2.5 一元一次不等式与一次函数同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

2.5一元一次不等式与一次函数 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•广陵区期末）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 2．（2025•潍坊模拟）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•钢城区期末）点（3，m），（4，n）在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，则m、n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n 4．（2024秋•宿城区校级期末）如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 5．（2024秋•锡山区期末）如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•拱墅区期末）已知函数y1＝kx﹣b（k≠0），y2＝ax+2a（a≠0），若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，且函数y1的图象经过第二、三、四象限，则不等式kx﹣b＜0的解集为 　 　． 7．（2024秋•鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表： x … ﹣3 1 2 … y1 … ﹣1 3 4 … x … ﹣1 1 3 … y2 … 7 3 ﹣1 … 当x 　 　时，y1＞y2． 8．（2024秋•建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 5 3 1 ﹣1 … 那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　 　． 9．（2024秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣4，2）和，则不等式的解集是　 　． 10．（2024秋•肥东县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为 　 　． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•拱墅区期末）在直角坐标系中，点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0且a）的图象上． （1）若m＝3，求a的值． （2）若2＜m＜3，求a的取值范围． （3）设函数y2x，若a＜0，当y1＜y2时，求x的取值范围． 12．（2024秋•沛县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求△COP的面积； （3）直接写出不等式kx+b≥﹣3x的解集：　 　． 13．（2024秋•鼓楼区期末）已知一次函数y＝mx+m（m为常数，m≠0）的图象经过点（﹣2，3）． （1）求m的值； （2）不等式组0＜mx+m＜3的解集是 　 　． 14．（2024秋•萧山区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）． （1）若此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，求k的值． （2）若k+b＜0，点P（2，a）（a＞0）在该一次函数图象上，求证：k＞0． 15．（2024秋•南京期末）如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）． （1）求b、m、k的值； （2）△ACD的面积为 　 　． （3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集． 2.5一元一次不等式与一次函数 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 D C A D B 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•广陵区期末）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为x＜﹣1或x＞3． 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数的图象，一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 2．（2025•潍坊模拟）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一次函数的图象． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1． 在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 3．（2024秋•钢城区期末）点（3，m），（4，n）在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，则m、n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据一次函数解析式可得其增减性，则可比较m、n的大小． 【解答】解：在函数y＝﹣3x﹣1中，k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点（3，m）和点（4，n）都在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，且3＜4， ∴m＞n， 故选：A． 【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 4．（2024秋•宿城区校级期末）如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【答案】D 【分析】看两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：因为一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4）， 所以不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1， 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 5．（2024秋•锡山区期末）如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次方程． 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】B 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）得到x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，于是可对③进行判断；先确定一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，再求出一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（，0），然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线y＝ax+2在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、三象限， ∴a＞0，所以①正确； ∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ∴m＞0，n＜0， ∴mn＜0，所以②错误； ∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）， ∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，所以③正确； 把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2， 解得a＝3， ∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2， 当y＝0时，3x+2＝0， 解得x， ∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（，0）， ∴当x时，ax+2＜0， ∴当﹣2＜x时，mx+n＜ax+2＜0，所以④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．也考查了一次函数的性质和一次函数与一元一次方程． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•拱墅区期末）已知函数y1＝kx﹣b（k≠0），y2＝ax+2a（a≠0），若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，且函数y1的图象经过第二、三、四象限，则不等式kx﹣b＜0的解集为 　x＞﹣2　． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用． 【答案】x＞﹣2． 【分析】根据函数y1的图象经过第二、三、四象限，判断k和b的取值范围，根据函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，得到的取值，即可得到不等式不等式kx﹣b＜0的解集． 【解答】解：函数y1的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＞0， ∵若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点， ∴kx﹣b＝0，ax+2a＝0， ∴x2， ∴不等式kx﹣b＜0， ∴x， ∴x＞﹣2． 故答案为：x＞﹣2． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，判断一次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键． 7．（2024秋•鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表： x … ﹣3 1 2 … y1 … ﹣1 3 4 … x … ﹣1 1 3 … y2 … 7 3 ﹣1 … 当x 　＞1　时，y1＞y2． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力． 