精品解析：河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024——2025学年高二下学期第三次月考 数学试题 命题人： 审题人： 一、单项选择题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 3. 县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 6. 如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….记这个数列的前项和为，则（ ） A. 442 B. 441 C. 364 D. 298 7. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式的所有项系数之和为1 C. 展开式的二项式系数之和为256 D. 展开式中含有常数项 10. 由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 新的经验回归方程为 C. 随值的增加，值增加的速度变小 D. 样本点似残差为0.1 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 的极大值与极小值之和为6 C. 有三个零点 D. 对于任意实数过的切线有且只有一条 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. ___________. 13. 若随机变量，且随机变量，则______． 14. 曲线与曲线的公切线方程为______. 四、解答题（4小题，77分） 15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. （1）求的值； （2）设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 16. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 17. “停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取120名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这120人中随机抽取1人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是． 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 不喜欢钉钉直播上课 30 合计 120 （1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？ （2）校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，从该小组中随机抽取3人进行汇报，记3人中男生的人数为X，求X的分布列、数学期望． 附临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.63 7.879 参考公式：，其中． 18. 已知函数，． （1）当时，函数的最小值为，求实数a的值； （2）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年高二下学期第三次月考 数学试题 命题人： 审题人： 一、单项选择题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式和运算法则，结合导数的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，，所以； . 故选：D 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】利用整体思想将三项视为二项，连续用两次通项公式即可求解. 【详解】因为， 所以通项公式， 因为要求的系数，所以令， 此时， 又的通项公式， 令，解得， 则的展开式中的系数为， 因此，的展开式中的系数为. 故选：B. 3. 县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数，然后考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村的派遣方案种数，结合间接法可求得结果. 【详解】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数， 则五个贫困村分派的村官人数分别为、、、、， 不同的派遣方案种数为； 接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为种， 由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有种. 故选：B. 4. 已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】因为函数，所以， 令，由题意得在上2个解，， 故，解得：，经检验适合题意； 故选：C. 5. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求的值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 6. 如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….记这个数列的前项和为，则（ ） A. 442 B. 441 C. 364 D. 298 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数表达出数列中的各项，并利用求出答案. 【详解】由图知，数列中的各项是，，，，，，，，……， . 故选：A. 7. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，对其求导并结合已知可得，所以，即可解不等式. 【详解】令，则， 故（c为常数）， ∵，∴，， ∴， 令，解得． 故选：D 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布， 可得，可得，所以正态密度曲线关于对称， 即， 由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢， 所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误. 故选：C. 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式的所有项系数之和为1 C. 展开式的二项式系数之和为256 D. 展开式中含有常数项 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式展开式的性质即可判断A；利用赋值法即可判断B；由二项式系数和的性质即可求解C；根据通项特征即可判断D． 【详解】对于A，，所以展开式共有9项，故A错误； 对于B，令，则，故B正确； 对于C，展开式的二项式系数之和为，故C正确； 对于D，展开式中的通项是， 令，解得，所以展开式中没有含常数项，故D错误； 故选：BC． 10. 由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 新的经验回归方程为 C. 随值的增加，值增加的速度变小 D. 样本点似残差为0.1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由回归系数，可判定A正确；根据题意，求得新的经验回归方程为，可判定B正确；根据回归系数的含义，可判定C错误；根据新的回归方程，求得，结合残差的计算，可得判定D正确. 