专题10 南通中考必考知识点概率4种题型集中训练-【备战中考 挑战满分】2025年南通市中考数学三轮冲刺复习题型对位训练（解析版+原卷版）

专题10 南通中考数学必考知识点概率四种题型集中训练（原卷版） 专题诠释： 本专题精选南通市中考数学真题（2020-2024）和南通市各地区2024及2025年中考模拟试题中的概率试题。这类题型是南通地区解答题必考题型。希望孩子们通过这个专题的训练，在中考中概率题型取得满分。 1．（2024秋•海安市期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海”“安”四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美”的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•海安市月考）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．从中随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•通州区期中）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是 　 ． 4．（2024秋•南通校级期末）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率是　 　 ． 练习二 几何概率 5．（2024秋•海安市校级月考）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•海门区校级月考）如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，△ABC为正三角形，则小球落在小⊙O内部（阴影）区域的概率为（　　） A． B． C． D． 7．（2022秋•启东市月考）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2.4cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 　 　 ． 练习三 列表法与树状图法 8．（2025春•如东县月考）三张背面完全相同的数字牌，正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为a，将数字牌放回洗匀，再随机抽取一张记为b，则a≤b的概率是　 　 ． 9．（2024•南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 　 　 ； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 10．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁． （1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 　 　 ； （2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 11．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 　 　 ； （2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率． 12．（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 　 　 ； （2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率． 13．（2020•南通）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求． 请用所学概率知识解决下列问题： （1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由． 14．（2024•海门区二模）在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品． （1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是 　 　 ； （2）丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率． 15．（2024•通州区二模）某公司甲、乙、丙、丁四个员工乘坐高铁动车去某地参加商务活动，铁路售票系统将4人分配到同一车厢同一排的A，B，C，D四个座位，示意图如图所示． 窗 A B 过道 C D 窗 （1）若甲员工从四个座位中随机选一个坐下，则甲员工坐到B座位的概率为 　 　 ； （2）若甲员工先坐在A座位，剩余三名员工随机选择剩余三个座位就坐，求乙，丙两个员工相邻而坐的概率．（注：过道两侧座位B，C不算相邻） 16．（2024•启东市一模）小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）小李购买门票在A区观赛的概率为 　 　 ； （2）请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率． 17．（2024•南通一模）某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用A、B、C、D表示）和4个化学实验考查内容（用E、F、G、H表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验A的概率是 　 　 ； （2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率． 18．（2025•昆山市模拟）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为 　 　 ，是 　 　 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 19．（2024•崇川区三模）有三把不同的钥匙A，B，C和两把不同的锁D，E，其中钥匙A只能打开锁D，钥匙B只能打开锁E，钥匙C不能打开这两把锁． （1）随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是　 　 ； （2）随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？ 20．（2025•宜兴市模拟）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为 　 　 ； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 21．（2024•启东市二模）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　 　 ； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 22．（2024•海门区一模）某超市开展促销活动，凡购物者可获得一次抽奖机会，规则如下：在一个不透明的箱子里装有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5．摸奖者从中随机一次摸出两个小球，若两个球上的数字和为n，则所购商品总价打n折．请用画树状图或列表的方法，求某顾客抽奖一次获得7折的概率． 23．（2024•海安市一模）第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球． （1）在第一盒中取出1个球是白球的概率是　 　 ； （2）求取出的2个球中1个白球、1个红球的概率． 24．（2025春•南通校级月考）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为　 　 ； （2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 25．（2025•海安市一模）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（简称乙款），在DeepSeek（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是　 　 ； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 类型四 利用频率估计概率 26．（2025•海安市一模）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（　　） A．16 B．20 C．24 D．28 27．（2024春•如皋市期末）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 155 254 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（　　） A．119° B．108° C．87° D．90° 28．（2024秋•海门区校级月考）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 ；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少只？ （3）请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/17 14:30:08；用户：初中数学13；邮箱：haydt13@xyh.com；学号：39048644 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 南通中考数学必考知识点概率四种题型集中训练（解析版） 专题诠释： 本专题精选南通市中考数学真题（2020-2024）和南通市各地区2024及2025年中考模拟试题中的概率试题。这类题型是南通地区解答题必考题型。希望孩子们通过这个专题的训练，在中考中概率题型取得满分。 类型一 概率公式 1．（2024秋•海安市期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海”“安”四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用概率公式计算． 【详解】解：∵袋子中分别装着标有“大”“美”“海”“安”四个汉字的4个小球， ∴从袋中摸出一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 2．（2024秋•海安市月考）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．从中随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率是． 故选：B． 【点睛】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 3．（2024秋•通州区期中）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是 　　 ． 【分析】直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：∵共有四种区域文化， ∴随机选一种文化开展专题学习， 则选中“巴蜀文化”的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 4．（2024秋•南通期末）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率是　　 ． 【分析】先画出树状图，从而可得所有等可能性的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能性的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 类型二 几何概率 5．（2024秋•海安市月考）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：整个图形面积＝4×4＝16， 阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 6．（2024春•海门区月考）如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，△ABC为正三角形，则小球落在小⊙O内部（阴影）区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外接圆面积的比． 【详解】解：∵如图所示的是正三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠OBE＝30°，∠OEB＝90°， 设OE＝a，则OB＝2a， 则小球落在小⊙O内部（阴影）区域的概率为． 故选：B． 【点睛】考查了几何概率，关键是得到内切圆的面积与外接圆面积的比． 7．（2022秋•启东市月考）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2.4cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 　　 ． 【分析】用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为2×2＝4cm2，黑色部分的总面积为2.4cm2， ∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，解题关键是掌握概率公式． 类型三 列表法与树状图法 8．（2025春•如东县月考）三张背面完全相同的数字牌，正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为a，将数字牌放回洗匀，再随机抽取一张记为b，则a≤b的概率是　　 ． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中a≤b的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中a≤b的结果有6种， ∴a≤b的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 9．（2024•南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 　　 ； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【分析】（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为； （2）根据题意画出树状图，得出概率． 【详解】解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动）， 故答案为：； （2） ∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况， ∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）． 【点睛】本题考查了概率，掌握树状图法是解题的关键． 10．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁． （1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 　　 ； （2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）∵有同型号的a，b，c三把钥匙， ∴从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa、Bb， ∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回试验还是不放回试验；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 11．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 　　 ； （2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种， ∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 12．（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 　　 ； （2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种， ∴两次取出小球标号的和等于5的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．（2020•南通）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求． 请用所学概率知识解决下列问题： （1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由． 【分析】（1）假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数； （2）分别求出两人坐到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种； （2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲， 则张先生坐到甲车的概率是； 由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙， 则李先生坐到甲车的概率是； 所以两人坐到甲车的可能性一样． 【点睛】此题考查的是列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（2024•海门区二模）在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品． （1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是 　　 ； （2）丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及丽丽抽到“龙”和“马”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 龙 蛇 马 羊 龙 （龙，蛇） （龙，马） （龙，羊） 蛇 （蛇，龙） （蛇，马） （蛇，羊） 马 （马，龙） （马，蛇） （马，羊） 羊 （羊，龙） （羊，蛇） （羊，马） 共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种， ∴丽丽获得奖品的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 15．（2024•通州区二模）某公司甲、乙、丙、丁四个员工乘坐高铁动车去某地参加商务活动，铁路售票系统将4人分配到同一车厢同一排的A，B，C，D四个座位，示意图如图所示． 窗 A B 过道 C D 窗 （1）若甲员工从四个座位中随机选一个坐下，则甲员工坐到B座位的概率为 　　 ； （2）若甲员工先坐在A座位，剩余三名员工随机选择剩余三个座位就坐，求乙，丙两个员工相邻而坐的概率．（注：过道两侧座位B，C不算相邻） 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲员工坐到B座位的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及乙，丙两个员工相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲员工坐到B座位的结果有1种， ∴甲员工坐到B座位的概率为． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中乙，丙两个员工相邻而坐的结果有：CD，DC，共2种， ∴乙，丙两个员工相邻而坐的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 16．（2024•启东市一模）小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）小李购买门票在A区观赛的概率为 　　 ； （2）请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小李购买门票在A区观赛的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小李和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小李购买门票在A区观赛的结果有1种， ∴小李购买门票在A区观赛的概率为． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小李和小张在同一区域观看比赛的结果有4种， ∴小李和小张在同一区域观看比赛的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 17．（2024•南通一模）某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用A、B、C、D表示）和4个化学实验考查内容（用E、F、G、H表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验A的概率是 　　 ； （2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：（1）小刚抽到物理实验A的概率是； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1， 所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 18．（2025•昆山市模拟）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为 　　 ，是 　随机　 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【分析】（1）直接利用概率公式，求解即可； （2）画出树状图，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种， ∴，是随机事件； 故答案为：，随机； （2）画出树状图如图： 由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种， ∴． 【点睛】本题考查树状图法求概率，掌握树状图法求概率，是解题的关键． 19．（2024•崇川区三模）有三把不同的钥匙A，B，C和两把不同的锁D，E，其中钥匙A只能打开锁D，钥匙B只能打开锁E，钥匙C不能打开这两把锁． （1）随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是　　 ； （2）随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？ 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个， ∴一次打开锁的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（2025•宜兴市模拟）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为 　　 ； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 【分析】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择“微信”支付的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及三人选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择“微信”支付的结果有1种， ∴甲选择“微信”支付的概率为． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种， ∴三人选择同一种支付方式的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．（2024•启东市二模）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　　 ； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取到的两张卡片中不含D卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中不含D卡片的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种， ∴抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22．（2024•海门区一模）某超市开展促销活动，凡购物者可获得一次抽奖机会，规则如下：在一个不透明的箱子里装有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5．摸奖者从中随机一次摸出两个小球，若两个球上的数字和为n，则所购商品总价打n折．请用画树状图或列表的方法，求某顾客抽奖一次获得7折的概率． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两个球上的数字和为7的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 2 3 4 5 2 （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，2） （3，4） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，4） 共有12种等可能的结果，其中两个球上的数字和为7的结果有：（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），共4种， ∴某顾客抽奖一次获得7折的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．（2024•海安市一模）第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球． （1）在第一盒中取出1个球是白球的概率是　　 ； （2）求取出的2个球中1个白球、1个红球的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：（1）∵在第一盒中取出1个球有3种等可能结果，其中摸出的球是白球的有2种结果， ∴在第一盒中取出1个球是白球的概率是， 故答案为：． （2）画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中取出的2个球中1个白球、1个红球的情况有3种结果， ∴取出的2个球中1个白球、1个红球的概率为． 【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．（2025春•南通月考）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为　　 ； （2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【分析】（1）根据题意，可以直接写出第一次取出的卡片图案为申公豹的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率． 【详解】解：（1）由题意可得， 第一次取出的卡片图案为申公豹的概率为， 故答案为：； （2）由题意可得，树状图如下： 由上可得，共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果有2种， ∴抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 25．（2025•海安市一模）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（简称乙款），在DeepSeek（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是　　 ； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到丙款的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到丙款的结果有1种， ∴抽到丙款的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，乙） （乙，丙） 丙 （丙，乙） （丙，丙） 共有6种等可能的结果，其中两人选择的聊天机器人互不相同的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），（丙，乙），共4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 类型四 利用频率估计概率 26．（2025•海安市一模）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（　　） A．16 B．20 C．24 D．28 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：根据题意知20%， 解得a＝20， 经检验：a＝20是原分式方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 27．（2024春•如皋市期末）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 155 254 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（　　） A．119° B．108° C．87° D．90° 【分析】利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落在“饮料”区域的概率，用360°乘概率即可得出答案． 【详解】解：转动该转盘一次，可估计指针落在“饮料”区域的概率为0.3， 所以转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是360°×0.3＝108°． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 28．（2024秋•海门区月考）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　0.6　 ；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少只？ （3）请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6，据此可得答案； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算即可； （3）只要黄球的个数大于白球的个数时即可，答案不唯一． 【详解】解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （2）由（1）可估计摸到白球的概率为0.6， ∴5×0.6＝3（只）， 答：估算口袋中白球有3只； （3）由（2）可知白球有3只，黄球有2只， ∴再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解并掌握这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$