专题15 成对数据的统计分析-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第三册）

专题15 成对数据的统计分析 高二数学专项强化与检测 专题15 成对数据的统计分析 一、知识填空 1．变量的相关关系 （1）相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. （2）相关系数：， 当时，成对样本数据 ；当时，成对样本数据 ，；当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 ． 2．一元线性回归模型:在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的 . 其中，Y称为 或 ，x称为 或 ；a和b为模型的未知参数，a称为 ，b称为 ；e是Y与bx＋a之间的 . 如果 ，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 3．一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征.我们将称为关于的 ，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做 ，求得的叫做b，a的 ，其中 4．回归分析 （1）残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为 . （2）刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的 中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度 ，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，称为残差平方和，残差平方和 ，模型的拟合效果越好；三是用决定系数R2比较，，R2越大，模型的拟合效果 ，R2越小，模型的拟合效果 . 5．分类变量与列联表 （1）分类变量:为了表述的方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为 . （2）列联表:一般地,假设两个分类变量和,它们的取值为,其样本频数列联表(也称为列联表)为 合计 合计 6．等高堆积条形图 等高条形图和表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征,依据频率稳定于概率的原理,我们可以推断结果. 7．独立性检验 （1）计算公式:，其中. （2）独立性检验:,通常称为 或 .基于小概率值的检验规则是:当时,我们就推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过;当时,我们没有充分证据推断不成立,可以认为和独立.这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为 ,读作“卡方独立性检验”,简称 . （3）临界值表 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 自检自纠： 1．（2）正相关 负相关 强 弱 2．一元线性回归模型 因变量 响应变量 自变量 解释变量 截距参数 斜率参数 随机误差 e＝0 3. 线性回归方程 最小二乘法 最小二乘估计 4．（1）观测值 残差 （2）带状区域 越窄 越小 越好 越差 5. 分类变量 7．零假设 原假设 独立性检验 独立性检验 二、专题训练 题组一：成对数据统计的相关性 1．要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（    ） A． B． C． D． 2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为，则　　 A．k与r的符号相同 B．b与r的符号相同 C．k与r的符号相反 D．b与r的符号相反 3．根据变量的观测数据，绘制成散点图1；根据变量的观测数据，绘制成散点图2.若用线性回归进行分析，设表示变量的样本相关系数，表示变量的样本相关系数，则（    ）    A． B． C． D． 4．第一组样本点为（-5，-8.9），（-4，-7.2），（-3，-4.8），（-2，-3.3），（-1，-0.9）第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9）第一组变量的线性相关系数为，第二组变量的线性相关系数为，则（    ） A． B． C． D． 5．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（     ）    A． B． C． D． 6．对两个变量进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（    ） A．变量与变量正相关，变量与变量负相关，变量与变量的线性相关性更强 B．变量与变量负相关，变量与变量正相关，变量与变量的线性相关性更强 C．变量与变量负相关，变量与变量正相关，变量与变量的线性相关性更强 D．变量与变量正相关，变量与变量负相关，变量与变量的线性相关性更强 7．已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（    ） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关 8．（多选）考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出：,其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值．下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（   ） A．分母中的和是和的标准差. B．分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关. C．样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强. D．通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较. 9．下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 题组二：一元线性回归的模型与应用 1．（多选）下列有关回归分析的结论中，正确的有（    ） A．若回归方程为，则变量与正相关 B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心 C．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 D．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 2．（多选）下列说法正确的有（    ） A．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为–0.25 C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D．若两个变量的决定系数R²越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好 3．如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 4．已知在党委政府精准扶贫政策下，自2018年起某地区贫困户第x年的年人均收入y（单位：万元）的统计数据如表： 年份 2018 2019 2020 2021 年份编号x 1 2 3 4 年人均收入y/万元 0.6 0.8 1.1 1.5 根据如表可得经验回归方程中的为0.3，据此模型预报该地区贫困户2022年的年人均收入为 万元． 5．王伯伯家的果园最近4年的支出（单位：万元）和收入（单位：万元）之间的数据如下： 2020年 2021年 2022年 2023年 1.8 2.1 2.3 3.0 2.0 2.8 3.2 4.0 若果园最近4年的收入与支出满足线性相关关系，则的值为 ，若计划2024年该果园的收入达到6万元，预计2024年的支出为 万元. 6．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示．根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为 ． x 2 3 4 5 6 y 1.5 2 3.5 4 5.5 7．已知某产品的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）的数据如表所示： 万元 1 2 3 4 5 万元 21 90 109 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（    ） A．样本相关系数在内 B．当时，残差为2 C．点一定在经验回归直线上 D．广告费用是6万元时，销售额一定为130万元 8．（多选）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（   ） A．相关变量 x，y具有正相关关系 B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C．剔除该异常点后的回归直线经过点 D．剔除该异常点后，回归直线的斜率是 9．如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 题组三：列联表与独立性检验 1．用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量是否相关.观察下列各图，其中两个分类变量相关关系最强的是（    ） A． B． C． D． 2．假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为                                                         Y X 总计 10 18 28 m 26 m+26 总计 m+10 44 m+54 则当整数取______时，与的关系最弱（    ） A．8 B．9 C．14 D．19 3．（多选）为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效” D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 4．某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是 ． 附：常用小概率值和临界值表： 5．（多选）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40 名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的22列联表： 性别 锻炼情况 合计 不经常 经常 女生/人 14 7 21 男生/人 8 11 19 合计/人 22 18 40 临界值表如下： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据这些数据，给出下列四个结论中正确的是（    ） A．依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响 B．依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响 C．根据小概率值α=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05 D．根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响 6．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表： 优秀 非优秀 合计 甲班人数 50 乙班人数 20 合计 30 110 附：，其中. 根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（    ） A． B． C． D． 7．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考查某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取只小鼠进行试验，得到如下列联表： 附表1： 感染 未感染 总计 服用 未服用 总计 附表2： 参照附表，下列结论正确的是（   ）． A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” C．有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” D．有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” 8．随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，某教育时报就“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”对某校高二年级部分学生作了专题调查，被调查的男､女生人数相同，其中男生支持的人数占调查男生人数的，女生支持的人数占女生调查人数的.若有99%的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调查的学生中男生人数可能为（    ）.附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：. A．135 B．145 C．146 D．150 9．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ） 参考数据及公式如下： A．12人 B．11人 C．10人 D．18人 10．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99.9%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数至少为（    ）附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．225人 B．227人 C．228人 D．230人 11．假设有两个分类变量和的列联表为：                总计 总计 参考公式：，其中．对同一样本，以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为（ ） A． B． C． D． 题组四：解答题 1．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018−2023年全球新能源汽车的销售量情况统计. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 6 销售量/百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14 若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： (1)求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）； (2)求关于的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量. 附：线性回归方程，其中，， 样本相关系数. 参考数据：，，，. 2．在2022年，华为公司持续加大研发投入，2022年研发投入达到1615亿元，占全年收入的25.1%均处于历史高位，十年累计投入的研发费用超过9773亿元．为进一步突破卡脖子的技术，解决芯片制造的难题，以保持面向未来的持续创新能力，华为某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组该技术研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据如下表所示： 研发投入 3 4 5 6 6 7 8 9 收益 8 9 11 10 13 15 17 21 (1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程； (2)该高科技企业主要研发了一类新产品，已知该产品的品质达到世界超一流水平的概率为，现随机抽取5件产品，求至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率． （附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计公式分别为：，；．） 3．设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数．(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 4．某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表： 月收入 （单位：百元） 赞成定价者人数 2 2 4 5 3 4 认为价格偏高者人数 4 8 9 6 2 1 (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入； (2)根据以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？ 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 附：，其中． 