，有最大值为. （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 于是，，. ，. ， 于是， 因为， 所以. 所以的值1. 变式训练1-1：在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点. (1)求C的方程； (2)证明：； (3)直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是，定值3. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据题意得，求解即可. （2）设直线l方程为：，与椭圆方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标运算求得，即可证明. （3）法1：结合两点斜率公式得，由韦达定理得，代入化简得为定值. 法2：结合两点斜率公式得，由点    E在椭圆上得，与联立化简得为定值. 【详解】（1）因为C的短轴长为2，离心率为， 所以，解得， 所以C的方程为：. （2）设直线l方程为：，设，， 联立直线l与椭圆C的方程，消去x得，， 因为， 所以，，（*） 因为 ， 所以，即. （3）直线和的斜率比值为定值，理由如下： 法1：因为， 由（*）知，，代入上式得， . 所以直线和的斜率比值为定值3. 法2  因为， 因为，所以，所以， 由（2）知，两式相除得，. 变式训练1-2：已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6. (1)求C的标准方程. (2)延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、求直线与椭圆的交点坐标、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程； （2）由三点共线，可得，由直线的方程和直线的方程联立，再利用根与系数关系由分别表示出，再表示出，即可得到的值. 【详解】（1）设椭圆的焦距， 所以的周长为，即. 又椭圆的离心率为，所以， 所以，所以，所以， 所以的标准方程为. （2）是定值. 由（1）得， 设，， 又三点共线，所以，化简得， 则直线的方程为，直线的方程为， 由，化简得， 由根与系数关系可知，， 所以， 同理， 又 ， 所以. 变式训练 1-3：．已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.求证:为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）头题意得到等式解出的值，得出椭圆方程； （2）设直线方程和交点坐标，联立方程组消元得到一元二次方程，由根与系数的关系列出等式，表示出，列出式子并化简得结果. 【详解】（1）依题可得，解得:，所以，即椭圆的方程为 （2）设，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以 两式相除得，即 因为A，B分别为椭圆的左、右顶点，所以点A的坐标为，点的坐标为，所以 从而. 变式训练1-4：已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，2 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解； （2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）    由题意，点在圆上运动，设，，， 由得，， 又，所以，所以的方程为； （2）直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为； （3）    由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 故， . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式训练1-5：已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）为定值9，理由见解析. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据，得到，又，则，得到椭圆方程； （2）（i）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出点N的坐标，表达出三角形的面积，利用基本不等式求出最值； （ii）设外接圆的方程为．代入，可得，联立直线和外接圆方程，得到两根之和，两根之积，结合（i）可得方程，求出，求出，为定值． 【详解】（1）由，整理得，则该圆是以为圆心，6为半径的圆． 因为P是圆上一点，线段与C交于点Q，且， 所以，即，解得． 由题可知，则，故C的标准方程为； （2）（i）当点的直线斜率不存在时，重合，此时不存在，不合要求， 当点的直线斜率为0时，重合，此时不存在，不合要求， 直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为． 联立整理得， 则， 则线段的中点N的坐标为． 设的面积为S，则． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为． （ii）为定值9，理由如下： 设，显然为外接圆圆心， 故可设外接圆的方程为． 因为在外接圆上，所以，故， 故外接圆的方程为． 联立，整理得 ，                   则． 因为， 故， 解得． 故，为定值． 例2：已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1 【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆的定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程； (2) （i）设出直线的方程，结合韦达定理，由面积计算，利用换元法和基本不等式计算即可得出结果； （ii）由，可知直线的倾斜角互补，所以， 即点在线段的垂直平分线上，则依次求解，计算即可得出结果. 【详解】（1）因为线段的垂直平分线与半径相交于点，所以. 又因为，所以，所以， 因为，， 所以的轨迹是以为左右焦点的椭圆. 所以，所以的方程为. （2）（i）方法一：设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，则或. ， 面积 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为. 方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由 消去得：， 则，，则且， . 点到直线的距离， 所以面积 . 令，则， 当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为. 方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由， 消去得：， 则，则且， . 点到线的距离， 所以面积 . ， 即当时，有最大值为. （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 于是，，. ，. ， 于是， 因为， 所以. 所以的值1. 变式训练2-1：已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点在直线上，且三边的平方和为30. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于、两点. （i）求面积的最大值； （ii）设点是线段上异于，的一点，满足，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）根据题意求出的值，即可得出椭圆的方程； （2）（i）由题意，直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值；（ii）由已知，可得点在线段的垂直平分线上，结合共线向量的坐标运算推理得证. 【详解】（1）在中令，得，则，所以， 又三边的平方和为30，所以， 解得， 所以的方程为. （2）（i）设，，直线的方程为， 联立，得， 则，所以， 且，， ， 令，则， ， 当且仅当时取等号，此时满足式， 面积的最大值为. （ii）设，如图，由，则的平分线与轴垂直， 所以， 所以点在线段的垂直平分线上，即， 则， 设，则， 则，① 又点在直线上，所以， 则， 所以，则， 整理得，② 由①②得， 所以，则，所以， 故. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 变式训练2-2：已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线被曲线所截的弦长为，求的值； (3)若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 【答案】(1) (2). (3). 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据韦达定理求参数、根据弦长求参数 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹为一个椭圆，根据题给条件写出椭圆的标准方程即可. （2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式列等式即可求解. （3）设出直线的方程，联立直线与椭圆，并应用韦达定理写出根与系数关系.再根据题给条件写出点坐标与的关系，得到关于的方程，即可求解. 【详解】（1）根据题意可知，，所以， 点到两定点的距离和是一个常数，且这个常数大于，所以点的轨迹是以点，为焦点，为长半轴长的一个椭圆. 设椭圆的方程为， 则该椭圆的则. 所以曲线的方程为. （2）设直线与曲线的两交点的坐标分别为 根据题意，联立，可得， 所以， 弦长为 ， 则，化简得， 即得，所以的值为. （3）设，，直线的方程为，    联立，可得，， 所以， 设点，因为，可得， 则，得， 故，， 又因为，则，可得， 所以，可得， 得或（舍），所以. 变式训练2-3：已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，且右顶点和上顶点都在直线上. (1)求的方程； (2)若直线经过交椭圆于、两点，求面积的最大值； (3)若过点的直线交于、两点，点是线段上异于、的一点，且，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得面积的最大值； （3）按直线的斜率是否为分类，在不为时设出方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合共线向量的坐标运算推理得证. 【详解】（1）在直线方程中，令，得，即上顶点，则， 令，得，即，则，所以的方程为. （2）若直线与轴重合，则直线经过点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立得， ， 设点、，由韦达定理可得，， 所以，， 于是， 令，令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 当时，即当时，取最小值， 此时，的面积取最大值，且其最大值为. （3）当直线的斜率为时，不妨记、， 而，由，得， 则，因此； 当直线的斜率不为时，设、、， 设直线的方程为， 由消去得， 则，， 由韦达定理可得，， 如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即， 显然，设，即， 于是， 由点在直线上，得， 则，整理得， 于是，因此，， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 变式训练2-4： 已知椭圆的焦距为2，点在上，是的右焦点，设过点的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)直线不与轴重合，且平分． ①求的值； ②若点是直线与的交点，证明：． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据焦距得到，再代入点坐标即可得到椭圆方程； （2）①采用设线法，再联立椭圆方程得到韦达定理式，再将角平分线转化为，再韦达定理式整体代入化简即可； ②转化为证明，而，替换其中的化简即可. 【详解】（1）椭圆的焦距为， ∴椭圆的左右焦点分别是， 又点在椭圆上， ， ，椭圆的方程为：． （2）①依题意设直线的方程为：， 联立方程组：，则， 即，且，① 由，的坐标可知轴，平分， 等价于， 即，把代入并化简得： ，把①代入上式得：， 化简得：（经检验，符合，则. ②欲证，只需证：， 由（2）可得， 又， ， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线专题 ---非对称韦达定理及调和点列 一、非对称韦达定理 例1：已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 变式训练1-1：在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点. (1)求C的方程； (2)证明：； (3)直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 变式训练1-2：已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6. (1)求C的标准方程. (2)延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由. 变式训练 1-3：．已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.求证:为定值. 变式训练1-4：已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 变式训练1-5：已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 例2：已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 变式训练2-1：已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点在直线上，且三边的平方和为30. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于、两点. （i）求面积的最大值； （ii）设点是线段上异于，的一点，满足，证明：. 变式训练2-2：已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线被曲线所截的弦长为，求的值； (3)若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 变式训练2-3：已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，且右顶点和上顶点都在直线上. (1)求的方程； (2)若直线经过交椭圆于、两点，求面积的最大值； (3)若过点的直线交于、两点，点是线段上异于、的一点，且，证明： 变式训练2-4： 已知椭圆的焦距为2，点在上，是的右焦点，设过点的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)直线不与轴重合，且平分． ①求的值； ②若点是直线与的交点，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$