吉林省长春市希望高中2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

2024—2025学年度下学期希望高中期中考试试题 高一数学 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在中，，，则（    ） A．30° B．60° C．60°或120° D．120° 3．（本题5分）已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（本题5分）已知向量，，，的夹角为45°，若，则 A． B． C．2 D．3 5．（本题5分）已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形 6．（本题5分）已知向量，，则的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 7．（本题5分）如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）在中，点D是边BC的中点，且，若点P为平面ABC内一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积与球的表面积相等 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．圆柱的表面积为 D．圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和 10．（本题6分）已知A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则是等腰三角形 11．（本题6分）在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）复数在复平面内对应的点的坐标为 ． 13．（本题5分）在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的体积为 ． 14．（本题5分）如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为 . 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知复数，其中，为虚数单位. （1）若为纯虚数，求的值； （2）定义，是否存在，使得? 若存在，求出；若不存在，说明理由. 16．（本题15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的单调增区间. 17．（本题15分）在中，角的对边分别是，已知 (1)求角的大小； (2)若，的面积为 ，求的值． 18．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 19．（本题17分）在中，角所对的边分别为，已知． (1)若c=3，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2024—2025学年度下学期希望高中期中考试试题 高一数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C B A C A AD AC 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】先利用复数的除法法则化简，再求其共轭复数. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】利用正弦定理求得，结合大边对大角，得到的范围，进而求得. 【详解】∵，，， ∴根据正弦定理，得： ， 又，得到，即， 则或． 故选：C 3．D 【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案. 【详解】对于A，若，，则可能相交，故A错误； 对于B，若，，则可能，故B错误； 对于C，若，，则可能，故C错误； 对于D，若，在平面内能找到直线，使得， 由，可得，又因为，则，故D正确. 故选：D. 4．C 【分析】利用向量乘法公式得到答案. 【详解】向量，，，的夹角为45° 故答案选C 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 5．B 【分析】根据斜二测直观图的画法判断． 【详解】在轴上，在轴，因此，在原图形中，，三角形为等边三角形． 故选：B． 6．A 【分析】根据向量的坐标可得向量垂直，从而得到三角形为直角三角形，求出向量的模长，即可得答案； 【详解】因为，又因为，所以， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查向量的模、数量积的坐标运算，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 7．C 【分析】取的中点，连接、、，推导出四边形为平行四边形，可得出，可得出异面直线与所成的角为，通过解，利用余弦定理可求得异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】取的中点，连接、、. 易知是的中位线，所以且. 又且，为的中点，所以且，所以且. 所以四边形是平行四边形，所以，所以就是异面直线与所成的角. 因为，，，、、分别是、、的中点， 所以，且. 由勾股定理得，所以. 由勾股定理得，. 在中，由余弦定理得. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题. 8．A 【分析】运用向量加法法则将问题转化为求的最小值，建系求解即可. 【详解】因为D为BC的中点， 所以， 所以， 不妨以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 设，则， 所以.即：的最小值为. 故选：A. 9．AD 【分析】选项A通过计算圆柱的侧面积，球的表面积可判定；选项B通过假设圆锥的侧面展开图的圆心角为，推出母线长与高相等的矛盾来判定；选项C通过计算圆柱的表面积来判定；选项D通过计算圆柱的体积，球与圆锥的体积之和来判定. 【详解】由题知，该圆柱的底面圆半径为，高为，该圆锥的底面圆半径为，高为，该球的半径为. 选项A：圆柱的侧面积为，球的表面积为，故选项A正确； 选项B：若圆锥的侧面展开图的圆心角为，则其母线满足，，而母线长应大于高，矛盾，故选项B错误； 选项C：圆柱的表面积为，故选项C错误； 选项D： 圆柱的体积为，球与圆锥的体积之和为，故选项D正确； 故选：AD. 10．AC 【分析】对于AB，利用诱导公式分析判断，对于C，利用正弦定理分析判断，对于B，利用正弦函数的性质分析判断 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以由正弦定理得，因为在三角形中大边对大角，所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以或， 所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，所以D错误， 故选：AC 11．AC 【分析】利用向量对应线段的位置关系及加减数乘的几何意义得、，，即可得，再应用向量数量积的运算律求. 【详解】由题设，①， ②， 所以①2②得即， ②①得，故，A正确、B错误； 所以， 故，故C正确、D错误. 故选：AC 12． 【分析】利用复数的乘法运算，结合复数的几何意义求解. 【详解】依题意，，所以点的坐标为. 故答案为： 13． 【分析】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为，先求出的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，再利用余弦定理求出的值，取的外接圆的圆心为，则圆的半径，连接，作于点，即得，即得解. 【详解】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 如图所示，则，所以，则的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，所以． 因为，所以，所以， 所以， 所以． 取的外接圆的圆心为，则圆的半径． 连接，作于点，则点为的中点，所以， 故三棱锥的外接球的体积为． 故答案为：. 14．7 【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案. 【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒ ∴ ， ∴由余弦定理可得 ， ， ∵，即 ， ∴ ,解得, 故答案为：7 15．（1）；（2）不存在 【分析】（1）根据为纯虚数列式，由此求得的值. （2）根据复数能比较大小列不等式组，由此求得的值. 【详解】（1）由于为纯虚数， 所以. （2）依题意， 即，， ， ， 所以，解得. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据图象得到和最小正周期，从而得到，代入，求出，得到函数解析式； （2）根据伸缩变换和平移变换得到，整体法得到函数的单调递增区间. 【详解】（1），由图象可知， 设的最小正周期为，由图象可知，，解得， 又，故，解得， 则， 将代入解析式，，故， 所以，又，所以， 所以. （2）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到， 纵坐标伸长到原来的倍，得到， 再向右平移个单位长度得到， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为. 17．(1)； (2). 【分析】（1）利用向量平行，列出方程，通过两角和与差的三角函数，化简求解角的大小；（2）利用三角形的面积，求出，然后利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 即 所以， 所以， 即， 因为，所以，即又 所以； （2）因为，由（1）知， 所以， 所以， 由余弦定理有， 所以． 18．(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【详解】（1）连接，， 因为底面为平行四边形，为中点， 故与相交于， 因为为的中点， 则， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为， 由余弦定理得，即， 解得， 因为，所以⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为平面，， 所以平面； （3）取的中点，连接，则， 因为⊥平面，所以⊥平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为⊥，，由勾股定理得， 故， 由勾股定理得， 所以. 19．(1) (2) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$