参考数据 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 5．随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每周进行长跑训练天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天 人数 30 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”． 附：（为样本容量） a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数； (2)根据上表的数据，填写下列：列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 性别 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 140 女 55 合计 6．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200）； (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：相关系数： 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6．在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策． 月份 1 2 3 4 5 销售量（万斤） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 3 7.2 11 81.1 374 该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型．表中，． (1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1，的值精确到整数位）； (2)已知该工厂的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 7．碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因．2009年世界气候大会，中国做出了减少碳排放的承诺，2010年被誉为了中国低碳创业元年．2020年中国政府在联合国大会发言提出：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．碳中和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”．如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图．该数据分为两段，2010年前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放．用x表示年份代号，记2010年为．用h表示2010年前的年度碳排放量，y表示2010年开始的年度碳排放量． 表一：2011~2017年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 年度碳排放量y（单位：亿吨） 2.54 2.635 2.72 2.80 2.885 3.00 3.09 (1)若关于x的线性回归方程为，根据回归方程估计若未采取措施，2017年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？ (2)根据，设2011~2017年间各年碳排放减少量为，建立z关于x的回归方程． ①根据，求表一中y关于x的回归方程（精确到0.001）； ②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？ 参考数据：．参考公式：． 8．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．    46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中． (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知这种产品的年利润与的关系为．根据（2）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 三、自我检测 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是　(　　) A．瑞雪兆丰年 B．上梁不正下梁歪 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 2．要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（    ） A． B． C． D． 3．观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．  B．   C．  D．   4．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适.②相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好.③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取对父子的身高数据如下： 父亲身高 174 176 176 176 178 儿子身高 175 175 176 177 177 则对的线性回归方程为（    ）.附公式：线性回归方程，其中，. A． B． C． D． 6．某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为，．甲统计员得到的回归方程为；乙统计员得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论： ①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取）；②；③方程比方程拟合效果好；④y与x正相关． 以上说法正确的是（ ） A．①③④ B．②③ C．②④ D．①②④ 7．今麦郎饮品公司计划提高某种产品的价格,为此销售部在2017年的11月1日至11月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查,其中该产品的价格x(元)与销售量y(万件)之间的数据如下表所示: 日期 11月1日 11月2日 11月3日 11月4日 11月5日 价格x(元) 9 9.5 10 10.5 11 销售量y(万件) 11 10 8 6 5 已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系,其回归直线方程为=-3.2x+,若该公司提高价格后该批发市场的日销售量为8.32万件,则该产品的价格约为（ ） A．14.3元 B．9.8元 C．9.9元 D．10.12元 8．某中学共有人，其中男生人，女生人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如图： 附：，其中. 已知在样本数据中，有位女生的每周平均体育锻炼时间超过小时，根据独立性检验原理，我们 A．没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” B．有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” C．有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关” D．有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．为了检验变量与的线性相关程度，由样本点、、、，求得两个变量的样本相关系数为，则下列说法正确的是（    ） A．若所有样本点都在直线上，则 B．若所有样本点都在直线上，则 C．若越大，则变量与的线性相关程度越强 D．若越小，则变量与的线性相关程度越强 10．某品牌新能源汽车2023年上半年的销最如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销量（万辆） 11.7 12.4 14.6 13.8 13.2 15.3 则（    ） A．销量的极差为 B．销量的第60百分位数为 C．销量的平均数与中位数相等 D．若销量关于月份的回归方程为 ，则 11．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为 C．依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作，在下面“性别与会法语”的列联表中， . 会法语 不会法语 总计 男 a b 40 女 12 d 总计 36 100 13．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ． 14．已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间可以用模型去拟合，收集了4组数据，设与的数据如表格所示： 4 6 8 10 2 3 5 6 利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则 . 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$专题15 成对数据的统计分析 高二数学专项强化与检测 专题15 成对数据的统计分析 一、知识填空 1．变量的相关关系 （1）相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. （2）相关系数：， 当时，成对样本数据 ；当时，成对样本数据 ，；当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 ． 2．一元线性回归模型:在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的 . 其中，Y称为 或 ，x称为 或 ；a和b为模型的未知参数，a称为 ，b称为 ；e是Y与bx＋a之间的 . 如果 ，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 3．一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征.我们将称为关于的 ，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做 ，求得的叫做b，a的 ，其中 4．回归分析 （1）残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为 . （2）刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的 中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度 ，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，称为残差平方和，残差平方和 ，模型的拟合效果越好；三是用决定系数R2比较，，R2越大，模型的拟合效果 ，R2越小，模型的拟合效果 . 5．分类变量与列联表 （1）分类变量:为了表述的方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为 . （2）列联表:一般地,假设两个分类变量和,它们的取值为,其样本频数列联表(也称为列联表)为 合计 合计 6．等高堆积条形图 等高条形图和表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征,依据频率稳定于概率的原理,我们可以推断结果. 7．独立性检验 （1）计算公式:，其中. （2）独立性检验:,通常称为 或 .基于小概率值的检验规则是:当时,我们就推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过;当时,我们没有充分证据推断不成立,可以认为和独立.这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为 ,读作“卡方独立性检验”,简称 . （3）临界值表 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 自检自纠： 1．（2）正相关 负相关 强 弱 2．一元线性回归模型 因变量 响应变量 自变量 解释变量 截距参数 斜率参数 随机误差 e＝0 3. 线性回归方程 最小二乘法 最小二乘估计 4．（1）观测值 残差 （2）带状区域 越窄 越小 越好 越差 5. 分类变量 7．零假设 原假设 独立性检验 独立性检验 二、专题训练 题组一：成对数据统计的相关性 1．要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以比较它们的相关系数的大小，的值越接近1，线性相关程度越强；的值越接近0，线性相关程度越弱，根据选项可知.故选:C. 2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为，则　　 A．k与r的符号相同 B．b与r的符号相同 C．k与r的符号相反 D．b与r的符号相反 【答案】A 【详解】相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降， 与r的符号相同．故选A． 3．根据变量的观测数据，绘制成散点图1；根据变量的观测数据，绘制成散点图2.若用线性回归进行分析，设表示变量的样本相关系数，表示变量的样本相关系数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得随增大而减小，随增大而减小，所以与增呈负相关关系，与呈负相关关系，故，又由图可知图1相关性更强，故更接近，所以.故选：A. 4．第一组样本点为（-5，-8.9），（-4，-7.2），（-3，-4.8），（-2，-3.3），（-1，-0.9）第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9）第一组变量的线性相关系数为，第二组变量的线性相关系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察第一组样本点，y随x的增大而增大，故；观察第二组样本点，y随x的增大而减小，故.综上：.故选：A. 5．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更线性相关性更强，则更接近，所以.故选：D. 6．对两个变量进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（    ） A．变量与变量正相关，变量与变量负相关，变量与变量的线性相关性更强 B．变量与变量负相关，变量与变量正相关，变量与变量的线性相关性更强 C．变量与变量负相关，变量与变量正相关，变量与变量的线性相关性更强 D．变量与变量正相关，变量与变量负相关，变量与变量的线性相关性更强 【答案】D 【详解】由线性相关系数知与正相关，由线性相关系数知与负相关， 又，所以变量与变量的线性相关性比变量与变量的线性相关性更强．故选：D． 7．已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（    ） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关 【答案】D 【详解】根据回归方程可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关，由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关.故选：D 8．（多选）考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出：,其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值．下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（   ） A．分母中的和是和的标准差. B．分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关. C．样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强. D．通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较. 【答案】BD 【详解】和是和的标准差，故A错误；由相关系数的定义，可知B正确；样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越弱，故C错误；根据相关系数的演化过程，可知D正确.故选：BD 9．下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 【答案】D 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误；对于B， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故B错误.对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误；对于D，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故D正确．故选：D． 题组二：一元线性回归的模型与应用 1．（多选）下列有关回归分析的结论中，正确的有（    ） A．若回归方程为，则变量与正相关 B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心 C．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 D．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 【答案】ABC 【详解】对于选项A：因为回归方程为，可知，所以变量y与x正相关，故A正确； 对于选项B：由线性回归方程的性质可知：回归直线一定经过样本点的中心，故B正确； 对于选项C：决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故C正确； 对于选项D：散点图中所有点都在直线上，则，且，所以变量y与x正相关，即，可知，故D错误． 故选：ABC． 2．（多选）下列说法正确的有（    ） A．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为–0.25 C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D．若两个变量的决定系数R²越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少，故A错误；对于B，因为，，所以相对于样本点的残差为，故B正确；对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故C正确；对于D，由决定系数的意义可知，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确.故选：BCD. 3．如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，，，可得，，， 则y关于x的经验回归直线必过点.故选：A. 4．已知在党委政府精准扶贫政策下，自2018年起某地区贫困户第x年的年人均收入y（单位：万元）的统计数据如表： 年份 2018 2019 2020 2021 年份编号x 1 2 3 4 年人均收入y/万元 0.6 0.8 1.1 1.5 根据如表可得经验回归方程中的为0.3，据此模型预报该地区贫困户2022年的年人均收入为 万元． 【答案】1.75 【详解】.故，所以， 年，对应，预测值为（万元）故答案为： 5．王伯伯家的果园最近4年的支出（单位：万元）和收入（单位：万元）之间的数据如下： 2020年 2021年 2022年 2023年 1.8 2.1 2.3 3.0 2.0 2.8 3.2 4.0 若果园最近4年的收入与支出满足线性相关关系，则的值为 ，若计划2024年该果园的收入达到6万元，预计2024年的支出为 万元. 【答案】 4.175 【详解】由图表可知，，，则样本点的中心为， 代入，得．收入与支出满足线性回归方程为． 取，可得，则．预计2024年的支出为4.175万元． 6．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示．根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为 ． x 2 3 4 5 6 y 1.5 2 3.5 4 5.5 【答案】 【详解】由表格可得：，，把代入，解得，，把代入解得，在样本处的残差为．故答案为：． 7．已知某产品的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）的数据如表所示： 万元 1 2 3 4 5 万元 21 90 109 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（    ） A．样本相关系数在内 B．当时，残差为2 C．点一定在经验回归直线上 D．广告费用是6万元时，销售额一定为130万元 【答案】AB 【详解】对于A，因为具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为，所以，具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故A正确；对于B，根据题意得，，又必过样本中心点，所以，解得，故当时，，残差为，故B正确；对于C，点即点，当时，，即点不在经验回归直线上，故C错误；对于D，当时，，即广告费用是万元时，销售额估计为130万元，故D错误．故选：AB． 8．（多选）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（   ） A．相关变量 x，y具有正相关关系 B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C．剔除该异常点后的回归直线经过点 D．剔除该异常点后，回归直线的斜率是 【答案】BCD 【详解】对于A，由回归直线方程的斜率为，可知相关变量 x，y具有负相关关系，故A错误；对于B，剔除一个偏离直线较大的异常点后，成对样本数据相关程度更强，故样本相关系数的绝对值变大，B正确；对于C，因为原回归直线方程为，且，则，剔除异常点后，得到新的回归直线经过点，则得到新的，，故剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；对于D，新的回归直线过点，列出方程，解得，则新的回归方程为，故D正确；故选：BCD 9．如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】C 【详解】共8个点且离群点P的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故C正确.去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，故D错误.有，，故AB错误.故选：C. 题组三：列联表与独立性检验 1．用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量是否相关.观察下列各图，其中两个分类变量相关关系最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在等高堆积条形图中，深色条的高度相差越大，相关性越强.故选：D 2．假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为                                                         Y X 总计 10 18 28 m 26 m+26 总计 m+10 44 m+54 则当整数取______时，与的关系最弱（    ） A．8 B．9 C．14 D．19 【答案】C 【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．令，得，解得，又为整数，所以当时，与的关系最弱，故A，B，D错误.故选：C． 3．（多选）为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效” D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 【答案】AD 【详解】因为，即，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，故在犯错误的概率不超过的前提下，认为药物有效，故BC错误．而根据统计量的意义，可得其值越大，则判断与有关系的把握程度越大，故D正确.故选：AD． 4．某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是 ． 附：常用小概率值和临界值表： 【答案】 【详解】由已知可得，所以市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是. 故答案为：. 5．（多选）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40 名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的22列联表： 性别 锻炼情况 合计 不经常 经常 女生/人 14 7 21 男生/人 8 11 19 合计/人 22 18 40 临界值表如下： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据这些数据，给出下列四个结论中正确的是（    ） A．依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响 B．依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响 C．根据小概率值α=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05 D．根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响 【答案】AD 【详解】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为，男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为，因为，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故A正确，B错误；，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故D正确，C错误.故选：AD 6．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表： 优秀 非优秀 合计 甲班人数 50 乙班人数 20 合计 30 110 附：，其中. 根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 优秀 非优秀 合计 甲班人数 50 乙班人数 20 合计 30 110 由题表中的数据可得: , 因为, 所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为. 故选：D 7．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考查某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取只小鼠进行试验，得到如下列联表： 附表1： 感染 未感染 总计 服用 未服用 总计 附表2： 参照附表，下列结论正确的是（   ）． A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” C．有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” D．有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” 【答案】A 【详解】，且，所以，在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”.故选：A. 8．随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，某教育时报就“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”对某校高二年级部分学生作了专题调查，被调查的男､女生人数相同，其中男生支持的人数占调查男生人数的，女生支持的人数占女生调查人数的.若有99%的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调查的学生中男生人数可能为（    ）.附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：. A．135 B．145 C．146 D．150 【答案】D 【详解】设参加调查的男生､女生各x人，依题意填写22列联表，如下： 支持 不支持 总计 男生 女生 总计 若有99%的把握认为是否支持该政策与性别有关，则，即，解得，由题意知，且x是15的整数倍，所以x取150.故选：D. 9．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ） 参考数据及公式如下： A．12人 B．11人 C．10人 D．18人 【答案】A 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，由，解得，因为为整数，所以若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有人.故选：A 10．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99.9%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数至少为（    ）附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．225人 B．227人 C．228人 D．230人 【答案】C 【详解】设男女大学生各有m人，根据题意画出列联表，如下图： 看 不看 合计 男 m 女 m 合计 2m 所以，因为有99.9%的把握认为性别与对产品是否满意有关， 所以，解得，所以总人数至少为228.故选C. 11．假设有两个分类变量和的列联表为：                总计 总计 参考公式：，其中．对同一样本，以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，选项B：， 选项C：，选项D：，所以，即由选项D中的数据得到的值最大，也就能说明与有关系的可能性最大.故选:D 题组四：解答题 1．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018−2023年全球新能源汽车的销售量情况统计. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 6 销售量/百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14 若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： (1)求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）； (2)求关于的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量. 附：线性回归方程，其中，， 样本相关系数. 参考数据：，，，. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以. （2）由题意得，所以 所以关于的线性回归方程为 所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为百万辆. 2．在2022年，华为公司持续加大研发投入，2022年研发投入达到1615亿元，占全年收入的25.1%均处于历史高位，十年累计投入的研发费用超过9773亿元．为进一步突破卡脖子的技术，解决芯片制造的难题，以保持面向未来的持续创新能力，华为某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组该技术研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据如下表所示： 研发投入 3 4 5 6 6 7 8 9 收益 8 9 11 10 13 15 17 21 (1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程； (2)该高科技企业主要研发了一类新产品，已知该产品的品质达到世界超一流水平的概率为，现随机抽取5件产品，求至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率． （附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计公式分别为：，；．） 【详解】（1）由题意可知，， 所以，又由得，∴， 所以此经验回归方程. （2）记“至少有3件产品的品质到达世界超一流水平”为事件A，则 所以至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率为. 3．设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数．(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【详解】（1）令，则，根据已知数据表得到如下表： x y 则，， 可得，， 通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，则，所以y关于的回归方程. （2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天，所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有： ；；；； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量的期望值. 4．某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表： 月收入 （单位：百元） 赞成定价者人数 2 2 4 5 3 4 认为价格偏高者人数 4 8 9 6 2 1 (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入； (2)根据以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？ 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 附：，其中． 参考数据 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【详解】（1）由题意可知赞成定价者总人数为人， 认为价格偏高者总人数为人， 所以“赞成定价者”的月平均收入为（百元）， “认为价格偏高者”的月平均收入为（百元）. （2）由题补全列联表如下： 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 3 27 30 赞成定价者 7 13 20 合计 10 40 50 设零假设：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异， 由列联表表格数据得， 所以依据小概率值的独立性检验推断成立，即认为月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，所以依据小概率值的独立性检验不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”. 5．随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每周进行长跑训练天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天 人数 30 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”． 附：（为样本容量） a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数； (2)根据上表的数据，填写下列：列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 性别 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 140 女 55 合计 【详解】（1）记事件“参与马拉松运动的‘热烈参与者’”，则由题意可得， 所以该市参与马拉松运动的“热烈参与者”的人数估计为人. （2）列联表如下： 性别 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 35 105 140 女 5 55 60 合计 40 160 200 零假设为：“热烈参与马拉松”与性别无关， 根据列联表中的数据得， 所以根据小概率值的独立性检验推断不成立， 所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关. 6．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200）； (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：相关系数： 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）由题意，，， 又的方差为， ， . （2）由（1）知接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合：，， 故当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分. （3）零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关，根据数据，计算得到： ，因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关. 6．在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策． 月份 1 2 3 4 5 销售量（万斤） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 3 7.2 11 81.1 374 该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型．表中，． (1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1，的值精确到整数位）； (2)已知该工厂的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【详解】（1）由题意，，令得， 所以，， 所以y关于x的回归方程为. （2）由（1）知，故. 当且仅当即时等号成立．所以该工厂6月份的月利润最小． 7．碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因．2009年世界气候大会，中国做出了减少碳排放的承诺，2010年被誉为了中国低碳创业元年．2020年中国政府在联合国大会发言提出：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．碳中和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”．如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图．该数据分为两段，2010年前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放．用x表示年份代号，记2010年为．用h表示2010年前的年度碳排放量，y表示2010年开始的年度碳排放量． 表一：2011~2017年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 年度碳排放量y（单位：亿吨） 2.54 2.635 2.72 2.80 2.885 3.00 3.09 (1)若关于x的线性回归方程为，根据回归方程估计若未采取措施，2017年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？ (2)根据，设2011~2017年间各年碳排放减少量为，建立z关于x的回归方程． ①根据，求表一中y关于x的回归方程（精确到0.001）； ②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？ 参考数据：．参考公式：． 【详解】（1）2017年的估计值：（亿吨）， 从而估计减少碳排放量为（亿吨）． （2）①设，则， ， ∴ ∴ ∴， ②∵y的对称轴为，∴大约在2026年实现碳达峰， 8．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．    46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中． (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知这种产品的年利润与的关系为．根据（2）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【详解】（1）根据散点图判断，更适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型； （2）令，，由表可知：，； 所以关于的回归方程为：； （3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值为， 年利润的预报值为. （ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值， 当，即时，年利润的预报值最大， 故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大. 三、自我检测 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是　(　　) A．瑞雪兆丰年 B．上梁不正下梁歪 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 【答案】D 【详解】选项A，B，C中描述的变量间都具有相关关系，而选项D是迷信说法，没有科学依据. 选D. 2．要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关； ，且 越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小，故 ，因此线性相关最强的是A,故选：A 3．观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】B 【详解】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系，由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系，故选：B 4．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适.②相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好.③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，①正确． ②相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②正确．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，③正确．综上可知：其中正确命题的是①②③．故选：D 5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取对父子的身高数据如下： 父亲身高 174 176 176 176 178 儿子身高 175 175 176 177 177 则对的线性回归方程为（    ）.附公式：线性回归方程，其中，. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由表格数据，，，则，， ∴，又，∴.故选：C 6．某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为，．甲统计员得到的回归方程为；乙统计员得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论： ①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取）；②；③方程比方程拟合效果好；④y与x正相关． 以上说法正确的是（ ） A．①③④ B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【详解】将代入，得，①正确；将，代入得，②正确；由散点图可知，回归方程比的拟合效果更好，③错误；因为随的增大而增大，所以与正相关，④正确．故①②④正确．故选：D． 7．今麦郎饮品公司计划提高某种产品的价格,为此销售部在2017年的11月1日至11月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查,其中该产品的价格x(元)与销售量y(万件)之间的数据如下表所示: 日期 11月1日 11月2日 11月3日 11月4日 11月5日 价格x(元) 9 9.5 10 10.5 11 销售量y(万件) 11 10 8 6 5 已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系,其回归直线方程为=-3.2x+,若该公司提高价格后该批发市场的日销售量为8.32万件,则该产品的价格约为（ ） A．14.3元 B．9.8元 C．9.9元 D．10.12元 【答案】C 【详解】依题意可得(9+9.5+10+10.5+11)=10,(11+10+8+6+5)=8.因为线性回归直线必过样本点的中心(,),所以8=-3.2×10+,解得=40.所以回归直线方程为=-3.2x+40.令=8.32,则8.32=-3.2x+40,解得x=9.9.所以该产品的价格约为9.9元.故选C． 8．某中学共有人，其中男生人，女生人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如图： 附：，其中. 已知在样本数据中，有位女生的每周平均体育锻炼时间超过小时，根据独立性检验原理，我们 A．没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” B．有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” C．有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关” D．有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” 【答案】B 【详解】从人中，其中男生人，女生人，采用分层抽样抽取一个容量为人的样本，其中男女各抽取的人数为人，人，由频率分布直方图可知，每周体育锻炼时间超过小时的人数的频率为，在人中每周体育锻炼时间超过小时的人数为人， 又在每周体育锻炼时间超过小时的人数中，女生有人，则男生有人，可得如下的的列联表： 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过小时 每周平均体育运动时间超过小时 总计 结合列联表可算得，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”，故选：B. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．为了检验变量与的线性相关程度，由样本点、、、，求得两个变量的样本相关系数为，则下列说法正确的是（    ） A．若所有样本点都在直线上，则 B．若所有样本点都在直线上，则 C．若越大，则变量与的线性相关程度越强 D．若越小，则变量与的线性相关程度越强 【答案】BC 【详解】若所有样本点都在直线上，则，A错B对；若越大，则变量与的线性相关程度越强，若越小，则变量与的线性相关程度越若，C对D错.故选：BC. 10．某品牌新能源汽车2023年上半年的销最如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销量（万辆） 11.7 12.4 14.6 13.8 13.2 15.3 则（    ） A．销量的极差为 B．销量的第60百分位数为 C．销量的平均数与中位数相等 D．若销量关于月份的回归方程为 ，则 【答案】AC 【详解】将销量按升序排列可得11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，对于A，销量的极差为，A正确；对于B，由，得销量的分位数是第4位数13.8，B错误；对于C，销量的平均数，销量的中位数，则销量的平均数与中位数相等，C正确；对于D，月份的平均数，回归方程过样本中心点，即，解得，D错误.故选：AC 11．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为 C．依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人，故男生中经常锻炼的人数为人，不经常锻炼的人数为人，故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，A正确；对于B，经常锻炼的女生人数为人，不经常锻炼的人数为人，故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，B正确；对于C，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男 100 60 160 女 100 40 140 合计 200 100 300 则，故依据的独立性检验，认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，该推断犯错误的概率不超过0.1，C错误；对于D，由题意可得： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男 200 120 320 女 200 80 280 合计 400 200 600 则此时，故依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，D正确，故选ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作，在下面“性别与会法语”的列联表中， . 会法语 不会法语 总计 男 a b 40 女 12 d 总计 36 100 【答案】 【详解】根据表格中的数据，因为志愿者的总人数为100，所以，解得. 故答案为：. 13．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ． 【答案】/ 【详解】经验回归直线过样本点的中心，，， 经验回归方程为．当时，，残差为． 故答案为：. 14．已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间可以用模型去拟合，收集了4组数据，设与的数据如表格所示： 4 6 8 10 2 3 5 6 利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则 . 【答案】 【详解】，，代入可得， 由得，即，而，所以，，得，则.故答案为：. 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$