巧用放缩法解题 讲义-2025届高三数学二轮专题复习

巧用放缩法解题

 

放缩法是中学数学的常用解题技巧之一，特别适用于思维难度大，构造性强的题目，能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力，本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况．

1．和三角形有关的放缩法

在和三角形有关的问题中，要用到三角形三个角的度数为正，且和为一个定值，再结合放缩法解题．

例1  已知锐角三角形的三个内角度数为A，B，C，并且满足A>B>C，用α表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则α的最大值是_______．

分析  因为，A，B，C是锐角三角形的三个内角度数，所以，A－B，B－C，90°－A都大于0，故α也大于0，且不超过上面三个式子的值．利用这一点对α进行放缩．

解　

因为A，B，C，是三角形的三个内角度数，所以，A＋B＋C＝180，

所以原式≤，

因此，α的最大值是15°．

小结  此题求的是“最小者”的最大值，充分体现了放缩法的灵活性，在解题过程中，利用了三角形的内角和为180°，以及它们的非负性，从而得到答案．

2．多个变量的放缩法

多变量的问题，由于变量较多且相互约束，学生解题时往往顾此失彼，感到难以入手，这类问题有时可以用放缩法解决．

例2  已知x，y，z为3个非负数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z，则S的最大值与最小值的和为(    )

(A)5   (B)  (C)  (D)