【答案】＞1 【分析】根据表格中的数据可以求得二个一次函数的解析式，从而可以得到不等式k1x+b1＞k2x+b2的解． 【解答】解：∵点（1，3）和点（2，4）在一次函数y1＝k1x+b1的图象上， ∴ 得， 即一次函数y1＝x+2， ∵点（1，3）和点（3，﹣1）在一次函数 y2＝k2x+b2的图象上， ∴得， 即一次函数y2＝﹣2x+5， ∴y1＞y2时，x+2＞﹣2x+5， ∴x＞1． 故答案为：x＞1． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 8．（2024秋•建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 5 3 1 ﹣1 … 那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　x≤﹣2　． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】x≤﹣2． 【分析】通过一次函数与一元一次不等式的关系可知，kx+b≥5，即为y≥5．即可得到对应的x的取值范围． 【解答】解：当x＝﹣2时y＝5， 根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小， ∴不等式kx+b≥5的解等是x≤﹣2． 故答案为：x≤﹣2． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键在于通过不等式与一次函数的增减性得到x的取值范围． 9．（2024秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣4，2）和，则不等式的解集是　x＜﹣4　． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观． 【答案】x＜﹣4． 【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+b在直线yx的下方所对应的自变量的范围即可； 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣4，2）和，正比例函数yx也经过点（﹣4，2），如图， 观察图象，当x＜﹣4时，直线y＝kx+b在直线yx的下方， ∴不等式的解集是x＜﹣4． 故答案为：x＜﹣4． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 10．（2024秋•肥东县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为 　m≤4　． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观． 【答案】m≤4． 【分析】以两函数图象交点为分界，直线l1在直线l2的上或在下方时，x＞2． 【解答】解：将P（m，5）代入y＝x+1，得 5＝m+1， 解得m＝4． 所以点P的坐标为（4，5）． 所以关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为m≤4． 故答案为：m≤4． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•拱墅区期末）在直角坐标系中，点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0且a）的图象上． （1）若m＝3，求a的值． （2）若2＜m＜3，求a的取值范围． （3）设函数y2x，若a＜0，当y1＜y2时，求x的取值范围． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力． 【答案】（1）a； （2）． （3）x＞﹣2． 【分析】（1）代入点A的坐标即可求得； （2）分别求得m＝2和m＝3时的a的值，结合图象即可求得； （3）证得两直线都经过点（﹣2，﹣1），结合一次函数的增减性即可判断． 【解答】解：（1）∵点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0且a）的图象上， ∴am+2a﹣1＝0， ∴a， 若m＝3，则a； （2）由（1）可知a， ∵2＜m＜3， 若m＝2时，a， 若m＝3时，a， ∴． （2）∵y1＝ax+2a﹣1＝a（x+2）﹣1， ∴直线y1过点（﹣2，﹣1），如图， ∵a＜0， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小， ∵直线y2x也经过点（﹣2，﹣1），且y随x的增大而增大， ∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＞﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 12．（2024秋•沛县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求△COP的面积； （3）直接写出不等式kx+b≥﹣3x的解集：　x≥﹣1　． 【考点】一次函数与一元一次不等式；三角形的面积；待定系数法求一次函数解析式． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）y＝﹣x+2； （2）3； （3）x≥﹣1． 【分析】（1）先把点P（m，3）代入y＝﹣3x中求出点P的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即可解答； （2）利用（1）的结论求出点C的坐标，从而求出OC的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论可得：﹣x+2≥﹣3x，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）把点P（m，3）代入y＝﹣3x中得：3＝﹣3m， 解得：m＝﹣1， ∴点P（﹣1，3）， 把P（﹣1，3），点B（1，1）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝﹣x+2； （2）把y＝0代入y＝﹣x+2中得：0＝﹣x+2， 解得：x＝2， ∴点C（2，0）， ∵点P（﹣1，3）， ∴△COP的面积OC•yP2×3＝3； （3）由题意得：﹣x+2≥﹣3x， ﹣x+3x≥﹣2， 2x≥﹣2， x≥﹣1， 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．（2024秋•鼓楼区期末）已知一次函数y＝mx+m（m为常数，m≠0）的图象经过点（﹣2，3）． （1）求m的值； （2）不等式组0＜mx+m＜3的解集是 　﹣2＜x＜﹣1　． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）m＝﹣3； （2）﹣2＜x＜﹣1． 【分析】（1）把点（﹣2，3）代入一次函数解析式，即可求得m的值； （2）解不等式组，即可求得x的取值范围； 【解答】解：（1）∵把点（﹣2，3）代入一次函数y＝mx+m中， ∴得3＝﹣2m+m， ∴m＝﹣3； （2）∵不等式组0＜mx+m＜3， ∴， ∴﹣2＜x＜﹣1． 故答案为：﹣2＜x＜﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，主要考查学生的计算能力，用了数形结合思想． 14．（2024秋•萧山区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）． （1）若此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，求k的值． （2）若k+b＜0，点P（2，a）（a＞0）在该一次函数图象上，求证：k＞0． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质． 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力；推理能力． 【答案】（1）k＝3； （2）见解答． 【分析】（1）将A（1，2），B（2，5）代入y＝kx+b之中即可求出k的值； （2）将点P（2，a）代入y＝kx+b之中得2k+b＝a，根据a＞0得2k+b＞0，再结合k+b＜0得2k+b＞k+b，据此即可得出结论． 【解答】（1）解：∵此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点， ， 解得k＝3； （2）证明：∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点P（2，a）（a＞0）， ∴2k+b＝a， ∵a＞0， ∴2k+b＞0， ∵k+b＜0， ∴2k+b＞k+b， ∴k＞0． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式的方法与技巧，理解一次函数的性质，一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键． 15．（2024秋•南京期末）如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）． （1）求b、m、k的值； （2）△ACD的面积为 　6　． （3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】（1）b＝4，m＝2，k； （2）6； （3）x＞4或x＜﹣2． 【分析】（1）先把B点坐标代入y2＝﹣x+b值求出b的值，从而得到为y2＝﹣x+4，再求出m的值得到D点坐标，然后把D点坐标代入y1＝kx+1中求出k的值； （2）先利用两解析式求出点A、C的坐标，然后根据三角形面积公式求解； （3）根据函数图象，写出两函数值异号时对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）∵将B（﹣1，5）代入y2＝﹣x+b得1+b＝5， 解得b＝4， ∴直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+4， ∵把D（2，m）代入y2＝﹣x+4得m＝﹣2+4＝2， ∴点D坐标为（2，2）， ∵把D（2，2）代入y1＝kx+1得2k+1＝2， 解得k． ∴直线l1的函数表达式为y1x+1； （2）当y＝0时，﹣x+4＝0， 解得x＝4， ∴C（4，0）， 当y＝0时，x+1＝0， 解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， △ACD的面积（4+2）×2＝6； 故答案为：6； （3）∵当x＜﹣2或x＞4，y1•y2＜0， ∴不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集为x＞4或x＜﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$