7.5正态分布 讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

正态分布 知识点一　正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点二　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． 2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 题型一 正态曲线性质 1．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 3．如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望 ，方差 ． 题型二 正态分布求指定区域概率 1．已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 2．若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 4．若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．已知随机变量，那么的值为（   ） A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8 6．已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．随机变量，，若，则 . 8．随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 题型三 根据正态曲线对称性求参数 1．已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 2．设随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 4．已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 5．设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 题型四 标准正态分布的应用 1．已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（    ） A． B． C．在上是减函数 D． 2．随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 题型五 正态分布的实际应用 1．某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 2．某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 3．某校高三800名学生的考试成绩近似服从正态分布，某生成绩为102分，则该生成绩的年级排名大约是（   ） （附：参考数据：，则，，，．） A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名 4．假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量，若一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为（   ） A．0.9545 B．0.6827 C．0.9973 D．0.97725 5．某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 6．某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（    ）（若，则） A．6828 B．5436 C．4773 D．2718 7．（多选）在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（    ）（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C．该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D．该厂家生产的安全芯片的良品率超过 8．已知某批产品的质量指标服从正态分布，且，现从该批产品中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则（    ） A． B． C． D． 9．某地为了美化环境，购买了棵杉树树苗，已知杉树树苗的高度近似服从正态分布，则树苗高度在以上（含）的约有 棵． 10．某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是 ． 题型六 正态分布的综合运用 1．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 2．在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 3．某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值； (2)本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张 10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 参考数据：，，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正态分布 知识点一　正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点二　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． 2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 题型一 正态曲线性质 1．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 2．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、正态密度函数 【分析】越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误； 根据正态密度曲线的对称性，可知BCD正确． 【详解】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误; 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确. 故选：A. 3．如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质 【分析】直接由正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义结合已知图象得答案. 【详解】由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，越小，故有． 故选：A. 4．如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望 ，方差 ． 【答案】 5 1 【知识点】正态曲线的性质、正态密度函数 【分析】利用正态分布密度曲线求得即可求期望和方差. 【详解】由图可知，当时，有最大值为， 所以， 所以，所以，， 故答案为:5;1. 题型二 正态分布求指定区域概率 1．已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态曲线的对称性计算即可求解. 【详解】由题意得， 由正态曲线的对称性知， 所以． 故选：C 2．若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【知识点】特殊区间的概率 【分析】由对称性先得出，进而得出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 【答案】D 【知识点】指定区间的概率、特殊区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布特点求解即可. 【详解】因为服从正态分布， 所以， 所以. 故选：． 4．若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指定区间的概率 【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解. 【详解】随机变量，且，， 由正态密度曲线的对称性可知，， 所以． 故选：B. 5．已知随机变量，那么的值为（   ） A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8 【答案】A 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据已知条件得出，且有，进而根据对称性求得即可. 【详解】已知随机变量，， 则， 根据正态密度曲线的对称性得出 故选：A. 6．已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态分布的实际应用、二项分布的方差、二项分布的均值 【分析】由正态分布结合二项分布的定义以及期望和方差公式即可求解. 【详解】由题可得，，，， 所以. 故选：D. 7．随机变量，，若，则 . 【答案】/ 【知识点】指定区间的概率、标准正态分布的应用 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 8．随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【答案】 【知识点】指定区间的概率、标准正态分布的应用 【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案. 【详解】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知， 因为，所以，即， 随机变量服从正态分布，根据对称性可知， ，则，即. 故答案为：. 题型三 根据正态曲线对称性求参数 1．已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知关于对称，所以，解得， 故选：C． 2．设随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的对称性可得答案. 【详解】，得：. 故选：C． 3．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以根据正态分布的性质，可得，解得. 故选：D. 4．已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】（1）利用正态分布的对称性，可得解； （2）根据正态分布对称性，可得，可得解 【详解】（1）由题意，随机变量，且 由正态分布的对称性可知， 故c的值为2. （2）由于，因此，， 故 题型四 标准正态分布的应用 1．已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（    ） A． B． C．在上是减函数 D． 【答案】AD 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】利用正态分布的对称性，利用概率进行转化结合选项可以得出答案. 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以，A正确； ，因为，所以， 所以不可能，B不正确； 因为，所以当增大时，也增大，C不正确； ，D正确. 故选：AD. 2．随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【答案】/ 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【详解】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 题型五 正态分布的实际应用 1．某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 【答案】B 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】求出，根据原则结合对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以，， 故. 故选 ：B. 2．某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【答案】B 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 3．某校高三800名学生的考试成绩近似服从正态分布，某生成绩为102分，则该生成绩的年级排名大约是（   ） （附：参考数据：，则，，，．） A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率 【分析】根据正态分布的特征，求出数学成绩不低于分对应的概率，从而可求出对应的人数，确定排名． 【详解】因为成绩近似服从正态分布， 所以， 所以， 所以成绩大于等于的学生人数为， 所以成绩为的学生的年级排名约为， 故选：B. 4．假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量，若一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为（   ） A．0.9545 B．0.6827 C．0.9973 D．0.97725 【答案】D 【知识点】指定区间的概率 【分析】由正态曲线的对称性即可求解； 【详解】由，知，， 依题意，， 由正态曲线的对称性： ． 故选：D 5．某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 【答案】B 【知识点】正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论. 【详解】由正态密度函数的对称性，数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同， 所以. 故选；B. 6．某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（    ）（若，则） A．6828 B．5436 C．4773 D．2718 【答案】D 【知识点】正态分布的实际应用、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布的对称性即可求得抽测成绩在内大约的学生人数. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布，则 ， 由于总人数为20000， 则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：D. 7．（多选）在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（    ）（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C．该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D．该厂家生产的安全芯片的良品率超过 【答案】ABD 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的对称性即可求解ABD，根据正态分布中参数的含义即可求解C. 【详解】选项A：由题知，则，故A正确； 选项B：，又 ，所以，B正确； 选项C：由，得，即该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为5年，C错误； 选项D：该厂家生产的安全芯片的良品率为 ，超过，故D正确. 故选：ABD 8．已知某批产品的质量指标服从正态分布，且，现从该批产品中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案. 【详解】由正态分布的概念可知，故A正确； 由正态分布的性质得，故B错误； 则1件产品的质量指标值位于区间的概率为 所以，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 9．某地为了美化环境，购买了棵杉树树苗，已知杉树树苗的高度近似服从正态分布，则树苗高度在以上（含）的约有 棵． 【答案】 【知识点】正态分布的实际应用、特殊区间的概率 【分析】根据原则可求得，由此可计算求得结果. 【详解】由题意知：，，， ， 树苗高度在以上（含）的约有棵. 故答案为：. 10．某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是 ． 【答案】 【知识点】二项分布的方差、指定区间的概率 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，所以， 故. 故答案为： 题型六 正态分布的综合运用 1．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【答案】(1) (2)2048 【知识点】正态分布的实际应用、特殊区间的概率 【分析】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【详解】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 2．在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【详解】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由， 可得，则， 所以分数在70分及以下的学生有， 所以学生小A被抽到的概率 （2）由， 可得： 所以甲校不低于130分的概率为， 得分不高于58分的概率为， 所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人， 故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 3．某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值； (2)本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 参考数据：，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析，总金额为元 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式求出，再由正态分布对称性即可求得的值； （2）求出Y的所有可能取值及其对应概率，即可得出分布列，求得，即可求出本次活动中需要准备的话费充值卡的总金额. 【详解】（1）依题意，， 所以， 故 ． （2）参与活动的每位居民得分低于74分的概率为， 得分不低于74分的概率为． Y的所有可能取值分别为10，20，30，40． ，， ，， 所以Y的概率分布为 Y 10 20 30 40 P 所以， 所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元． 学科网（北京）股份有限公司 $$