第七章 命题与证明 复习巩固课件 2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

第七章 命题与证明 专题17 利用平行线的性质求角度的 常见帮手 1 帮手1 对顶角与邻补角 （第1题） 1. 如图，直线，直线，被直线 所 截，平分，若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 2 2.如图所示，，若 ，则 的度数是____. （第2题） 返回 3 帮手2 垂直（余角） （第3题） 3. 如图，已知，点在直线 上， 点，在直线上， ， ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 4 （第4题） 4. 如图，，，垂足为 ， ,垂足为,若 ，则 的 度数是( ) C A. B. C. D. 返回 5 5. ［2025威海月考］如图，直线，且分别与直线 交于 ，两点，把一块含 角的三角尺按如图所示的位置摆放， 若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 返回 6 6. 如图是一种躺椅的简化结构示 意图，扶手与底座都平行于地面，靠背 与支架平行，前支架与后支架 分别与 交于点和点，与交于点，当 ， 时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架 的夹角和扶手与靠背的夹角 的度数. 7 【解】 扶手与底座 都平行于地面， ， . 又 ， . ， ， . 返回 8 帮手3 角平分线 7.将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，若 ， 则 的度数是____. （第7题） 返回 9 8. 如图，已知， ， 的平分线交于点，在直线上取点 ，使 ，则 的度数是__________. 或 （第8题） 10 【点拨】，平分 ， ，.在 中， ， ， .下面分两种情况讨论： 11 如图①，当点位于点 的右侧时， ， . 如图②，当点位于点 的左侧时， ， . 综上，的度数是 或 . 返回 12 9.如图， ， 平分 ，点，，分别是射线 ， ，上的动点（点，， 不与点 重合），且，连接 交射线 于点 . 13 （1）求 的度数； 【解】 ，平分 ， . ， . 14 （2）当中有两个相等的角时，求 的度数. 15 当 时， 当时， ， ， ， ， ; . 或 . 返回 16 帮手4 巧构平行线 10.如图，，点是直线， 之间的一点，连接 ， . 【探究猜想】 17 （1）若 ， ，则 ____； 【点拨】如图①，作， ， ， ， , . 18 （2）若 ， ，则 ____； 19 （3）猜想图中，， 的关系，并证明你的结论. 20 【解】，，的关系是 .证明：如 图②，作， ， , ， ，即 . 返回 21 11. 22 【阅读理解】 题目：如图①， 和 的边与互相平行，边 与 相交于点.若 ， ，求 的度数. 某同学写出了部分求解过程，请在横线 处填空，帮助完成求解过程. 23 解：如图②，过点作 . _______（____________________ _____）. ，， . 两直线平行，内错角相等 两直线平行，内错角相等 _______（________________________）. ， 24 . ， ， . 【问题迁移】 如图③，点， 分别 是的边,上的点，在直线 的左侧作的平行线，分别交, 于点，.点是线段 上的一点，连 接,.若 ， ，求 的度数. 26 【解】如图①，过点作 . . ， ， . ， . ， ， . 27 【拓展应用】 如图④，点， 分别是边, 上的点，在 直线的左侧作 的平行线分 别交,于点，.点 是 边上的一点，连接 , .若 ， ， 直接写出与 ， 之间的数量关系. 28 当点在线段 上时， ;当点 在线段 上时， ;当 点在射线 上时， . 29 【点拨】当点在线段 上时， 如图②，过点 作 ，， ， ， ; 30 当点在线段 上时，如图③， 过点作 ， ， ， ， ; 31 当点在射线 上时，如图④， 过点作 ， ， ， ， . 32 综上可知，当点在线段上时， ；当点 在线段上时， ；当点在射线 上时， . 返回 33 $$第七章 命题与证明 1 认识证明 第1课时 为什么要证明 1 1. 下列说法正确的是( ) D A. 经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B. 推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C. 对于自然数， 一定是质数 D. 有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹 果不少于2个 返回 2 2. 小明花整数元网购了一本《趣味数学》，让同学们猜书的 价格.甲说：“至少15元.”乙说“至多13元.”丙说：“至多10元.” 小明说：“你们都猜错了.”则这本书的价格为( ) C A. 12元 B. 13元 C. 14元 D. 无法确定 【点拨】由题意可得，甲、乙、丙的说法都是错误的，甲的 说法错误，说明这本书的价格少于15元，乙、丙的说法错误， 说明这本书的价格高于13元.又因为小明花整数元网购了一本 《趣味数学》，所以这本书的价格是14元. 返回 3 3.如图，点是直线外一点，过点画直线，， ，分 别交已知直线于点，，，请你用量角器量，， 的度数，并量线段，， 的长度，你发现的规律是 _________________________________________________. 随着线段与直线的夹角度数的增大，线段的长度减小 返回 4 4. 教材P181随堂练习 先观察再验证： （1）图①中两条线段与 哪一条更长？ （2）图②中的直线与直线 平行吗？ 5 【解】 观察可能得出的结论是： （1）更长一些；（2） 与 不平行. 用科学的方法验证可发现： （1）与一样长；（2） 与 平行. 返回 6 5.［2025龙岩期末］若一列数，，， ， 满足 任意相邻三个数的和都相等，且， ， ，则 _____. 677 7 【点拨】因为这列数中任意相邻三个数的和都相等，所以 .又因为 ，， ，所以 ， ， ，所以这列数为2， ，4， 2，，4， ，按2， ，4循环出现.又因为 ， 8 所以 . 返回 6.甲、乙、丙三人进行乒乓球赛前训练，每局两人进行比赛， 第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判 进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行.半天训练结束 时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比 赛.在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了____局比赛， 其中最后一局比赛的裁判是____. 15 甲 10 【点拨】因为甲当了8局裁判，所以乙、丙之间比赛了8局.又 因为乙、丙分别进行了12局、11局比赛，所以乙与甲比赛了 （局），丙与甲比赛了 （局），所以甲、 乙、丙三人共比赛了 （局）.又因为甲当了8局 裁判，而从1到15共8个奇数，7个偶数，所以甲当裁判的局 为奇数局，所以最后一局比赛的裁判是甲. 返回 11 7. 规定两正数， 之间的一种运算记作 ，如果，那么 . 例如：因为，所以 . 小明在研究这种运算时发现一个结论： . 12 小明给出了如下的说明：设， ，由规 定，得，，所以 ，所以 ，所以 . 请你解决下列问题： （1）试说明： ； 【解】设，，由规定，得 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 14 （2）如果正数，，满足 ， ，，求 的值. 因为，， ， 所以，， ， 所以，所以 ， 解得 . 返回 15 $$第七章 命题与证明 2 平行线的证明 第1课时 平行线的判定 1 （第1题） 1. 如图是小明探索直线平行的条件时所用的 学具，木条，， 在同一平面内，经测量 ，要使木条与平行，则 的度 数应为( ) B A. B. C. D. 返回 2 （第2题） 2. ［2025太原小店区期末］将文具套尺中 的量角器和三角板按照如图方式摆放，其 中 ，三角板的直角顶点 与量角 器的中心重合， 为量角器的直径.下列条 件中，不能判定 的是( ) D A. B. C. D. 返回 3 3. 数学活动中老师要求同学们利用三角板 作已知直线的平行线 ，如图是甲同学和乙同学作图的过程， 下列判断正确的是( ) A A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 返回 4 4. 如图，直线 分别与直线 ，相交于点， . 若要使 ，则可添加的条件是_____________________ ________.（写出一个即可） （答案不唯一） 5. 如图是一个落地书架的部分示 意图.已知， ，则 与 ，与 的位置关系为__________________. ， 返回 5 6.［2025南阳期末］如图， ， ， . （1）与 有怎样的位置关系？为什么？ 6 【解】与 的位置关系是 .理由如下： ， . 又 ， ， . ， . 7 （2）与 平行吗？若平行，请说明 理由；若不平行，那么再加上什么条件 就平行了呢？ 8 与 不平行，添加条件 或 或 时， .理由如下： ①当 时， ， ， . ②当时， . ， ， . 9 ③当 时， ， . ，， . 返回 10 7. 以下四种沿 折 叠的方法中，不一定能判定纸带两条 边线， 互相平行的是( ) C A. 如图①，展开后测得 B. 如图②，展开后测得且 C. 如图③，测得 D. 如图④，测得 返回 11 （第8题） 8. 如图，在三角形中，点, , 分别在,,上，连接, , ,则下列条件： ; ; ; ; .不能判定 的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12 （第8题） 【点拨】①若,则 ; ②若,则 ;③若 ,则 ;④若 ,则 ;⑤若 ,则 . 故②④⑤不能判定 . 返回 13 （第9题） 9. 随着我国科学技术的不断 发展，科学幻想变为现实.图①是我国自主研 发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾 是这款战斗机的亮点之一.图②是垂尾模型的 ③⑤ 示意图，现测量垂尾模型的外围得到如下数据： ， ， ， ， ， 垂尾模型要求的位置标准之一是 ，则选择数据_____ （填序号）可判断模型位置是否达标. 返回 14 10.如图，已知于点， 于点，, . （1）求证： ； 【证明】, ， ， . ， ， ， . ，，. 15 （2）若 ， ， 求 的度数. 【解】 ， . ， . ， . 返回 16 11. “光线”，即光，光直 行，就一点视之，则放射如线，故云. （1）光线从空气射入水中会产生折射现 象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象.如图①， 光线 从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线 ，根据光学知识有，，请判断直线 与 直线 是否平行，并说明理由. 17 【解】 .理由如下： 如图①， ， ， ， . ， ， 即， . 18 （2）结合光线、舞美等效果可以打造不一 样的视觉体验.如图②，，为直线 上的灯， 照出的光线， ， ，光线，分别绕点 ，点 以和的速度同时顺时针转动.设时间为，在光线 转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与 平行？若 存在，求出所有满足条件的时间，若不存在，请说明理由. 19 存在. ①如图②，当，在 的两侧时， ， ， 转动后， ， . 20 要使，则需满足 ， ，解得 . ， ， 故 符合题意. 21 ②如图③，当，都在 的右侧时， ， ， 转动后， ， . 要使，则需满足 ， ，解得 . ， ， 故 符合题意. 22 ③如图④，当，都在 的左侧时， ， ， 转动后， ， . 要使，则需满足 ， ，解得 ， 而此时 ，故此情况不存在. 综上，当时间为或时，与 平行. 返回 23 $$第七章 命题与证明 专题18 平行线的性质与判定中常用 的辅助线 1 类型1 加截线 题型1 延长线段相交 1. 如图，，， ， 则 等于( ) C A. B. C. D. 返回 2 题型2 连接两点 2.［2025菏泽模拟］如图，中，是 上一点，于点，是 上一点， 于点，.求证： . 3 【证明】如图，连接 . ， ， . . 4 又 ， ， 即 . . 返回 5 类型2 过“拐点”作平行线 题型1 “ ”形图 （第3题） 3.如图，已知，为， 之间的一 点， ， ，则 的度数 是____ . 30 6 【点拨】方法一：过点 作射线 ，如图①所示. ， . ， .又 ， . 7 方法二：过点作射线，如图②所示. ， . ， . ， . 返回 8 4.如图，已知 ， ，且 .若 ，则 的度数是____. （第4题） 9 【点拨】如图，过点作 ，则 ， ， ， .又 ， . . . .又 ， . 返回 10 5.如图，已知，试判断与 的位置关系， 并说明理由. 11 【解】.理由如下：如图，过点作射线 ，则 ， ， . .又， . 返回 12 题型2 “ ”形图 6. 生活中常见一种折叠拦道 闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需 将其抽象为几何图形，如图所示， 垂直 270 于地面于点，平行于地面，则 的度 数是_____ . 13 【点拨】过点作 ，如图. ， . ， . . 返回 14 7.（1）如图，.若 ， .求 的度数； 15 【解】如图，过点作 ， . ，, . . 16 ，即 . . （2）试判断，， 之间的数量关系，并说明理由. .理由如下： 由（1）得 ， , . 返回 18 题型3 “ ”形图 8.如图，，则，， 有何关系？请说明理由. 19 【解】 . 理由如下：如图，过点作 ， . ， ， . . . 返回 20 9.已知：,平分 . （1）如图①，若 ， ，求 的度数; 21 【解】设交于点 ,如图①. 平分 , . . 又 , . 22 （2）如图②,连接,若,的2倍与 的补角的和为 ,求 的度数. 23 分别过点,作的平行线, ,如图②. 设 ，则 . , . ,, . 24 设 ,则 . 平分, . ,, . . , . . 25 的2倍与的补角的和为 , ,解得 . . 返回 题型4 “ ”形图 10.如图， . 27 （1）若 ， ，则 的度数是 ____ ； 72 28 【点拨】如图，过点作， . . .又 ， . 29 （2），和 之间的数量关系 是_____________________________. 【点拨】， .， . 返回 30 题型5 “ ”形图 11.如图为一盏可折叠台灯的平面示意图，其中支 架与底座垂直，支架， 为固定支撑杆， 当灯体与底座平行时， ， ，求 的度数. 31 【解】如图，过点作，过点 作 . ， . . ，， ， ， . ， 32 . . ， ， . . 返回 题型6 多拐点问题 12.（1）如图①，，则与 有 何关系？请说明理由. 34 【解】 . 理由：如图，过，，分别作， ， . ， 35 . ，，， . . （2）在图②中，若 ，又能得到什么结论？直接写出. . 返回 37 $$第七章 命题与证明 2 平行线的证明 第2课时 平行线的性质 1 （第1题） 1. ［2024重庆］如图， ， ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. （第2题） 2. ［2024泸州］把一块含 角的直角三 角尺按如图方式放置于两条平行线间，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 2 （第3题） 3. ［2025西安陕师大附中期末］如图，直 角三角板的直角顶点在直线 上，直线 ，若 ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 3 （第3题） 【点拨】如图， ， ， . ， . ， . 返回 4 （第4题） 4. ［2024德阳］如图是某机械加工厂加工 的一种零件的示意图，其中 ， ， ，则 等于 ( ) B A. B. C. D. 返回 5 5. 如图，已知直线，则 ， ， 之间的关系是 ( ) D （第5题） A. B. C. D. 返回 6 6.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分 别为，.若， ，则 的度数是____. （第6题） 7 （第6题） 【点拨】如图，延长 ，由折叠的 性质得 . ， . ，， ， . ， ， . 返回 8 7. 已知：如图，点 ，，， 在同一条直线上， ， . 若__________________，则 . 请从；； 这3个选项中选择 一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由. （答案不唯一）① 9 【解】理由：， ， , . ， ， ，，即 . 返回 10 （第8题） 8. 一只杯子静止在斜面 上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖 直向下，支持力 的方向与斜面垂直，摩 擦力 的方向与斜面平行.若斜面的坡角 ，则摩擦力与重力 方向的夹角 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 11 （第9题） 9. ［2025金华月考］如图，与交于点 ， 点在直线上， ， , .下列四个结论： ； ； ； . 其中正确的结论是( ) C A. ①②③ B. ②④ C. ①②④ D. ①④ 12 【点拨】，， 正 确；如图①，过点作， ， ，， ， ，即 , , ，即 ， 正确. 13 设，，则， ，由 ②知.如图②，作 ， ,， ， ，无法判断是否为 . ， 错误，④正确.综上所述，正确的结论为①②④，故选C. 返回 10. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行 车的示意图如图，其中,. 若 ， 则 的度数是____. 17 【点拨】过点作 ，如图， ， ， , ， . ， ， ， . 返回 18 11. 在中， ， ， 点是边上一点，点是边上一点，将沿 翻折， 使点落在点处，当时， ___________. 或 19 【点拨】当点与点在直线 的异侧时，如图①， ，， . 将 沿翻折，点落在点 处， ， ; 20 当点与点在直线的同侧时，如图②， ， ， . . 将 沿翻折，点落在点 处， ， ， ， . 综上，的度数为 或 . 返回 21 12.如图①为北斗七星的位置图，如图②，将北斗七星分别标 为，，，，，，，并首尾顺次连接，延长 ，恰 好经过点，且，，在一条直线上，若 ， ， . 22 （1）求 的度数. 【点拨】, . . （2） 的度数是______. 23 （3）连接，当与 满足怎样的数量关系时， ？请说明理由. 24 当 时， .理由： ， . , . 返回 25 13. 现有一副三角板 如图①所示，其中 ， ， .请同学们结合已有的知识 及活动经验，解决下列问题： 问题1： 将上述三角板的直角顶点重合在一起，如图②所示， 当时，____ ； 30 26 问题2： 如图③，当平分 时，请 写出图中两条平行的直线，并说明理由； 【解】 .理由如下: 平分， ， ， . ，， . 27 问题3： 将上述三角板按图④所示的方式摆放， 点，在直线上，点，在直线 上， 直线，保持三角板 不动，现将三 存在， 的值为10或40. 角板绕点以每秒 的速度顺时针旋转，设旋转时间为 秒，且，是否存在的值，使边 与另一块三角 板的一条直角边平行，若存在，请直接写出 的值；若不 存在，请说明理由. 28 【点拨】如图①，当时，延长交 于点，延长交于点 ， . ， ， . ， ， 29 ， ， ， . 旋转速度为每秒 ，秒转过的角度为 ， ，解得 ； 30 当时，如图②，延长交于点 ， 旋转速度为每秒 ，秒转过的角度为 ， 根据题意得 . ， . ， ， . ， ，即 ， . 综上所述,所有满足条件的 的值为10或40. 返回 $$第七章 命题与证明 1 认识证明 第2课时 定义与命题 1 1. 下列语句不是命题的是( ) D A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 垂线段最短 D. 在线段上取点，使 返回 2 2. 有下列三个命题： ①若 ， 是不相等的无理数, 则 是无理数； ②若 ， 是不相等的无理数, 则 是无理数； ③若 ， 是不相等的无理数, 则 是无理数. 其中真命题的个数是( ) A A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3 【点拨】令，，则 是有 理数，所以①不对；令，，则 是有理数， 所以②不对；令，，则 是有理 数，所以③不对.故选A. 返回 4 3.下列语句中，属于定义的是____，属于命题的是____. （填序号） ①今天有没有数学课； ②直线与相交于点 ； ③两直线平行，同位角相等； ④在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. ④ ③ 4.把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果 ，那 么……”的形式：______________________________________ ______. 如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 返回 5 5. 说明命题“若，则 ”是假命题的 一个反例的 的值可以是_________________.（写出一个即可） （答案不唯一） 6.［2025金华期中］给出下列命题：①直角都相等；②若 且，则， ；③一个角的补角大于 这个角.其中为真命题的有______.（填写序号） ①② 返回 6 7.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假 命题，如果是假命题，举出一个反例. （1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； 【解】题设：两个角的和等于平角，结论：这两个角互为补 角.是真命题. 7 （2）内错角相等； 题设：两个角是内错角，结论：这两个角 相等.是假命题.反例：如图，与 是内错 角，但 . （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：同旁内角互补. 是真命题. 8 （4）如果，那么 . 题设：，结论： .是假命题. 反例：，，满足，但不满足 . 返回 9 8.探究：如图①②，与，与交于点 ，这两 个角的两边分别平行，即, . （1）分别猜想图①，图②中与 的大小关系，并 说明理由； 10 【解】关系是：题图①： ，题图 ②： .理由如下： 如题图①，因为，所以 . 因为，所以.所以 . 如题图②，因为，所以 . 因为，所以 . 所以 . 11 （2）一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写 成“如果 ，那么……”的形式. 12 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个 角相等或互补. 返回 13 $$第七章 命题与证明 1 认识证明 第3课时 定理与证明 1 1. 下列关于公理和定理的说法正确的是( ) C A. 公理是真命题，但定理不是 B. 公理就是定理，定理也是公理 C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据 D. 公理和定理都应经过证明后才能使用 2. “过平面上两点，有且只有一条直线”属于( ) C A. 定义 B. 定理 C. 公理 D. 以上答案都不对 返回 2 3. 如图，某镇计划把河中的水引到水池 中， 可以先过点作，垂足为，然后沿 开渠，则能 使所开的渠最短，这种设计方案的根据是________________ _____________________________________. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 返回 3 4.［2025厦门月考］卡钳是一个测量工件内槽宽的工具.如图， 师傅通常把两根钢条， 的中点连在一起，就可以做成 一个简易卡钳.只要量得的长度，就可知工件的内径 是 否符合标准.请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证， 并完成证明. 4 【解】已知：，为, 的中点. 求证： . 证明：，为, 的中点， ， . 又 ， . . 返回 5 5. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同 旁内角互补；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中 是定理的有( ) B A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 6 6.求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距 离相等.（解题要求：补全已知、求证，写出证明） 已知：如图，在中，是 边上的 中线，________________________________ ______________________. 求证：_________. 分别过点，作的垂线，交的延长线和于点， 7 【解】 证明：由题意可得： ， 是边上的中线， . 在和 中， ， . 返回 8 7. 用表示一个两位数，代表十位上的数， 代表个位上的数，即 .请观察下列运算规律： ， ， ， . （1）根据阅读材料，可知： ________； （2）猜想：____________ ； 9 （3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想； 【解】 ， ， . 10 （4）如果 ，类比上述探究过程，请你用一个式子 表示速算 的方法，并证明你的结论. ； 证明： ， . ， . 返回 11 $$第七章 命题与证明 全章热门考点整合应用 1 考点1 定义与命题 1. 下列属于定义的是( ) B A. 两点确定一条直线 B. 线段是直线上的两点和两点间的部分 C. 同角或等角的补角相等 D. 内错角相等，两直线平行 返回 2 2. 下列语句是命题的是( ) A. 你喜欢数学吗？ B. 小明是男生 C. 城阳世纪公园 D. 加强体育锻炼 B 返回 3. 下列命题中，是假命题的是( ) B A. 对顶角相等 B. 三角形两边的和小于第三边 C. 等边三角形的三边都相等 D. 三角形的内角和等于 返回 4 考点2 证明 4. 如图，给出下列三个论断： ；； .请你以其中两 个论断作为已知条件，以第三个论断作为结论，构造一个真 命题，并证明该命题. 5 【解】（答案不唯一）条件为①②，结论为③. 证明：， . 又 ， . . 返回 6 考点3 平行线的判定 5. 下列图形中，由能得到 的是( ) D A. B. C. D. 返回 7 6.如图，已知 ，还需再添加一个条件：___________ ________________，使得 . （答案不唯一） （第6题） 返回 8 考点4 平行线的性质 7. 如图，，且 ，则 的度数是( ) B （第7题） A. B. C. D. 返回 9 8. 两块平面镜 和 按如图的方式放置，从点 处向平 面镜射出一束平行于 的光线，经 C A. B. C. D. 过两次反射后（入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与 平面镜的夹角相等），光线与平面镜 垂直，则两平面 镜的夹角为( ) 返回 10 考点5 平行线的性质与判定的综合 9.已知：如图所示， ， ，于点 .求证： （1） ； 【证明】， . 11 （2） . ， . ，， . . . 返回 12 思想1 方程思想 10.如图,已知 ， .求 ，， 的度数. 13 【解】设 ,则 , . ， . , .又, , 解得 , , . 返回 14 思想2 从特殊到一般思想 11.［2025深圳模拟］ （1）如图①，，则 ______； 如图②，，则 ______； 如图③，，则 ______； 请在图②③中，证明你所填写结论的正确性. 15 证明：如图①，过点 作 ， . ，， . . ，即 . 16 如图②，分别过点， 作 ， ， ， . . ， ， . . ， 即 . （2）如图④， ，则 ____________. 返回 19 思想3 分类讨论思想 12.一副三角尺和三角尺（顶点 重合）中， , , ,三角尺 绕点 旋转. 20 （1）当时，如图①，求 的度数. 21 【解】 在中， , , . 又 ， . 22 （2）当与重合时，如图②，判断与 的位置关系， 并说明理由. 23 . 理由： ， 根据内错角相等，两直线平行可得 . 24 （3）如图③，当等于多少度时， ？ 25 ， . 在中， , , . . 当等于 时， . 26 （4）当时，求出 的度数. 27 当，在点 同侧时， 如图①，设与交于点 ， ， . . . . 当，在点 异侧时， 28 如图②，过点作 ， . ， ， . . 综上，当时， 的度数为 或 . 返回 29 思想4 整体思想 13.如图，，和的平分线交于点 ， ，求 的度数. 30 【解】如图，过点作 ，过 点作 . 则 ， ， . ， ， . 易得 . 31 又 ， . 和 的平分线相交于点 ， ， . . . 返回 $$第七章 命题与证明 第七章综合素质评价 1 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 下列语句是命题的是( ) D A. 连接， 两点 B. 画一条线段等于已知线段 C. 过点作直线 的垂线 D. 两条直线相交，有且只有一个交点 返回 2 2. 下列命题： ①等角的余角相等； ②角是轴对称图形，对称轴是角平分线； ③在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ④同位角相等. 其中真命题的个数为( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 返回 3 3. 对于命题“如果,那么 ”，能说明它是假命题 的反例是( ) D A. , B. , C. , D. , 4. 如图，添加下列条件，不可以得到 的是( ) C A. B. C. D. 返回 4 （第5题） 5. ［2024盐城］小明将一块直角三角尺 摆放在直尺上，如图，若 ， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. （第6题） 6. 如图，将长方形纸片沿 折叠得到 ,与交于点.若 ,则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 5 （第7题） 7. 如图，直线，将一个含 角的 直角三角尺按如图所示的位置放置，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 6 （第8题） 8. 如图，在科学《光的反射》 活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平 桌面上，镜面的调节角 的调节 范围为 ，激光笔发出的光束 射到 B A. B. C. D. 平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线 ）的夹角 ，则反射光束与天花板所形成的角 不可能取到的度数为 ( ) 7 【点拨】当 时，如图①所 示，过点作， ， , . 8 由反射定理可知，， ； 9 当 时，如图②所示，过点 作 ， 同理可得 , , .由反射定理可 知 . 又， 易得 . 综上所述， 或 .故选 . 返回 10 二、填空题（每题5分，共20分） 9.把命题“互为倒数的两数之积为1”改成“如果……那么……” 的形式：_________________________________________. 如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1 （第10题） 10. 如图, ,要使 ,还需补充一个条件,你认为这个 条件可以是_______________________ （填一个条件即可）. （答案不唯一） 返回 11 11.如图，木棒，与分别在， 处用可旋转的螺丝 铆住， ， ，将木棒绕点 逆时 针旋转到与木棒平行的位置，则至少要旋转____ . 25 （第11题） 返回 12 12.如图，，的平分线的反向延长线和 的平分线交于点，若 ，则 ______. 13 【点拨】如图，过点作， ， 的平分线 的反向延 长线和的平分线交于点， 可设 ， ， 14 在四边形中， ， 即 . ， . 由①②可得， ，解得 . 返回 三、解答题（共40分） 13.（10分）已知命题“两直线平行，同旁内 角互补”. 16 （1）写出该命题的题设和结论，并将其改 写成“如果……那么……”的形式； 【解】该命题的题设是“两直线平行”，结 论是“同旁内角互补”， 改成“如果……那么……”的形式是：如果两 条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内 角互补. （2）嘉淇想证明该命题，下面是她的解题 过程，请将其补全，并在括号内填上推理 的根据. 如图，已知直线，直线截 ， 于点， . 求证：_______ . 18 证明： （已知）， （________________________）. 两直线平行，同位角相等 等量代换 _______ （平角的定义）， _______ （__________）. 返回 19 14.（12分）判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命 题请举出反例. （1）平行于同一条直线的两条直线互相平行； 【解】是真命题. 20 （2）如果，那么 . 是假命题. 反例：当，时，， ， 满足，但是 ， 故“如果，那么 ”是假命题. 返回 21 15.（18分）［2025扬州邗江区模拟］经过平行线中的拐点作 平行线是解决与平行线有关问题的常用思路. （1）如图①，， ， ，则 ____； 22 （2）如图②，，点在直线上方 ， 探究，， 之间的数量关系，并证明； 23 【解】 .证明如下： 如图①，过点作 ， . ，， . . . 24 （3）如图③，，点在直线上方， 的平分 线所在的直线和的平分线所在的直线交于点 （点在直线的下方），请写出和 之间的数量 关系，并证明. 25 .证明如下： 平分，平分 ， , . 设 ， ,则 ， ， . 26 如图②，过点作，过点作 ， 由（2）可知， . 27 ， . ，， . . . . . . 返回 $$