【详解】对于A中，由回归方程为，可得回归系数， 可得正数知变量具有正相关关系，所以A正确； 对于B中，将，代入，可得， 所以去除点和后，得到新的样本平均数， 因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以， 所以新的经验回归方程为，所以B正确； 对于C中，经验回归直线的斜率为正数，变量具有正相关关系， 又去除两点后，斜率增大，随x值的增加，y值增加的速度变大，所以C错误； 对于D中，由回归直线方程，当时，可得， 所以样本点似残差为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 的极大值与极小值之和为6 C. 有三个零点 D. 对于任意实数过的切线有且只有一条 【答案】BD 【解析】 【分析】求得，由，求得，结合题意，可判定A不正确；利用导数求得函数的单调区间，求得函数的极值，可判定B正确；根据函数的极值，以及函数取值的变化趋势，可得判定C不正确；利用导数的几何意义，求得切线方程，将代入切线方程，得到，结合的单调性，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为，可得且， 令，即，可得， 由函数的对称中心为，可得，解得， 又由，所以A不正确； 对于B中，由A知，， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，极小值为， 所以极大值与极小值之和为，所以B正确； 对于C中，当时，；当时，， 所以函数只有一个零点，所以C不正确； 对于D中，设切点坐标为，得到， 即切线的斜率为，则切线方程为， 将代入切线方程，可得， 令，可得，所以函数为单调递减函数， 所以与的图象有且仅有一个公共点， 即对于任意实数过的切线有且只有一条，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. ___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二项式系数和公式进行求解即可. 【详解】由二项式系数和公式知：， 故答案为： 13. 若随机变量，且随机变量，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据二项分布的方差公式求出，再利用方差的性质求出. 【详解】已知随机变量，即，，将其代入方差公式可得： . 若（、为常数），则. 已知，即，，由步骤1可知， 将其代入上述公式可得：. 故答案为：6. 14. 曲线与曲线的公切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设两个函数的切点，求导，根据点斜式分别求解切线方程，进而得，构造函数，求导得函数单调性，进而求解方程的根得解. 【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 易知公切线的斜率存在，对求导得， 可得公切线的斜率， 所以公切线方程为，即①. 对求导得， 所以公切线方程为， 即②. 由①②得所以， 令，，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以， 所以公切线方程为，即. 故答案为： 四、解答题（4小题，77分） 15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. （1）求的值； （2）设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 【答案】（1）8 （2）①255，②（也正确） 【解析】 【分析】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）①令，，根据二项展开式的系数和即可求解； ②令即可求解； 【小问1详解】 首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有； 【小问2详解】 在， 令，得； 令，得①； . 令，得②； ②，得.（也正确） 16. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 【答案】（1） （2）和 （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分和讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. 【小问2详解】 因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. 【小问3详解】 略 17. “停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取120名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这120人中随机抽取1人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是． 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 不喜欢钉钉直播上课 30 合计 120 （1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？ （2）校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，从该小组中随机抽取3人进行汇报，记3人中男生的人数为X，求X的分布列、数学期望． 附临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.63 7.879 参考公式：，其中． 【答案】（1）没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关； （2）的分布列为： X 0 1 2 P ．【解析】 【分析】（1）求出喜欢钉钉直播上课的学生的人数，补充列联表即可，代入计算即可判断； （2）确定抽取的男生人数，确定X的可能取值，分别求出，，的值，求出分布列，从而求出数学期望． 【小问1详解】 由120人中随机抽取1人抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是， 故喜欢钉钉直播上课的学生共有50人，列联表补充如下： 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 30 50 不喜欢钉钉直播上课 40 30 70 合计 60 60 120 由已知数据可求得：， 所以没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关． 【小问2详解】 由（1）知喜欢钉钉直播上课的男女生比例为， 按照分层抽样的方法，从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，抽取男生2人， 则的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： X 0 1 2 P 的数学期望为：． 18. 已知函数，． （1）当时，函数的最小值为，求实数a的值； （2）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2）1个零点，理由如下： 由，可得， 显然是该方程的一个实数解，故是函数的一个零点； 当时，方程可化简为，设函数，则， 由可得，当时，，则函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故函数的最小值为， 即对任意的，恒成立，故方程无实数解，即时，函数不存在零点. 综上，函数有且只有1个零点. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由，按照的取值分类讨论函数在该区间上的单调性，从而得到最值，计算验证即得的值； （2）由，得方程，显然为此方程的一个实数解．当时，方程可化简为．构造函数，利用导数得到的最小值即可求解. 【小问1详解】 由求导得：，因， 当，即时，，则函数在上单调递减， 故，显然不符合题意； 当，即时，，则函数在上单调递增， 故，显然不符合题意； 当，即时，由可得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 故，由，可得，符合题意. 故实数a的值为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $