精品解析：2025年山东省东营市广饶县中考二模考试数学试卷

二〇二五年初中学业水平模拟考试 九年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的意义， 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 【详解】∵ ∴4的平方根为． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根是解题的关键． 2. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据概念逐一分析可得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别，掌握以上知识是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A.x2+x不能合并，故选项A错误； B.，故选项B错误； C.8x4÷2x2＝4x2，故选项C正确； D.（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键． 4. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量双 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 【详解】因为众数是在一组数据中出现次数最多的数， 又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量， 所以该店主最应关注的销售数据是众数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 5. 一支钢笔正好与一把直尺平靠放在一起（如图），小明发现：钢笔的笔尖端（点）正好对着直尺刻度约为处，另一端（点）正好对着直尺刻度约为.钢笔的中点位置的刻度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出水笔的长度，再求出他的一半，加上5.6即可解答． 【详解】解：∵水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm． ∴水笔的长度为20.6-5.6=15（cm），水笔的一半=15÷2=7.5（cm）， ∴水笔的中点位置的刻度约为5.6+7.5=13.1（cm）． 故选择：C. 【点睛】本题考查了数轴．解答此题的关键是求出水笔的长度，再求出他的一半，加上起始长度即可解答． 6. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A. 2 B. 10 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设OA交BC于T． ∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC， ∴AO⊥BC，BT＝TC＝4， ∴AE＝， 在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设绳索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程． 【详解】设绳索为尺，杆子为()尺， 根据题意得：()． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 8. 如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得出、，由、、可得出，根据全等三角形的性质可得出、，设，则、、，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的值，再利用余弦的定义即可求出的值． 【详解】解：根据折叠，可知：， ，． 在和中， ， ∴， ，． 设，则，， ，， ． 在中，，即， 解得：， ， ． 故选C 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合，求出的长度是解题的关键． 9. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当P、Q分别在AB、AC上运动时，y=AP×QH=（2-t）×tsin60°；当P、Q分别在AC、DC上运动时，同理可得：，即可求解． 【详解】解：（1）当、分别在、上运动时， 是菱形，，则、为边长为2的等边三角形， 过点作于点， ， 函数最大值为，符合条件的A、B、D； （2）当、分别在、上运动时， 同理可得：， 符合条件的有B； 故选B． 【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论. 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接OE并延长交DC于点H，先证△ADO为等边三角形，得出∠2=∠DAF=60°，再根据△DEF为等边三角形，得出①正确；证出△DOE≌△COE，得到ED=EC，得出②正确；证出∠ADF=∠3，看得出③正确；根据△ADF≌△ODE，OE=AO，可得④正确． 【详解】解： 连接OE并延长交DC于点H， ∵矩形ABCD， ∴OA=OD=OC， ∵∠DAC=60°， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠2=∠DAF=60°， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠1=60°=∠5， ∴∠1=∠2， ∴D、F、O、E四点共圆， ∴∠3=∠4，①正确； ∴∠5=∠6=60°， ∴∠7=∠6=60°， ∵OD=OC，OE=OE， ∴△DOE≌△COE， ∴∠3=∠8， ∴∠CDE=∠DCE， ∴ED=EC，②正确； ∵∠ADO=∠FDE=60°， ∴∠ADF=∠3， ∴∠ADF=∠8，即∠ADF=∠ECF，③正确； ∵△ADF≌△ODE， ∴AF=OE， ∴OE=AD=2， ∴OE=，④正确 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 智能光计算芯片据报道，清华大学研究团队首创了一种干涉——衍射分布式广度光计算架构，并研制出高算力、高能效的智能光计算芯片，可实现每秒每焦耳160万亿次运算的通用智能计算，为大模型通用智能计算探索了新路径．数据160万亿用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：160万亿即16000000000000元 ， 故答案为： 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式-y，再运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式= = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法因式分解，综合运用这两种方法分解因式，是解题的关键． 13. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，概率公式的计算，理解图②中的频率得到相应的概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据图②可得频率稳定在，则概率为，计算出长为，宽为的长方形，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此即可求解． 【详解】解：根据图②可得频率稳定在，则概率为， 长为，宽为的长方形的面积为，设不规则图案的面积为， ∴， 解得，， ∴不规则图案的面积大约为， 故答案为： ． 14. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么__． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题． 【详解】解：∵大正方形ABCD的面积是100， ∴． ∵小正方形EFGH的面积是4， ∴小正方形EFGH的边长为2， ∴， 设， 则， 由勾股定理得，， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出AF的长是解题的关键． 15. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】解方程得出x=4，或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∵ 因式分解得：（x-4）（x-5）=0， 解得：x=4，或 x=5， 分两种情况： 当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形； 当AB=AD=5时，5+5＞8，可构成三角形； ∴菱形ABCD的周长=4AB=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键． 16. 如图，，平分，以为圆心，3为半径作弧分别交、、于点、、，为上一动点，连接、．则阴影部分周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要弧长公式以及轴对称的性质来求解阴影部分周长的最小值．首先计算弧的长度，然后利用轴对称和等边三角形的性质找到的最小值，进而可求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， 由作图可知：， ∴， 作D点关于的对称点，连接交于连接，如图∶ ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，此时的值最小， ∴阴影部分周长的最小值为 故答案为∶ ． 17. 如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k=_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可． 【详解】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3， 在Rt△FMN中，∠MFN=30°， ∴FN=MN=3， ∴AN=MB=8﹣3=5， 设OA=x，则OB=x+3， ∴F（x，8），M（x+3，5）， ∴8x=（x+3）×5， 解得，x=5， ∴F（5，8）， ∴k=5×8=40． 故答案为：40． 【点睛】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 18. 如图，面积为1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1＝90°，以OA2为斜边在△OA1A2外部作等腰直角△OA2A3，以OA3为斜边在△OA2A3外部作等腰直角△OA3A4，以OA4为斜边在△OA3A4外部作等腰直角△OA4A5，…，连接A1A3，A2A4，A3A5，…分别与OA2，OA3，OA4，交于点C1，C2，C3，按此规律继续下去，则△OAnCn的面积等于_____．(用含正整数n的式子表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据题意做等腰直角三角形，可由第一个直角边为1推出之后的面积及直角边长度，A2A3的长为1，△OA2A3的面积为，A3A4的长为，△OA3A4的面积为，以此类推，AnAn+1的长为，△OAnAn+1的面积为，又可知△A1OC1∽△A3A2C1，即＝，即S△A1OC1＝S△A1OA2＝，同理可得，S△A2OC2＝S△A2OA3＝×＝，以此类推，S△AnOCn＝S△AnOAn+1＝×＝， 【详解】解：∵面积为1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1＝90°， ∴A1A2＝，OA1＝2， ∵以OA2为斜边在△OA1A2外部作等腰直角△OA2A3， ∴A2A3的长为1，△OA2A3的面积为， ∵以OA3为斜边在△OA2A3外部作等腰直角△OA3A4， ∴A3A4的长为，△OA3A4的面积为， 以此类推，AnAn+1的长为，△OAnAn+1的面积为， ∵A1O∥A2A3， ∴△A1OC1∽△A3A2C1， ∴＝，即S△A1OC1＝S△A1OA2＝， 同理可得，S△A2OC2＝S△A2OA3＝×＝， … 以此类推，S△AnOCn＝S△AnOAn+1＝×＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定以及三角形面积的计算问题，比较复杂，书写时小下标较多，要认真书写，先根据等腰直角三角形的面积求各边的长，利用同底等高的三角形面积相等将所求的三角形进行转化，从而解决问题，并发现规律． 三、解答题：本大题共8小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，请在的范围内选一个合适的整数代入求值． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值和实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数是关键． （1）利用二次根式的性质、特殊角三角函数、绝对值、负整数指数幂、零指数幂进行计算即可； （2）先计算括号内减法，再计算除法得到化简结果，再选择合适的值代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 . （2）原式 ，， 在的范围内的整数选， 当时，原式 20. 网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了了解在空中课堂中学生参与互动的次数，在3月份某天随机抽取若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表： 组别 参与互动（次） 占调查人数的百分率 16次以上 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）共抽查学生________人，________，中位数落在________组，请将频数分布直方图补充完整； （2）已知该校共有学生1800人，请你估计该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有多少人？ （3）该校计划在组随机抽取两人了解情况，已知组有男生2人，女生1人，请用画树状图法或列表法求出抽取两名学生都是男生的概率． 【答案】（1）60，，C； 补全统计图如下： （2）1350人 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，画条形统计图，统计表与条形统计图的综合，准确画出树状图为解题关键． （1）根据A组的人数和所占的百分比求出总人数，用整体1减去其它组所占的百分比，求出a，从而得出C组的人数，再根据中位数的定义即可得出中位数落在C组，最后补全统计图即可； （2）用该校的总人数乘以参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生所占的百分比即可； （3）根据题意画出树状图得到所有等可能的情况数和抽取两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共抽查学生数是：（人）， ； C组的人数有：（人）， ∵共有60人，中位数是第30、31个数的平均数， ∴中位数落在C组， 故答案为：60，，C； 【小问2详解】 该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有：（人）； 【小问3详解】 根据题意画图如下： 共有6种等可能的情况数，其中抽取两名学生都是男生的有2种， 则抽取两名学生都是男生的概率是． 21. 数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小亮和小刚分别用不同的方法测量了学校旗杆BF的高度（不包含底座），他们的测量报告如下所示： 课题 测量学校旗杆的高度 测量学生 小亮 小刚 测量工具 平面镜、皮尺 测倾器、皮尺 测量示意图及说明 说明： ①点E，A，C在同一条直线上，，垂直于地面；点B，F，C在同一条直线上，点F是旗杆与底座的交点； ②平面镜大小忽略不计． 说明： ①点B，F，C在同一条直线上，，垂直于地面； ②测倾器支架宽度忽略不计． 测量数据 当小亮刚好在平面镜中看到旗杆顶端B时，小亮的眼睛与地面的高度米，他到平面镜的距离米，平面镜到旗杆底座中心C的距离米，旗杆底座高度为0.4米． 小刚在点A处安置测倾器，测得旗杆顶部B处的仰角，测倾器的高度米，测倾器底部到旗杆底座中心C的水平距离___米，旗杆底座高度为0.4米． 参考数据 ，， （1）请你根据小亮的测量报告，求出旗杆顶端到底座连接处的高度； （2）请你依据小亮的测量结果，通过计算完善小刚报告中的数据（结果精确到0.1米）． 【答案】（1）10.4米 （2）13.1 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）证明，利用相似三角形的性质求出，即可求解； （2）过H作于M，证明四边形是矩形，则，，在中，利用正切定义求出，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， 即旗杆顶端到底座连接处的高度为10.4米； 【小问2详解】 解：过H作于M，则， ∵，垂直于地面， ∴四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴， 在中，， ∴米， 故答案为：13.1． 22. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：连接 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的半径 ∴与相切 （2） 【解析】 【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得∠DAE=∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA=∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论； （2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE=BE，∠EAB=60°，得到∠CAE=∠ACB，得到CE=BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 23. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 【答案】（1）新能源车的每千米行驶费用为元， （2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 24. 如图1，在正方形中，，是对角线．先将平移得到，使得点落到对角线上（点不与、重合），且，与交于点，与交于点．再将绕点顺时针旋转，记旋转角为． （1）问题发现 当时，线段与的数量关系是________，四边形的面积是________； （2）拓展探究 当时，线段与的数量关系是什么？请仅就图2的情形给出证明（用含的式子表示）； （3）问题解决 当时，绕点顺时针旋转至、、三点在同一条直线上（即点与重合）时，求四边形的面积． 【答案】（1）；4 （2） ，证明如下： 如图所示，过点K，作于E，作于F ， 四边形是正方形， ，，， ， 由平移和旋转的性质可得， 在中，， ， 同理：， ∴， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，解直角三角形，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转和平移的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）过点K分别作的垂线，垂足分别为E、F，可证明都是等腰直角三角形，得到，再由题意可得，则可证明得到，即，证明四边形是正方形，得到，，由平移和旋转的性质可得，据此证明，则，则可证明，据此求解即可； （2）过点K，作于E，作于F，导角证明，解直角三角形得到，，证明， 可得，则； （3）由（2）可得：，，，利用勾股定理求出，，根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点K分别作的垂线，垂足分别为E、F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， 由平移和旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，且， ∴， 如图3，由（2）可得：，， 在中，， 在中，， ∴． 25. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值； （3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在BC另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）∵经过点A， ∴， ∴， ∴直线：； 设，则， ∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称， ∴M点横坐标为， ∴； 又∵， ∴， 当时，的值最小，为； ∴该矩形周长的最小值为； （3）存在，或； 由（2）可知，， ∵抛物线的函数表达式为：； 且， ∴顶点D坐标为， 如图4，作DE⊥QM， 因为，， ∴； 又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B， ∴ 令，解得：，； ∴,, ∴, ∴， ∴当F点在点A处时，能使得，此时; 如图5，在BC另一侧，当时，， 过C点作CN⊥BH，垂足为点N， 由角平分线的性质可得：CN=CO=2， ∴BN=BO=4， 由勾股定理可得：且, 即，且； 解得：，; ∴ 设直线BH的函数解析式为：， ∴， ∴， ∴直线BH的函数解析式为：， 联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得： 解得：（与B点重合，故舍去），或， ∴， 综上可得，抛物线上存在点，使得，或． 【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年初中学业水平模拟考试 九年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. 16 D. 2. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 4. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量双 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 5. 一支钢笔正好与一把直尺平靠放在一起（如图），小明发现：钢笔的笔尖端（点）正好对着直尺刻度约为处，另一端（点）正好对着直尺刻度约为.钢笔的中点位置的刻度约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A. 2 B. 10 C. 4 D. 5 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 智能光计算芯片据报道，清华大学研究团队首创了一种干涉——衍射分布式广度光计算架构，并研制出高算力、高能效的智能光计算芯片，可实现每秒每焦耳160万亿次运算的通用智能计算，为大模型通用智能计算探索了新路径．数据160万亿用科学记数法可表示为________． 12. 分解因式：______． 13. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 14. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么__． 15. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________． 16. 如图，，平分，以为圆心，3为半径作弧分别交、、于点、、，为上一动点，连接、．则阴影部分周长的最小值为________． 17. 如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k=_____． 18. 如图，面积为1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1＝90°，以OA2为斜边在△OA1A2外部作等腰直角△OA2A3，以OA3为斜边在△OA2A3外部作等腰直角△OA3A4，以OA4为斜边在△OA3A4外部作等腰直角△OA4A5，…，连接A1A3，A2A4，A3A5，…分别与OA2，OA3，OA4，交于点C1，C2，C3，按此规律继续下去，则△OAnCn的面积等于_____．(用含正整数n的式子表示) 三、解答题：本大题共8小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，请在的范围内选一个合适的整数代入求值． 20. 网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了了解在空中课堂中学生参与互动的次数，在3月份某天随机抽取若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表： 组别 参与互动（次） 占调查人数的百分率 16次以上 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）共抽查学生________人，________，中位数落在________组，请将频数分布直方图补充完整； （2）已知该校共有学生1800人，请你估计该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有多少人？ （3）该校计划在组随机抽取两人了解情况，已知组有男生2人，女生1人，请用画树状图法或列表法求出抽取两名学生都是男生的概率． 21. 数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小亮和小刚分别用不同的方法测量了学校旗杆BF的高度（不包含底座），他们的测量报告如下所示： 课题 测量学校旗杆的高度 测量学生 小亮 小刚 测量工具 平面镜、皮尺 测倾器、皮尺 测量示意图及说明 说明： ①点E，A，C在同一条直线上，，垂直于地面；点B，F，C在同一条直线上，点F是旗杆与底座的交点； ②平面镜大小忽略不计． 说明： ①点B，F，C在同一条直线上，，垂直于地面； ②测倾器支架宽度忽略不计． 测量数据 当小亮刚好在平面镜中看到旗杆顶端B时，小亮的眼睛与地面的高度米，他到平面镜的距离米，平面镜到旗杆底座中心C的距离米，旗杆底座高度为0.4米． 小刚在点A处安置测倾器，测得旗杆顶部B处的仰角，测倾器的高度米，测倾器底部到旗杆底座中心C的水平距离___米，旗杆底座高度为0.4米． 参考数据 ，， （1）请你根据小亮的测量报告，求出旗杆顶端到底座连接处的高度； （2）请你依据小亮的测量结果，通过计算完善小刚报告中的数据（结果精确到0.1米）． 22. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 23. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 24. 如图1，在正方形中，，是对角线．先将平移得到，使得点落到对角线上（点不与、重合），且，与交于点，与交于点．再将绕点顺时针旋转，记旋转角为． （1）问题发现 当时，线段与的数量关系是________，四边形的面积是________； （2）拓展探究 当时，线段与的数量关系是什么？请仅就图2的情形给出证明（用含的式子表示）； （3）问题解决 当时，绕点顺时针旋转至、、三点在同一条直线上（即点与重合）时，求四边形的面积． 25. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $