2025年中考数学二轮有关二次函数的应用存在性问题专题训练

2025年中考数学二轮

有关二次函数的应用存在性问题专题训练

 

 

1．跨过成人门，奔赴成才路．某校高中部为高二、高三年级的学生举行成人冠笄礼，并为即将到来的高考助威加油，举办了盛大的庆典，如图为此次活动所搭建的成人门，该拱门（粗细忽略不计）呈抛物线状，其底部宽为（点与点关于抛物线的对称轴对称），以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，已知拱门抛物线经过点，且满足关系式（为常数）．

(1)求的值及点的坐标；

(2)为进一步加固成人门，在抛物线上选取两个加固点、（在左侧），已知点、距地面均为，求、之间的水平距离．

2．综合与实践

如图1，这是太原市某广场音乐喷泉的夜景，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，甚是壮观，令人们心旷神怡！其中主心喷泉的水流轨迹可近似看作抛物线．如图2，这是以水平地面为轴，以安装主喷头的竖直水管为轴，建立的平面直角坐标系，中心主喷泉的喷头安装在距水平地面米的点处．当水的压力最大时，某一水流抛物线经过点，点距安装主喷头的水管的水平距离是米，距水平地面2米．

(1)求此水流轨迹的抛物线的函数表达式．

(2)在离此水流落地点1米外的点处，以点为圆心，的长为半径做一个圆形安全围栏，求该圆形安全围栏的周长．（结果保留π）

(3)在（2）的条件下，为了美观，在高为米的安全围栏上的点处安装射灯，射灯射出的光线EF与地面成角，直接写出光线与此抛物线水流之间的最小距离．

3．节日期间草莓采摘园推出优惠促销方案，采摘的草莓每千克销售单价（元）与一次性采摘量（千克）之间满足如图所示的函数关系．活动期间，采摘园对不同顾客的销售单价进行了记录，部分数值如下表．采摘园的草莓每千克的成本为13元．

一次性采摘量（千克）	5	8	14	24	31	40
销售单价（元）	30	30	28	23	20	20

(1)求和的值．

(2)某顾客在采摘园一次性采摘千克，顾客采摘下来的草莓需全部买走，求当为何值时，采摘园获得的利润最大？最大利润是多少元？

4．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2，以水平地面为轴，以停车棚支柱为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则棚顶的竖直高度（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系的图象，其中点距地面，点为车棚最远端上的一点，距离停车棚支柱的水平距离为，距地面．

(1)求二次函数的解析式；

(2)某校数学兴趣小组研究一辆货车能否在如图2所示的停车棚下避雨，他们将货车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现货车能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由；

(3)如图，雨点沿着与地面的夹角为的方向直线落下，若问题（2）中的货车上货箱底部距地面（货箱和货物都看作一个矩形），请通过计算说明在货箱底部不会淋雨的情况下，货车最多还能装超出货箱多高的货物？（参考数据：，结果精确到）

5．如图1是某公园内的一座拱桥，如图2是其桥拱的截面示意图，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

(1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

(2)一只高为，宽为的打捞船径直向桥驶来，请问这只船能否通过这座桥，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

6．如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点，  与“果圆”中的抛物线 交于 ， 两点．

(1)求“果圆”中的抛物线的解析式．

(2)“果圆”上是否存在点 使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

(3)如图2， 为直线下方“果圆”上一点， 连接， ， ， 设与 交于点 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求 的最小值．

7．根据以下素材，完成探究任务．

篮球场上的投篮高度问题

【素材1】图1是篮球运动员的投篮动作，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分．

【素材2】如图2，篮球架的篮筐垂直于地面，高度为米．运动员站在距处米的处投篮，篮球从运动员手中处竖直方向上的处被投出，当篮球飞行到与的水平距离为米时，篮球离地面的高度达到最高，最高高度为米．

【解决问题】

当时．

(1)建立适当的平面直角坐标系，求篮球运动轨迹的抛物线的解析式；

(2)该投篮能否命中篮筐？若能，篮筐需要升高到多少米以上才能阻挡这次投篮；若不能，请说明理由．

8．如图是一个横截面近似于抛物线型的拱桥，以水平面所在直线为x轴，桥左边的着地点O为坐标原点建立平面直角坐标系，拱桥所在的抛物线近似的满足函数表达式．政府现要在桥上面建一个防雨棚，计划从距O点正上方3米远的B点开始搭建，到距A点正上方3米远的点C处结束，图中虚线为防雨棚，防雨棚所在抛物线近似的满足函数表达式．

(1)求防雨棚所在抛物线的函数表达式；