第十九章 四边形 单元检测提升卷---2024-2025学年沪科版八年级下册数学
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内容正文：
第19章 四边形单元检测提升卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．4：4：3：3 B．2：1：1：2
C．4：3：2：1 D．2：1：2：1
2.平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm
C．8cm和10cm D．10cm和12cm
3.如图，▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC＝6，BD＝8，则边AB长的取值范围是（ ）
A．6＜AB＜8 B．2＜AB＜14 C．3＜AB＜4 D．1＜AB＜7
4.如图，▱ABCD中，要在对角线BD上找点E、F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
甲：只需要满足BE＝DF乙：只需要满足AE＝CF
丙：只需要满足AE∥CF
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
（第3题） （第4题） （第5题）
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
6.如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．24 B．17 C．18 D．10
7.如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
8.如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
（第6题） （第7题） （第8题）
9.如图，P是▱ABCD内任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，则下列结论错误的是（ ）
A．若S1＝S3，则点P在边AD，BC中点的连线上
B．若点P在∠BAD的平分线上，则
C．若S1＝S2，则点P在线段BD上
D．若S1＝2S3，点P在线段BD上，则S4＝2S2
10.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
（第9题） （第10题） （第12题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.已知平行四边形ABCD的周长是22cm，AC和BD交于点O，△OAB比△OBC的周长小3，则AB的长为 ．
12.如图，小明从A点出发，沿直线前进5米后向左转72°，再沿直线前进5米，又向左转72°，…，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为 米．
13.如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE于点F，连接BF．若∠ADF＝36°，则∠ABF的度数是 ．
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，则线段AP+QE的最小值为 ．
（第13题） （第14题）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°
（1）多算进去的那个内角为多少度？
（2）求这个多边形的边数？
16.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50cm，BD＝20cm，GF＝80cm，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，已知BD∥CE∥GF．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）求椅子最高点A到地面GF的距离．
18.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．
求证：GF⊥DE．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．
20.四边形ABCD是矩形，E是BC延长线上一点，连接AC，DE，BE＝AC．
（1）如图①，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）如图②，若F是DE的中点，连接AF，CF，求证AF⊥FC．
六、（本题满分12分）
21.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
答： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
七、（本题满分12分）
22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s．
（1）CD边的长度为 cm，t的取值范围为 ．
（2）从运动开始，当t＝ 时，PQ＝CD．
（3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形．若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
八、（本题满分12分）
23.（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线L经过点A，BD⊥直线L，CE⊥直线L，垂足分别为点D、E．
证明：①△ABD≌△CAE；②DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线L上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
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第十九章 四边形单元检测提升卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．4：4：3：3 B．2：1：1：2 C．4：3：2：1 D．2：1：2：1
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴选项D符合题意．
故选：D．
2.平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm
C．8cm和10cm D．10cm和12cm
【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，如图，
∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，
A、若BD＝6cm，AC＝4cm，
则OB＝3cm，OC＝2cm，
∵OB+OC＝5cm＜10cm，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
B、若BD＝8cm，AC＝6cm，
则OB＝4cm，OC＝3cm，
∵OB+OC＝7cm＜10cm，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
C、若BD＝10cm，AC＝8cm，
则OB＝5cm，OC＝4cm，
∵OB+OC＝9cm＜10cm，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
D、若BD＝12cm，AC＝10cm，
则OB＝6cm，OC＝5cm，
∵OB+OC＝11cm＞10cm，
∴能组成三角形，
故本选项正确．
故选：D．
3.如图，▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC＝6，BD＝8，则边AB长的取值范围是（ ）
A．6＜AB＜8 B．2＜AB＜14 C．3＜AB＜4 D．1＜AB＜7
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形．AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝4．
在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7．
故选：D．
4.如图，▱ABCD中，要在对角线BD上找点E、F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
甲：只需要满足BE＝DF乙：只需要满足AE＝CF丙：只需要满足AE∥CF
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
甲：在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故甲正确；
乙：由AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能判定四边形AECF为平行四边形，故乙不正确；
丙：∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故丙正确；
故选：B．
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，AD＝4，
∴BC∥AD，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，
∴∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，
同理可得：DF＝CD＝3，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣3＝1，
∴EF＝AD﹣AF﹣DE＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
6.如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．24 B．17 C．18 D．10
【解答】解：连接EF，
∵F是▱ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴，
∵S△AED＝S△AEF，
∴，
∴，
故选：C．
7.如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
【解答】解：由折叠的性质得，AM＝DM，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∵BC＝6，
∴AD＝6，
∴DM＝3，
在Rt△DMA'中，由勾股定理得A'M，
∵∠A＝∠B＝∠AMA'＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝10，
∴A′N＝MN﹣A'M＝10，
故选：A．
8.如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
∵点E、F分别是AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴EFAG，
当AG最小时，EF有最小值，
当AG⊥BC时，AG最小，
则∠BAG＝30°，
此时BGAB＝1，AGBG，
∴EFAG，
即EF的最小值是，
故选：D．
9.如图，P是▱ABCD内任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，则下列结论错误的是（ ）
A．若S1＝S3，则点P在边AD，BC中点的连线上
B．若点P在∠BAD的平分线上，则
C．若S1＝S2，则点P在线段BD上
D．若S1＝2S3，点P在线段BD上，则S4＝2S2
【解答】解：由题意知AB＝CD，AD＝BC，S1+S3＝S2+S4．
若S1＝S3，
则点P到AB，CD的距离相等，
∴点P在线段AD，BC的中点的连线上，A项正确；
若点P在∠BAD的平分线上，
则点P到AB，AD的距离相等，
∴，B项正确；
若S1＝S2，则S3＝S4，S1+S4＝ ，
∴点P在BD上，C项正确；
若S1＝2S3，点P在BD上，
由点A，C到BD的距离相等知，
∴，S2＝2S4，D项错误．
故选：D．
10.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC．
∴DEAC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上所述，正确的结论为：①②③．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.已知平行四边形ABCD的周长是22cm，AC和BD交于点O，△OAB比△OBC的周长小3，则AB的长为 4cm ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是22cm，
∴2AB+2BC＝22，
∴AB+BC＝11①，
∵△OAB的周长比△OBC的周长小3，
∴（BC+OC+OB）﹣（AB+OA+OB）＝3，
∴BC﹣AB＝3②，
∵①﹣②得：2AB＝8，
∴AB＝4cm．
故答案为：4cm．
12.如图，小明从A点出发，沿直线前进5米后向左转72°，再沿直线前进5米，又向左转72°，…，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为 25 米．
【解答】解：由题意可知，小明所走路径是边长为5米，外角为72°的正多边形，由于外角和是360°，
所以这个正多边形的边数为360°÷72°＝5，
即这个正多边形为正五边形，
所以小明第一次回到出发点A时，共走路程为5×5＝25（米）．
故答案为：25．
13.如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE于点F，连接BF．若∠ADF＝36°，则∠ABF的度数是 18° ．
【解答】解：如图，延长DE，CB交于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠A＝∠ABH＝90°，∠ADF＝∠H＝36°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
又∵∠AED＝∠BEH，
∴△AED≌△BEH（ASA），
∴AD＝BH，
∴BC＝BH，
又∵CF⊥DE，
∴BF＝BC＝BH，
∴∠H＝∠BFH＝36°，
∴∠FBH＝108°，
∴∠ABF＝108°﹣90°＝18°，
故答案为：18°．
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，则线段AP+QE的最小值为 ．
【解答】解：取AB中点F，连接EF，延长AB到G使BG＝AB，连接PG，作PK∥QE交FE于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，BC＝AD＝10，
∴BC垂直平分AG，
∴PG＝PA，
∵E是CD中点，F是AB中点，
∴BFAB，CECD，
∴BF＝CE，
∵BF∥CE，∠FBC＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝BC＝10，
∵PK∥QE，
∴四边形OQEK是平行四边形，
∴PK＝QE，KE＝PQ＝2，
∴KF＝EF﹣KE＝10﹣2＝8，
∵BFAB6＝3，
∴FG＝BF+BG＝3+6＝9，
∴KG，
∵PK+PG≥GK，
∴PA+QE，
∴线段AP+QE的最小值为．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°
（1）多算进去的那个内角为多少度？
（2）求这个多边形的边数？
【解答】解：（1）设多算的那个角是x°，
由题意得：（n﹣2）×180°+x°＝1920°，
∴（n﹣2）×180°＝1920°﹣x°，
∵1920÷180＝10……120，
∴x＝120°，
∴多算进去的那个内角为120度．
（2）∵（n﹣2）×180°＝1800°，
∴n＝12，
∴这个多边形的边数是12．
16.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50cm，BD＝20cm，GF＝80cm，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，已知BD∥CE∥GF．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）求椅子最高点A到地面GF的距离．
【解答】（1）证明：∵BD∥CE∥GF，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，
∴∠ACE＝∠ABD＝118°，∠DEC＝∠GFE＝62°，
则∠ACE+∠DEC＝180°，
∴BC∥DE，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：∵四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD＝20cm，
延长AC交GF于H，
由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF，
∴四边形CHFE是平行四边形，
∴CH＝EF＝50cm，HF＝CE＝20cm，
则AH＝AC+CH＝100cm，GH＝GF﹣HF＝60cm，
∵∠AGF＝90°，
∴，
即：椅子最高点A到地面GF的距离为80cm．
18.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．
求证：GF⊥DE．
【解答】证明：连接DG、EG．
∵CD⊥AB，点G是BC的中点，
∴在Rt△BCD中，DGBC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．（2分）
同理，EGBC．（2分）
∴DG＝EG（等量代换）．（1分）
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE．（2分）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵点E在▱ABCD内部，
∴S△BEC+S△AEDS▱ABCD，
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AEDS▱ABCD，
∵▱ABCD的面积为6，
∴四边形AEDF的面积为3．
20.四边形ABCD是矩形，E是BC延长线上一点，连接AC，DE，BE＝AC．
（1）如图①，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）如图②，若F是DE的中点，连接AF，CF，求证AF⊥FC．
【解答】（1）解：如图①，连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OBBD，OCAC，
∴OB＝OC，
∴∠DBC＝∠ACB＝40°，
∵BE＝AC，
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠E，
∴∠E70°；
（2）证明：如图②，延长CF交AD延长线于点G，
∵AG∥BE，
∴∠GDF＝∠E，∠G＝∠ECF，
∵F是DE的中点，
∴DF＝EF，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DG＝EC，GF＝CF．
∴BC+CE＝AD+DG，即AG＝BE，
∵BE＝AC，
∴AG＝AC，
又∵GF＝CF，
∴AF⊥FC．
六、（本题满分12分）
21.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
答： 四边形EGFH是平行四边形 ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
【解答】解：（1）∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
由题意得：AE＝CF＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴AGAD，CHBC，
∴AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图1，连接GH，
由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
∴EF＝GH＝6，
∵AE＝CF＝t，
∴EF＝10﹣2t＝6，
∴t＝2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，
∴t＝8；
综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8；
（3）如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O，
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∴OA＝OC，AG＝AH，
∴四边形AGCH为菱形，
∴AG＝CG，
设AG＝CG＝x，则DG＝8﹣x，
由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2，
即：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x，
∴MG4，即t，
∴当t时，四边形EGFH为菱形．
七、（本题满分12分）
22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s．
（1）CD边的长度为 10 cm，t的取值范围为 0≤t≤9 ．
（2）从运动开始，当t＝ 或 时，PQ＝CD．
（3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形．若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点D作FH⊥BC于H，
∴∠CHD＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠CHD，
∴DH∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABHD是平行四边形，
∴DH＝AB＝8cm，BH＝AD＝12cm，
∴CH＝BC﹣BH＝6（cm），
根据勾股定理得，CD10（cm），
∵点P在AD上运动，
∴0≤t≤12，
∵点Q在BC上运动，
∴0≤t≤9，
∴0≤t≤9，
故答案为10，0≤t≤9；
（2）如图2，
过点Q作QG⊥AD于G，则四边形ABQG是矩形，
∴QG＝AB＝8cm，AG＝BQ，
∵BQ＝BC﹣CQ＝（18﹣2t）cm，
∴PG＝|AG﹣AP|＝|18﹣2t﹣t|＝|18﹣3t|cm，
∵PQ＝CD＝10cm，
根据勾股定理得，82+（18﹣3t）2＝102，
∴t＝4或t＝8，
故答案为4或8；
（3）∵不存在，理由：
∵得四边形PQCD是菱形，
∴CQ＝CD，
∴2t＝10，
∴t＝5，
此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm），
而DP≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形．
八、（本题满分12分）
23.（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线L经过点A，BD⊥直线L，CE⊥直线L，垂足分别为点D、E．
证明：①△ABD≌△CAE；②DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线L上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点
【解答】解：（1）①如图1，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
②∵△ADB≌△CEA，
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝∠GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△GNI和△EMI中，，
∴△GNI≌△EMI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
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