线线、线面、面面垂直判定与性质讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

线线，线面与面面垂直判定与性质 知识点一　回顾两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 知识点二　异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点三　直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 知识点四　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 知识点五　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 知识点六　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 知识点七　平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 知识点八　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 题型一 求异面直线所成角 1．长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得. 【详解】 如图所示，因，则即异面直线与所成角. 连接，在中，， 则，即异面直线与所成角为. 故选：C. 2．若为正方体，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正棱柱及其有关计算、求异面直线所成的角 【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线夹角的定义，可得答案. 【详解】连接，，如下图： 易知，所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 易知为等边三角形，所以. 故选：A. 3．在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，直线与直线所成的角为，在中求其正切值即可. 【详解】如图，取的中点，连接，，则且 故直线与直线所成的角为. 因为面，面，所以，， 设，，则.    故选：A 4．如图为正方体切去一个三棱锥后得到的几何体，若点为底面的中心，则直线与平面的位置关系是 ，与的夹角为 ． 【答案】 平行 【知识点】求异面直线所成的角、判断线面平行 【分析】构造平行四边形，结合线面平行的证明方法可得直线平面，由为等边三角形可得与的夹角. 【详解】如图，将其补成正方体，设和交于点，连接， 依题意可知，且， 即四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以直线平面． 为与的夹角， ，即为等边三角形， ，故. 故答案为：平行；. 5．空间四边形中，且与所成的角为，分别是的中点，求与所成的角的大小． 【答案】或 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用中位线定义结合线线角的定义求解即可. 【详解】 如图，取的中点，连接． 因为分别是的中点， 所以分别是的中位线， 所以，；，． 所以，与所成的角就是所成的角， 因为与所成的角为，所以或， 所以或， 因为，所以与所成的角就是与所成的角， 且设该角为，所以或. 6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)90° 【知识点】证明异面直线垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）作平行线，找到A1C1与B1C所成角，再进行求解； （2）作辅助线，得到A1C1与EF所成的角，证明出垂直关系，得到所成角为90°. 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 题型二 证明线线垂直 1．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 2．空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 【答案】见解析 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】确定为和所成的角，计算长度，，，根据勾股定理得到答案。 【详解】如图，因为分别为的中点， 所以，， 所以为和所成的角. 又，，， 所以，所以， 即和所成的角为90°所以. 【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 3．如图，在正方体中，为底面的中心.求证 【答案】见解析 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】如图所示，连接，，确定直线与所成的角即为直线与所成的角，证明得到答案。 【详解】如图所示：连接，是正方体. ∴四边形是平行四边形. ∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证.又为底面的中心， 为的中点 . 【点睛】本题考查了直线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 题型三 线面垂直的辨别 1．空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、线面平行的性质 【分析】根据线面平行的性质定理判断选项A；根据线面垂直的判定定理判断选项B；根据线面垂直的性质定理判断选项C；根据空间直线位置关系判断选项D即可. 【详解】对于A，若，，则或是异面直线，故A错误； 对于B，若且，，，根据线面垂直的判定定理，当相交时，才有，故B错误； 对于C，根据线面垂直的性质定理，，则，故C正确； 对于D，若且，，，则或相交，故D错误； 故选：C. 2．设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A不正确；     对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误； 对于C中，由，，，则，所以C错误； 对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确. 故选：D. 3．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（   ） ①若，，则；            ②若，，则； ③若，，则；            ④若，，则． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【知识点】判断线面是否垂直、判断线面平行、证明异面直线垂直 【分析】借助长方体模型考察直线是否可在平面内，可判断①②；在平面内取两条相交直线m，n，根据线面垂直判定定理可判断③；利用线面平行的性质定理和异面直线夹角定义可判断④. 【详解】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图， 当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确； 当直线为直线a时，满足，，而，②不正确； 在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则， 而，则，又，m，n是相交直线，∴，③正确； 因，过直线b作平面，如图， 则有，又，，于是得，从而得，④正确， ∴给定命题正确的是③④. 故选：D. 4．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【知识点】判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据空间中线、面位置关系逐项分析判断. 【详解】对于A，若，，则或或l与相交，故A错误； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若，，则或或l与相交，故C错误； 对于D，若，，则， 又因为，则，故D正确. 故选：BD. 5．如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 【答案】ACD 【知识点】异面直线的判定、判断线面平行、证明线面垂直 【分析】由线面垂直的判定定理和线面平行的概念及异面直线的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于选项B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于选项C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于选项D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确. 故选：ACD． 6．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 【答案】①④ 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据立体几何相关定理逐项分析. 【详解】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确； 对于②，如果，则结论不成立，错误； 对于③，如图：   ，构造平面，使得，并且，则，在平面内，作直线n，使得，显然，错误； 对于④，，又，正确； 故答案为：①④. 7．下列命题中，正确的序号是 ． ①若直线与平面内的无数条直线垂直，则； ②若直线与平面内的一条直线垂直，则； ③若直线不垂直于平面，则内没有与垂直的直线； ④若直线不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 【答案】④⑤ 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直 【分析】运用线面垂直的判定定理判断①②，当直线不与平面垂直，斜交时，存在无数条直线与该直线垂直即可判断③④，过一点有且只有一条直线垂直于已知平面即可判断⑤. 【详解】由线面垂直的判定定理判断①②，都缺少直线垂直于平面内的两条相交直线，故①②错， 运用三垂线定理，当直线不与平面垂直，斜交时，过斜足做射影的垂线，可得此直线与斜线垂直，通过平移，可得无数条平行直线，这些直线都和斜线垂直，③错，④对, 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,故⑤对 故答案为：④⑤. 题型四 线面垂直的判定 1．如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断线面是否垂直、证明线面垂直 【分析】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【详解】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D 2．如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】由为矩形及线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判断和性质有，最后应用线面垂直的判定证平面. 【详解】为矩形， 平面平面 ， 又，平面， 平面，又平面， ， 又，平面， 平面. 3．正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直 【分析】（1）根据条件证明和，由此可证明平面； （2）通过平移直线法将平移至，根据条件可知与的夹角为或其补角，结合线段长度完成计算. 【详解】（1）因为几何体为正方体，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形时正方形，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）连接，如图所示， 因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 又因为， 所以是等边三角形，所以， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 4．如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，即可证明； （2）根据（1）的结论，结合线面垂直的判断定理，即可证明. 【详解】（1）平面，平面， ． ，． 又，，平面， 平面． （2）平面，平面， ． ，，，平面， 平面． 5．如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面.求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】先由平面和证明，再由即可证得结论. 【详解】因平面，平面，则， 又，故， 又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面，所以平面. 6．已知正方体的棱长为2． (1)证明：． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先证平面，则可得； （2）利用等体积转化即可求得. 【详解】（1）在正方体中，， 平面，平面，． 又，、平面，平面． 又平面，． （2）在正方体中，平面， . 题型五 线面垂直的性质应用 1．如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意，证得和，得到平面，进而证得. 【详解】证明：在正三棱柱中，且为棱的中点，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以 2．如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足. 求证：⊥平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】由题目条件得到⊥平面，故⊥，结合⊥得到线面垂直. 【详解】∵为⊙O的直径， ∴⊥. 又⊥平面，平面， ∴⊥. 又∵，平面， ∴⊥平面. 又平面， ∴⊥. 又⊥，且，平面， ∴⊥平面. 3．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若点是棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线面垂直性质以及菱形性质可得,，根据线面垂直判定定理即可得出平面；； （2）依题意可得四边形为平行四边形，利用线面平行判定定理即可证明平面． 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 易知，平面， 所以平面； （2）连接，，如下图所示： 由底面为菱形可得，且， 又因为为的中点，点是棱的中点，所以可得，且， 所以可知四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 4．如图，在三棱锥中，平面，为等边三角形，点 为棱的中点， (1)求证: 平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为为等边三角形，点 为棱的中点，所以， 又平面， 所以平面； （2），， 因为平面， 所以. 5．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）通过证得，且，证得平面，进而证得； （2）设与的交点为，连结，由三角形的中位线定理得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】（1）证明：由底面，且底面，所以， 又因为，，且平面， 所以平面， 因为，所以． （2）证明：设与的交点为，连结， 因为是的中点，是的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面．    题型六 面面垂直的辨别 1．已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断面面是否垂直、证明面面垂直、线面平行的性质 【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误； 对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 因此相交，不一定垂直，B错误； 对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误； 对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：D 2．对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】在AB中，可得与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得. 【详解】在A中，，，，则与β相交或平行，故A错误； 在B中，，，，则与β相交或平行，故B错误； 在C中，，，则， 且，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 在D中，，，，由面面平行的判定定理得，故D错误. 故选：C. 3．已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】利用直线与平面的位置关系的判定和性质即可选出正确答案. 【详解】选项A：根据给定条件有 或； 选项B：根据给定条件有 或； 选项C：根据给定条件有与的位置可能平行、相交或m在α内； 选项D：因为，所以存在直线使得， 又因为，所以，因为，所以. 故选：D. 4．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】判断面面是否垂直、证明面面垂直 【分析】举例说明判断ACD；利用线面垂直性质、面面垂直的判定推理判断B. 【详解】对于A，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，A错误； 对于B，由，知存在过的平面与相交，令交线为，则，而， 于是，，B正确； 对于C，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，C错误； 对于D，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，D错误. 故选：B 5．（多选）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【知识点】面面平行证明线面平行、线面角的概念及辨析、判断面面是否垂直、线面平行的性质 【分析】运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断A；运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断B；运用面面平行的性质定理，即可判断C；由平行的传递性及线面角的定义，即可判断D． 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误：如图， 不妨设为直线m，为直线n， 所在的平面为，所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A错误； 对于B，设过直线的某平面与平面相交于直线，则， 由知，从而，故B正确； 对于C，如果，则，故C正确； 对于D，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，故D正确. 故选：BCD. 题型七 面面垂直的判定 1．如图，在三棱锥中，，M是的中点．点N在棱上，点D是的中点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明平面，结合面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）在中，M是的中点，D是的中点， 所以． 又因为平面，平面，所以平面． （2）在中，，M是的中点，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 2．在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面垂直 【分析】通过证明平面即可证得. 【详解】因为是的中点，所以. 又是的中点，所以. 因为，所以. 又，平面. 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 3．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证： (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，进而得到线面垂直，面面垂直. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 故平面； （2）平面，平面， ∴， ∵底面为矩形， . 又，平面， 平面. 又平面， 平面平面. 4．如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角.求证：平面平面，平面平面.    【答案】证明见解析 【知识点】证明面面垂直 【分析】利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】因为，，，平面， 所以平面； 因为平面，所以平面平面； 已知为直角，所以， 又，，平面， 因此平面， 因为平面ABD，所以平面平面. 5．在如图所示的直三棱柱中，．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直； （2）证明出⊥平面，结合，利用求出三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：∵棱柱是直三棱柱， ∴． 又，且，平面 ∴平面． 又平面， ∴平面平面． （2）∵，且，平面 ∴平面，则⊥平面． ∵， ∴． 题型八 面面垂直的性质运用 1．如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可. 【详解】（1）因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面， （2）因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面，所以， 2．如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，即可得，结合，即可由线面垂直的判定求证. 【详解】由题意知为正三角形，是AD的中点，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 又四边形是菱形且， 是正三角形，.又，，平面， 平面. 3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．点E为棱PC的中点，点F为棱AB上的一点，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD． (1)证明：AC⊥PB； (2)证明：EF∥平面PAD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由条件可证梯形中AC⊥BC，再结合面面垂直的性质即可证明；（2）取棱PD中点为G，可证明EF∥AG，结合线面平行的判定定理即可证明结果. 【详解】（1）由条件易得：AD＝DC＝1，∠ADC＝120°， 则，AC＝， ∠ABC＝120°，由余弦定理可知：AB＝2， 则∠ACB＝90°，所以AC⊥BC． 又平面PBC⊥平面ABCD， 且平面PBC∩平面ABCD＝BC， 且AC⊂平面ABCD， 则AC⊥平面PBC， 又PB⊂平面PBC， 所以AC⊥PB； （2）由（1）可知AB＝2． 取棱PD中点为G，连接EF、EG、AG， 因为E为PC的中点，所以EG∥DC，且EG＝DC， 又，所以AF∥DC，且AF＝DC， 所以EG∥AF，且EG＝AF，所以四边形AFEG为平行四边形， 所以EF∥AG． 又EF⊄平面PAD， 且AG⊄平面PAD， 则EF∥平面PAD． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 线线，线面与面面垂直判定与性质 知识点一　回顾两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 知识点二　异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点三　直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 知识点四　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 知识点五　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 知识点六　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 知识点七　平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 知识点八　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 题型一 求异面直线所成角 1．长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．若为正方体，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．    4．如图为正方体切去一个三棱锥后得到的几何体，若点为底面的中心，则直线与平面的位置关系是 ，与的夹角为 ． 5．空间四边形中，且与所成的角为，分别是的中点，求与所成的角的大小． 6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 题型二 证明线线垂直 1．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 2．空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 3．如图，在正方体中，为底面的中心.求证 题型三 线面垂直的辨别 1．空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若且，则 2．设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（   ） ①若，，则；            ②若，，则； ③若，，则；            ④若，，则． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 4．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 6．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 7．下列命题中，正确的序号是 ． ①若直线与平面内的无数条直线垂直，则； ②若直线与平面内的一条直线垂直，则； ③若直线不垂直于平面，则内没有与垂直的直线； ④若直线不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 题型四 线面垂直的判定 1．如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 2．如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 3．正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 4．如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 5．如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面.求证：平面. 6．已知正方体的棱长为2． (1)证明：． (2)求三棱锥的体积． 题型五 线面垂直的性质应用 1．如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：. 2．如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足. 求证：⊥平面； 3．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若点是棱的中点，求证：平面． 4．如图，在三棱锥中，平面，为等边三角形，点 为棱的中点， (1)求证: 平面； (2)求三棱锥的体积. 5．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面． 题型六 面面垂直的辨别 1．已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 2．对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 题型七 面面垂直的判定 1．如图，在三棱锥中，，M是的中点．点N在棱上，点D是的中点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 2．在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面； 3．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证： (1)平面； (2)平面平面. 4．如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角.求证：平面平面，平面平面.    5．在如图所示的直三棱柱中，．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 题型八 面面垂直的性质运用 1．如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 2．如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．点E为棱PC的中点，点F为棱AB上的一点，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD． (1)证明：AC⊥PB； (2)证明：EF∥平面PAD． 学科网（北京）股份有限公司 $$