精品解析：2025年山西省运城市运康中学校中考数学练兵卷

2025年山西省运城市运康中学校中考数学练兵卷 一、选择题（共30分） 1. 北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（    ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，准确理解它们是表示相反意义的量是解题的关键．正数和负数是表示相反意义的量，根据题目中的规定用正数或负数表示即可． 【详解】解：如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为秒． 故选： 2. 我们生活的世界处处存在着关于数量和空间的问题，数学中以空间形式（简称形）为研究对象的分支叫做几何学，它有着悠久的历史．随着时间的推移，人们在大量的实践中不断的扩大和加深对形的认识，得到了许多关于形的知识和研究形的方法，大约公元前年，古希腊数学家广泛收集和研究前人的成果，将已有的关于形和数的知识做了系统的编排，写成了《原本》一书．这是数学发展史上的一个里程碑．完成这一著作的数学家是（ ） A. 丢番图 B. 欧几里德 C. 祖冲之 D. 华罗庚 【答案】B 【解析】 【分析】根据《原本》是数学发展史上的一个里程碑，是约公元前年，古希腊数学家欧几里得将已有的关于形和数的知识作了系统编排，写成的一部数学巨著进行解题即可． 【详解】解：课本在介绍几何学的起源时提到：约公元前年，古希腊数学家欧几里得将已有的关于形和数的知识作了系统编排，写成了一部数学巨著，书名是《几何原本》，这是数学发展史上的一个里程碑． 故选：B． 【点睛】本题考查了数学常识，了解数学常识是解决本题的关键． 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图，左视图与俯视图，则它的三种视图中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的判断，三视图；理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键；根据这两种图形的概念进行判断即可． 【详解】解：主视图是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；而左视图与俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 故选：A 4. 如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 5. 为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的最短路径问题，熟练掌握基本知识点是解题关键； 作出点（或点）关于l的对称点即可求解． 【详解】解：选项C中： ∴当三点共线时，的值最小，满足题意； 故选：C 6. 下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的基本性质及最简分式的判断．需逐一分析各小题的正确性，计算得分总和即可得到答案． 【详解】解：① 代数式的分母不含字母，不是分式；的分母含字母，是分式，故此题做对，得20分． ② 分式有意义需分母，即，故此题做对，得20分． ③ 分式值为0时，分子得，但时分母为0，舍去，故，故此题做错，不得分． ④ 分式变形为需分子分母同乘非零数，而非加1，变形错误，故此题做错，不得分． ⑤ 分式分子无法分解，分母可提取公因式，但无公共因式，是最简分式，此题做对，得20分． 综上，得分分， 故选B． 7. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（ ） A. 27，7 B. 24，6 C. 21，5 D. 18，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，设人数为个，则书有本，根据前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，可列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设有人，则书有本． 由题意，得， 解得． 因为为整数， 所以， 所以， 即书有21本，人数为5个． 故选：C． 8. 密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出与h的关系图象，如图2所示．根据图象判断，下列说法正确的是（ ） A. 密度越大，深度h越大 B. 若，则 C. 密度均匀增加时，深度h的变化量相同 D. 密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用．直接观察函数图象，即可求解． 【详解】解：A、观察图象得：密度越大，深度h越小，故本选项错误，不符合题意； B、观察图象得：若，则，故本选项错误，不符合题意； C、观察图象得：密度均匀增加时，深度h的变化量不相同，故本选项错误，不符合题意； D、根据题意得：密度计的刻度线越往上，对应的密度越小，故本选项正确，符合题意； 故选：D 9. 月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 【详解】解：由题可得：，，， ∵是的弦， ∴， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴圆的半径约为， 故选：B； 10. 家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．设圆心为O，连接，过点O作于点E，进而得出，的长以及的度数，进而由得出弓形的面积，进一步即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点E， 由题意可得出：， ∴是的直径， ∵米，米， ∴，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴平方米， ∴阴影部分的面积为：平方米． ∴故选：B． 二、填空题（共15分） 11. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“成”字所在面相对面上的汉字是_______． 【答案】非 【解析】 【分析】由正方体展开图的性质，得出“成”字所在面相对面上的汉字即可． 【详解】由正方体展开图的性质，可得： “成”与“非”是相对面， “功”与“然”是相对面， “绝”与“偶”是相对面． 故答案为：非． 【点睛】本题主要考查正方体的展开图的性质，掌握正方体展开图的性质是解题关键． 12. 杜甫，河南巩义人，唐代著名现实主义诗人，对中国文学产生了深远的影响．如图是杜甫的古诗《绝句》，建立如图所示的平面直角坐标系（每小格边长为一个单位长度），那么在经过“千”字且与轴平行的直线上，距离“千”字2个单位长度的字为________． 【答案】“西”和“雪” 【解析】 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据每小格边长为一个单位长度，在经过“千”字且与轴平行的直线上，距离“千”字2个单位长度，读取坐标系的信息，即可作答． 【详解】解：∵每小格边长为一个单位长度， ∴在经过“千”字且与轴平行的直线上，距离“千”字2个单位长度的字分别为“西”和“雪”， 故答案为：“西”和“雪” 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 14. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用．根据垂直定义可得，然后根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点F，连接与分别交于点E，O，连接，，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由折叠的性质以及为上的中线得到为的中位线，则，，然后由，的性质即可求解． 【详解】解：∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ∵为上的中线， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1） （2），12 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，整式加减混合运算—化简求值，正确掌握实数混合运算的计算法以及整式加减混合运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值，立方根的性质化简，再计算即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后根据非负数的性质，可得，再代入化简后的结果，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∵， ∴， 解得：， 当时，原式． 17. 如图，在中，，，是上一点，且． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母；如果完成有困难，可画出草图后解答第（2）题）． （2）求证：． 【答案】（1） 如解图，即为所求． （2） 证明：如解图，连接． 由（1），得． ． ， ． ． 在和中， ， 又 【解析】 【分析】本题考查了作图、全等三角形的性质与判定： （1）利用过直线上一点作直线高的方法作图即可； （2）连接，先证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）__________，__________，__________； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）①18； ②补全第1小组得分条形统计图如下， （2）5；；3 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人数求出分的人数，补全条形图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①； 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 补全第1小组得分条形统计图略； 【小问2详解】 由条形图可知，得到5分的人数最多，故； 由扇形图可知：； 由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分， ∴； 【小问3详解】 由题意，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 19. 第二十届中国（深圳）国际文化产业博览交易会上，山西展区的文化非遗展品与文化创意产品精彩亮相，赢得众多参观者赞誉．游客小李计划购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型两款文创产品．已知购买2个“长治堆锦”版画比购买1个“应县木塔”模型多60元，购买3个“长治堆锦”版画和2个“应县木塔”模型共花费1000元． （1）求“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型的单价分别为多少元． （2）游客小王计划用不超过2000元购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型共10个送给亲友，则小王最多可以购买“应县木塔”模型多少个？ 【答案】（1）“长治堆锦”版画的单价为160元，“应县木塔”模型的单价为260元 （2）小王最多可以购买“应县木塔”模型4个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设“长治堆锦”版画的单价为元，“应县木塔”模型的单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设小王购买“应县木塔”模型个，则购买“长治堆锦”版画个，根据费用不超过2000元建立不等式，解不等式即可得． 【小问1详解】 解：设“长治堆锦”版画的单价为元，“应县木塔”模型的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：“长治堆锦”版画的单价为160元，“应县木塔”模型的单价为260元． 【小问2详解】 解：设小王购买“应县木塔”模型个，则购买“长治堆锦”版画个， 由题意得：， 解得， 答：小王最多可以购买“应县木塔”模型4个． 20. 研学实践：“跟着悟空游山西”的线路开发，山西省文旅厅在游戏《黑神话：悟空》上线后，推出3条主题线路，包括“古建华章与彩塑满堂晋北线”“阁楼飞云与神仙洞天晋南线”和“神奇上党与绝美造像晋东南线”．串联云冈石窟、应县木塔、双林寺等27处游戏取景地及山西代表性古建．为更好地了解并传承山西文化，学校组织研学活动．同学们来到看一眼少一眼的应县木塔（世界上最高的木塔）所在地，在了解相关历史背景后，利用无人机采集应县木塔的相关数据． 数据采集：①先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角；②再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点，测得塔的顶端的俯角． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据上述数据，计算应县木塔的高度（结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】应县木塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，，，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 应县木塔的高度约为． 21. 阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告 研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． （2）依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． （3）如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2）证明： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 同理可证，， ． （3）20 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质以及平行四边形的判定即可得到答案； （2）先证明，，，得到，，有，，再证明，，从而知道，同理可证，，最后推出； （3）先证明，得到，由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和可知，，接着证明，然后在中利用勾股定理求得，求得答案． 【小问1详解】 解：三角形的中位线平行且等于底边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，理由如下： 如图2，连接， ，分别为，的中点， ，（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）， 同理可得，， ，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 同时可得，连接，同理可得， ． 故答案为：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ； 由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和， ； ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为20； 故答案为：20． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. 学科实践 驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的商楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳．太原市某中学为了减缓同学们的视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． 研究步骤：1．如图2是花园大门的截面图，兴趣小组测得大门的宽米，，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米． 2．根据设计要求，要在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面的距离相等．同时做好花园大门的加固工作． 问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要给大门加固，如图3，线段，可看成是加固时所用的钢筋（不考虑接口处所需钢筋长度），则给大门加固需要的钢筋长度为______米，若连接，则______°； （2）如图3，因为要悬挂灯笼，考虑到安全因素，工人师傅要用钢筋对大门进行二次加固，若保证二次加固的钢筋与第一次加固的钢筋垂直，即于点P，于点Q（，为二次加固的钢筋）．请你通过计算，确定二次加固时大门一侧所需钢筋的最大长度（不考虑其他因素，结果保留根号）． 【答案】（1），45 （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作于点G，交于点D，证明四边形是矩形，四边形都是矩形，后利用等腰三角形的性质解答即可． （2）过点F作交于点I，交于点H，以M为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立坐标系，根据题意，得，，设抛物线解析式为，确定解析式，设直线的解析式为，确定直线的解析式．设点，则，则，求得有最大值为，再利用三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：过点C作于点G，交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米，米， 故米， 故答案为：，45． 【小问2详解】 解：过点F作交于点I，交于点H， 以M为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立坐标系， 根据题意，得，， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设点，则， 则， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，构造二次函数求最值，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值，三角函数的应用是解题的关键． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 【答案】 （1）， （2）是等边三角形，理由如下， 如图所示，设交于点， ∵将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到， ∴，，， 当线段经过点时，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴是等边三角形； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，，，由此即可求解； （2）根据旋转得到，，，当线段经过点时，，得到，则，由此得到，且，结合等边三角形的判定即可求解； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，可得在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，分类讨论：当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即；如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点；数学结合分析即可求解． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∴， ∵点与点重合，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线， ∴，， ∴，即， ∴在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离， 当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴平移距离为； 如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ∴平移距离为； 综上所述，平移距离为或． 【点睛】本题主要考查三角板中角度的计算，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，图形平移的性质等知识的综合，掌握图形变换的性质，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山西省运城市运康中学校中考数学练兵卷 一、选择题（共30分） 1. 北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（    ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 2. 我们生活的世界处处存在着关于数量和空间的问题，数学中以空间形式（简称形）为研究对象的分支叫做几何学，它有着悠久的历史．随着时间的推移，人们在大量的实践中不断的扩大和加深对形的认识，得到了许多关于形的知识和研究形的方法，大约公元前年，古希腊数学家广泛收集和研究前人的成果，将已有的关于形和数的知识做了系统的编排，写成了《原本》一书．这是数学发展史上的一个里程碑．完成这一著作的数学家是（ ） A. 丢番图 B. 欧几里德 C. 祖冲之 D. 华罗庚 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图，左视图与俯视图，则它的三种视图中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 以上都不对 4. 如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 7. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（ ） A. 27，7 B. 24，6 C. 21，5 D. 18，4 8. 密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出与h的关系图象，如图2所示．根据图象判断，下列说法正确的是（ ） A. 密度越大，深度h越大 B. 若，则 C. 密度均匀增加时，深度h的变化量相同 D. 密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 9. 月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（ ） A. B. C. D. 10. 家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 二、填空题（共15分） 11. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“成”字所在面相对面上的汉字是_______． 12. 杜甫，河南巩义人，唐代著名现实主义诗人，对中国文学产生了深远的影响．如图是杜甫的古诗《绝句》，建立如图所示的平面直角坐标系（每小格边长为一个单位长度），那么在经过“千”字且与轴平行的直线上，距离“千”字2个单位长度的字为________． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 14. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为___________． 15. 如图，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点F，连接与分别交于点E，O，连接，，，则________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值．，其中． 17. 如图，在中，，，是上一点，且． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母；如果完成有困难，可画出草图后解答第（2）题）． （2）求证：． 18. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）__________，__________，__________； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 19. 第二十届中国（深圳）国际文化产业博览交易会上，山西展区的文化非遗展品与文化创意产品精彩亮相，赢得众多参观者赞誉．游客小李计划购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型两款文创产品．已知购买2个“长治堆锦”版画比购买1个“应县木塔”模型多60元，购买3个“长治堆锦”版画和2个“应县木塔”模型共花费1000元． （1）求“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型的单价分别为多少元． （2）游客小王计划用不超过2000元购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型共10个送给亲友，则小王最多可以购买“应县木塔”模型多少个？ 20. 研学实践：“跟着悟空游山西”的线路开发，山西省文旅厅在游戏《黑神话：悟空》上线后，推出3条主题线路，包括“古建华章与彩塑满堂晋北线”“阁楼飞云与神仙洞天晋南线”和“神奇上党与绝美造像晋东南线”．串联云冈石窟、应县木塔、双林寺等27处游戏取景地及山西代表性古建．为更好地了解并传承山西文化，学校组织研学活动．同学们来到看一眼少一眼的应县木塔（世界上最高的木塔）所在地，在了解相关历史背景后，利用无人机采集应县木塔的相关数据． 数据采集：①先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角；②再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点，测得塔的顶端的俯角． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据上述数据，计算应县木塔的高度（结果精确到．参考数据：，，）． 21. 阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告 研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． （2）依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． （3）如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 22. 学科实践 驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的商楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳．太原市某中学为了减缓同学们的视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． 研究步骤：1．如图2是花园大门的截面图，兴趣小组测得大门的宽米，，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米． 2．根据设计要求，要在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面的距离相等．同时做好花园大门的加固工作． 问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要给大门加固，如图3，线段，可看成是加固时所用的钢筋（不考虑接口处所需钢筋长度），则给大门加固需要的钢筋长度为______米，若连接，则______°； （2）如图3，因为要悬挂灯笼，考虑到安全因素，工人师傅要用钢筋对大门进行二次加固，若保证二次加固的钢筋与第一次加固的钢筋垂直，即于点P，于点Q（，为二次加固的钢筋）．请你通过计算，确定二次加固时大门一侧所需钢筋的最大长度（不考虑其他因素，结果保留根号）． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $