精品解析：江苏省无锡市澄西片区2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷

2024-2025学年第二学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。 【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。 2. 2025年江阴市有近1.7万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，其中调查的样本是（ ） A. 1000 B. 被抽取的1000名学生 C. 被抽取的1000名学生的数学成绩 D. 近1.7万名考生的数学成绩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考查对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量．根据样本的定义求解． 【详解】解：2025年江阴市有近1.7万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，其中调查的样本是被抽取的1000名学生的数学成绩． 故选：C． 3. 下列各式中：，，，，分式的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：和是分式，共2个， 故选：D． 4. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件得出：，解出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 5. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质是解题关键． 根据分式的基本性质：分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：把分式中的和都扩大倍，得， 分式的值不变， 故选：B． 6. 下列判断中不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 四个角相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据相关定理判断即可．掌握相关判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误，符合题意； B、四边形的内角和是，四个角相等，则每个内角都是，因此四个角相等的四边形是矩形，此选项正确，不合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确，不合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项正确，不合题意； 故选：A． 7. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点， ∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD， ∴EH∥FG，EF=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 假设AC=BD， ∵EH=AC，EF=BD， 则EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形， 故选：D． 【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键． 8. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，根据题意可列方程为： ， 故选：A． 9. 如图，是线段上一动点，分别是的中点，随着点的运动，的长（ ） A. 随着点的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，中位线性质，掌握以上概念及计算是关键． 如图所示，过点作于点，连接，可得四边形是矩形，，，在中，由勾股定理得到，由题意可得是中位线，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，点分别是的中点，则是中位线， ∴， ∴随着点的运动，的长保持不变，长为， 故选：D ． 10. 如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与端点重合），交于点F，过点F作交于点H，过点H作于点G，连接，．给出下列结论： ①；②；③ ；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，连接，延长交于，证明，得出，，再证明，得出，即可判断①；由等腰直角三角形的性质即可判断②；连接交于，则，证明，得出，求出，即可判断③；根据直角三角形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：①连接，延长交于， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵，， ∴，故②正确； ③连接交于，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④若，则， ∴，这与直角三角形的斜边大于直角边矛盾，故④错误； 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11. 不透明袋子中装有6个球，其中有1个粉色球和5个蓝色球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝色球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式直接求解即可．本题主要考查概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：不透明袋子中装有6个球，其中有1个粉色球和5个蓝色球， 从袋子中随机取出1个球，则它是蓝色球的概率为． 故答案为：． 12. 在平行四边形中，与的度数之比为，则___． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，再由推出，则． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则菱形的面积为_________． 【答案】96 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系． 14. 分式的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，则最简公分母为， 故答案为：． 15. 若分式的值为0，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键． 16. 已知关于的方程有增根，则的值是____． 【答案】3 【解析】 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 本题考查的是含参分式方程有增根的问题，掌握增根的意义是解题的关键． 【详解】将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时， ； 故答案为：3． 17. 如图，在矩形纸片中，，，E是边上一点，先将沿折叠，点B落在点处，与交于点F；再折叠矩形纸片，使得点C与点合，点D落在点处，折痕为，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，，，由折叠的性质可得，，，，，，，，证明、、在同一直线上，得出，设，则，由勾股定理可得，证明，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 由折叠的性质可得：，，，，，，，， ∴， ∴、、在同一直线上， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，即， 解得：，即， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5． 18. 如图，矩形中，，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，根据直角三角形直角边小于斜边（可取等）即可求解． 【详解】解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】(1)根据同分母分式的加减法法则计算即可. (2)根据分式混合运算的顺序依次计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【点睛】本题考查了分式的计算和混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键. 20. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）先去分母，将分式方程化成整式方程求解，再检验即可； （2）先去分母，将分式方程化成整式方程求解，再检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以，得 解得：， 检验：把代入，得， ∴是原方程的根， ∴原方程的解为：； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以，得 ， 解得：， 检验：把代入，得， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化成整式方程求解是解题的关键，注意解分式方程要验根． 21. 先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ∵且， ∴且， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． 22. 某学校想了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制出两幅不完整的统计图（A：不太了解，B：基本了解，C：比较了解，D：非常了解）．请根据图中提供的信息回答以下问题： （1）请求出这次被调查的学生家长共有多少人？ （2）该扇形统计图中“比较了解”部分中，m的值为______，所对应的圆心角度数为______； （3）请补全条形统计图； （4）该学校共有3000名学生家长，估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有多少？ 【答案】（1）50人 （2）40， （3） 补全统计图如下： （4）600人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A所占的百分比求解即可； （2）用C的人数除以参与调查的人数即可求出C的人数占比，即可求出m的值，用乘以“比较了解”所占的百分比求解即可； （3）先求出B的人数，进而求出D的人数，再补全统计图即可； （4）用总人数乘以“非常了解”所占的百分比求解即可． 【小问1详解】 解：人； ∴这次被调查的学生家长共有50人； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 扇形统计图中“比较了解”部分中，所对应的圆心角度数为； 故答案为：40，； 【小问3详解】 解：人， ∴B的人数为15人， ∴D的人数为人； 【小问4详解】 解：人； ∴该学校共有300名学生家长，估计对“双减”政策“非常了解”的学生家长大约有600人． 23. 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：ACE≌DBF； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形． 【答案】（1） ∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 又∵AE=DF，∠A=∠D， ∴ACE≌DBF. （2） ∵ACE≌DBF， ∴CE=BF，∠ACE=∠DBF， ∴CEBF， ∴四边形BFCE是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件易证AC=BD，再由SAS即可判定ACE≌DBF； （2）由ACE≌DBF，根据全等三角形的性质可得CE=BF，∠ACE=∠DBF， 即可得CEBF，所以四边形BFCE是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 24. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点，点D为上一格点，点E为上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画的中位线，使点F在边上． （2）在图②中画以为对角线的． （3）在图③中作射线，在其上找到一点H，使． 【答案】（1） 如下图所示； （2） 如下图所示； （3） 点H如下图所示． 【解析】 【分析】（1）利用格点找出的中点，即为点F； （2）由图可知，因此将点A向右移动两格即为点G，连接可得； （3）连接并延长，与的交点即为点H． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：理由如下：由图可知，， 四边形以为对角线的平行四边形； 【小问3详解】 解：理由如下：由（2）知四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查格点作图，解题的关键是掌握格点作图的特点、平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质． 25. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 【答案】（1）150，120 （2）17 【解析】 【分析】本题考查分式方程应用，一元一次不等式应用． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据题意建立方程求出其解即可得； （2）设购进A型机器人台，根据每小时搬运材料不得少于列出不等式进行求解即可得． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料； 【小问2详解】 解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台， ， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴a的最小值为， 答：至少购进A型机器人17台． 26. 如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接． （1）若，求证：四边形为正方形； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． ∵， ∴在和中, , ∴， ∴． ∵, ∴, ∴, ∵四边形为菱形， ∴四边形为正方形； （2）6 【解析】 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）过点P作，交的延长线于点G，连接．证明，推出，利用三角形面积公式进一步解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点P作，交的延长线于点G，连接， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ， ∴， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形的面积，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 27. 综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接．若点P的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的P是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点M在上，点N在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②（2）（3）存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）①由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出，②由是垂直平分线可得，进而可得，由折叠性质求出，由此即可证明，即可得； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出， （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，同理（2）可得是以为底，顶角为等腰三角形，当最小时三角形面积最小，利用直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， ∵ ∴ ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图1，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）存在，过程如下： 如图3；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为，设， 则，， ∵，即 ∴ ∴， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图4： ∵，， ∴， ∴ ∴， 即， ∴最小值为 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年江阴市有近1.7万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，其中调查的样本是（ ） A. 1000 B. 被抽取的1000名学生 C. 被抽取的1000名学生的数学成绩 D. 近1.7万名考生的数学成绩 3. 下列各式中：，，，，分式的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍 6. 下列判断中不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 四个角相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 7. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 8. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是线段上一动点，分别是的中点，随着点的运动，的长（ ） A. 随着点的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 10. 如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与端点重合），交于点F，过点F作交于点H，过点H作于点G，连接，．给出下列结论： ①；②；③ ；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11. 不透明袋子中装有6个球，其中有1个粉色球和5个蓝色球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝色球的概率为______． 12. 在平行四边形中，与的度数之比为，则___． 13. 如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则菱形的面积为_________． 14. 分式的最简公分母是______． 15. 若分式的值为0，则_______． 16. 已知关于的方程有增根，则的值是____． 17. 如图，在矩形纸片中，，，E是边上一点，先将沿折叠，点B落在点处，与交于点F；再折叠矩形纸片，使得点C与点合，点D落在点处，折痕为，则______． 18. 如图，矩形中，，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 解方程： （1）． （2）． 21. 先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值． 22. 某学校想了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制出两幅不完整的统计图（A：不太了解，B：基本了解，C：比较了解，D：非常了解）．请根据图中提供的信息回答以下问题： （1）请求出这次被调查的学生家长共有多少人？ （2）该扇形统计图中“比较了解”部分中，m的值为______，所对应的圆心角度数为______； （3）请补全条形统计图； （4）该学校共有3000名学生家长，估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有多少？ 23. 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：ACE≌DBF； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形． 24. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点，点D为上一格点，点E为上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画的中位线，使点F在边上． （2）在图②中画以为对角线的． （3）在图③中作射线，在其上找到一点H，使． 25. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 26. 如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接． （1）若，求证：四边形为正方形； （2）若，求的面积． 27. 综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接．若点P的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的P是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点M在上，点N在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $