精品解析：吉林省通化市梅河口市博文学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

2023--2024学年第二学期第一次考试 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知函数f（x）在处的导数为12，则（ ） A. -4 B. 4 C. -36 D. 36 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. 45° C. D. 135° 4. 函数在区间上的最小值为 A. 72 B. 36 C. 12 D. 0 5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为0 C. D. 当且仅当时，取最大值30 10. 已知函数，关于的性质，以下四个结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 函数在区间上是增函数 C. 有两个零点 D. 函数在处取得极小值 11. 已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 时，恒成立 B. 时，是的极值点 C. 若有3个零点，则的范围为 D. 时.有唯一零点且 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.） 12. 设函数的导函数为，且，则___________. 13. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是____. 14. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为_______. 四、解答题：（共6小题共70分） 15. 已知函数，.点是函数图象上一点. （1）求函数图像在点处的切线方程； （2）求函数的单调递减区间. 16. 已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 17. 已知等差数列满足，，的前项和为. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）令，求数列的前项和. 18. 已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 19. 已知函数在与时都取得极值. （1）求的值与函数的单调区间. （2）求该函数在的极值和单调性. （3）设，若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023--2024学年第二学期第一次考试 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知函数f（x）在处的导数为12，则（ ） A. -4 B. 4 C. -36 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，函数在处的导数， 则， 故选：B 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用求导法则及基本函数的导数，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以选项B正确， 对于选项C， 因为，所以选项C错误， 对于选项D，因为，所以选项D错误， 故选：B. 3. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. 45° C. D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导得，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】， ， ， 即曲线在点处切线的斜率为， 故曲线在点处切线的倾斜角为， 故选：D． 【点睛】本题考查导数几何意义求切线的倾斜角，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题. 4. 函数在区间上的最小值为 A. 72 B. 36 C. 12 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先根据给出的函数求出导函数；再令，求出单调递增区间，再令，求出单调递减区间，确定出函数上的单调性，从而求出最小值. 【详解】解：，令，即 解得 当时， 当时， ∴， 而端点的函数值，，得． 故选D. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，关键是确定函数在区间上的单调区间，进而确定最值. 5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，时，时， 所以不等式的解集为. 故选：A 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数探讨函数的单调性，由此消去不等式中法则“f”即可作答. 【详解】因，则，于是为上的增函数，而，则等价于，从而有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 7. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数图像及极值点定义可以判断极大值及极小值. 【详解】由题图可知，当时，； 当时，； 当时，； 当时， 由此可以得到函数在处取得极大值， 在处取得极小值． 故选:D 8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，原不等式等价于.构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】设， ， 等价于，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 则不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，令， 则，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为0 C. D. 当且仅当时，取最大值30 【答案】AB 【解析】 【分析】由递推式可知数列是等差数列，由，，可求得公差，从而可得数列的通项公式，即可判断选项；当时，，可判断B；当时，，当时，，从而可求得，即可判断选项C；当时，取得最小值为0，即可判断选项D． 【详解】由，可得，所以数列是等差数列， 因为，，所以公差， 所以，故A正确； ，当时，取得最小值为0，故B正确； 当时，，所以当时，，当时，， 所以当时，， 当时， ， 所以，故C错误； 当或时，取最大值30，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，关于的性质，以下四个结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 函数在区间上是增函数 C. 有两个零点 D. 函数在处取得极小值 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，由，A错误；BD选项，求导，得到函数单调性和极值情况，得到B错误，D正确；C选项，在求出函数单调性的基础上，结合特殊点的函数值，画出函数图象，得到函数零点个数. 【详解】A选项，定义域为R，且，故不是奇函数，A错误； BD选项，， 令，解得或，单调递增， 令，解得，单调递减， 故在处取得极小值，B错误，D正确； C选项，因为，，， 又当或时，，当时，， 画出的图象，如下， 所以有两个零点，C正确. 故选：CD 11. 已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 时，恒成立 B. 时，是的极值点 C. 若有3个零点，则的范围为 D. 时.有唯一零点且 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB,将和代入，判断函数的单调性，即可求解，对于D，将代入，利用零点存在性定理判断即可；对于C，将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解. 【详解】对于A，当时，令， 令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,，故A错误； 对于B，当时，令， 令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,无极值，故B错误； 对于C，令，当时，显然，故不是函数的零点，当时，则，记，则， 令得或，故在单调递增，在单调递减，且，且当和时，，故有3个零点，则的范围为，C正确， 对于D，当时，，，令，，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增，则此时至多只有一个零点， 又， 由零点存在性定理可知，存在唯一的，满足，选项D正确； 故选：CD． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.） 12. 设函数的导函数为，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】可以求出导函数，进而可求出，从而可求出的值． 【详解】解：由，，令得， 解得，则，所以． 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是____. 【答案】 【解析】 【分析】由的关系可得数列是以3为首项、-1为公比的等比数列，由此即可得解. 【详解】∵，∴时，，∴两式相减得：，即， 又∵，即，，即，符合上式， ∴数列是以3为首项、为公比的等比数列，∴． 故答案为：. 14. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程；令可得，则所求式子可化为，由此可得结果. 【详解】，在处的切线斜率， 则在处的切线方程为：， 令，解得：， . 故答案为：. 四、解答题：（共6小题共70分） 15. 已知函数，.点是函数图象上一点. （1）求函数图像在点处的切线方程； （2）求函数的单调递减区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，再由导数的几何意义求解即可； （2）令，在定义域内求解即可. 【小问1详解】 由已知，定义域为， ∴，即点， 又∵， ∴函数图像在点处的切线斜率为， ∴函数图像在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由第（1）问，，， 令，即， ∵，∴，解得. ∴函数的单调递减区间为. 16. 已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果； （Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为，所以， 设切点为，则，即，所以切点为， 由点斜式可得切线方程为：，即. （Ⅱ）[方法一]：导数法 显然，因为在点处的切线方程为：， 令，得，令，得， 所以， 不妨设时，结果一样， 则， 所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得极小值， 也是最小值为. [方法二]【最优解】：换元加导数法 ． 因为为偶函数，不妨设，， 令，则． 令，则面积为，只需求出的最小值． ． 因为，所以令，得． 随着a的变化，的变化情况如下表： a 0 减 极小值 增 所以． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法 同方法二，只需求出的最小值． 令， 当且仅当，即时取等号． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法 同方法一得到 ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高. 17. 已知等差数列满足，，的前项和为. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）设公差为，由题可得，则，从而算出的通项公式及前项和； （2），采用裂项相消法求解. 【详解】（1）设公差为，由得：，所以， 则，所以， ，所以， （2）， 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点， 常见的裂项技巧：(1)； （2）； （3）； （4）； 此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18. 已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值； （2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案. 【小问1详解】 当时，，则 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 【小问2详解】 由题意可得． 当时，由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 因为不等式恒成立，所以，解得． 当时，，不符合题意． 综上，a的取值范围是． 19. 已知函数在与时都取得极值. （1）求的值与函数的单调区间. （2）求该函数在的极值和单调性. （3）设，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），增区间，减区间 （2）极大值是，极小值是；增区间、，减区间 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据极值点求得，结合导数求得的单调区间. （2）根据的单调区间求得在的极值和单调性. （3）根据在区间上的最大值列不等式，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 ， 由于在与时都取得极值， 所以，解得， ， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以是的极大值，是的极小值. 所以，增区间，减区间. 【小问2详解】 ， 由（1）得在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以在区间上， 极大值是， 极小值是. 【小问3详解】 由上述分析可知，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，， ， 所以在区间上的最大值是， 在区间上恒成立，所以， ，解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $